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2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第35講 基本不等式學(xué)案

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1、 第35講 基本不等式 考綱要求 考情分析 命題趨勢 1.了解基本不等式的證明過程. 2.會(huì)用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題. 2016·江蘇卷,14 2015·全國卷Ⅰ,12 2015·福建卷,6 對基本不等式的考查,主要是利用不等式求最值,且常與函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合在一起進(jìn)行考查. 分值:5分 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件:__a>0,b>0__. (2)等號(hào)成立的條件:當(dāng)且僅當(dāng)__a=b__時(shí)取等號(hào). 2.幾個(gè)重要的不等式: (1)a2+b2≥__2ab__(a,b∈R). (2)+≥__2__(a,b同號(hào)).

2、 (3)ab≤2(a,b∈R). (4)≥2(a,b∈R). 3.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0,b>0,則a,b的算術(shù)平均數(shù)為____,幾何平均數(shù)為____,基本不等式可敘述為__兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)__. 4.利用基本不等式求最值問題 已知x>0,y>0,則: (1)如果積xy是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)__x=y(tǒng)__時(shí),x+y有最__小__值是__2__(簡記:積定和最小); (2)如果和x+y是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)__x=y(tǒng)__時(shí),xy有最__大__值是____(簡記:和定積最大). 1.思維辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”). (1)函數(shù)y=x

3、+的最小值是2.( × ) (2)函數(shù)f(x)=cos x+,x∈的最小值等于4.( × ) (3)x>0,y>0是+≥2的充要條件.( × ) (4)若a>0,則a3+的最小值為2.( × ) 解析 (1)錯(cuò)誤.因?yàn)閤沒有確定符號(hào),所以不能說最小值為2. (2)錯(cuò)誤.利用基本不等式時(shí),等號(hào)不成立. (3)錯(cuò)誤.不是充要條件,當(dāng)x<0,y<0時(shí)也成立. (4)錯(cuò)誤.最小值不是定值,故不正確. 2.已知m>0,n>0,且mn=81,則m+n的最小值為( A ) A.18   B.36   C.81   D.243 解析 ∵m>0,n>0,∴m+n≥2=18.當(dāng)且僅當(dāng)m=n=

4、9時(shí),等號(hào)成立. 3.若M=(a∈R,a≠0),則M的取值范圍為( A ) A.(-∞,-4]∪[4,+∞)     B.(-∞,-4] C.[4,+∞)     D.[-4,4] 解析 M==a+,當(dāng)a>0時(shí),M≥4;當(dāng)a<0時(shí),M≤-4. 4.若x>1,則x+的最小值為__5__. 解析 x+=x-1++1≥4+1=5.當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=3時(shí)等號(hào)成立. 5.若x>0,y>0,lg x+lg y=1,則z=+的最小值為__2__. 解析 由已知條件lg x+lg y=1,可知xy=10. 則+≥2=2,故min=2,當(dāng)且僅當(dāng)2y=5x時(shí)取等號(hào).又xy=10.即x=

5、2,y=5時(shí)等號(hào)成立. 一 利用基本不等式證明不等式 利用基本不等式證明不等式的方法 (1)利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況,要從整體上把握運(yùn)用基本不等式.對不滿足使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換,常見的變形技巧有:拆項(xiàng),并項(xiàng),也可乘上一個(gè)數(shù)或加上一個(gè)數(shù),“1”的代換法等. (2)利用基本不等式對所證明的不等式中的某些部分放大或者縮小,在含有三個(gè)字母的不等式證明中要注意利用對稱性. 【例1】 (1)已知x>0,y>0,z>0, 求證:≥8. (2)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求證:++≥9. 證明 (1)∵x>0,y>0

6、,z>0,∴+≥>0, +≥>0,+≥>0, ∴≥=8, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)=z時(shí)等號(hào)成立. (2)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1, ∴++=++ =3++++++ =3+++≥3+2+2+2=9, 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí),取等號(hào). 二 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值應(yīng)注意的問題 (1)利用基本不等式解題一定要注意應(yīng)用的前提:“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數(shù),“二定”是指應(yīng)用基本不等式求最值時(shí),和或積為定值,“三相等”是指滿足等號(hào)成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時(shí),要根據(jù)式子的特征靈活變形,配湊出積、和為常數(shù)的形式,然后

7、再利用基本不等式求解. 【例2】 (1)已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為( B ) A.   B.   C.   D. (2)若函數(shù)f(x)=x+(x>2)在x=a處取最小值,則a=( C ) A.1+   B.1+   C.3   D.4 解析 (1)∵02,∴x-2>0, ∴f(x)=x+=(x-2)++2≥2·+2=2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)x-2=, 即(x-2)2=1時(shí),等號(hào)成立, ∴x=1或3.又∵x>2,∴x=3,即a=3. 【例3】

8、(1)(2018·山東煙臺(tái)期末)已知正實(shí)數(shù)x,y滿足+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( B ) A.(-2,4)   B.(-4,2) C.(-∞,2]∪[4,+∞)   D.(-∞,-4]∪[2,+∞) (2)(2018·福建南平一模)已知x,y都是非負(fù)實(shí)數(shù),且x+y=2,則的最小值為( B ) A.   B.   C.1   D.2 (3)(2018·河南許昌二模)已知x,y均為正實(shí)數(shù),且+=,則x+y的最小值為( C ) A.24   B.32   C.20   D.28 解析 (1)因?yàn)閤>0,y>0,+=1,所以x+2y=(x+2y)·=4

9、++≥4+2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=4,y=2時(shí)取等號(hào),所以x+2y的最小值是8. 所以m2+2m<8,解得-4

10、求解. (2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時(shí),若等號(hào)成立的自變量不在定義域內(nèi),就不能使用基本不等式求解,此時(shí)可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解. 【例4】 某廠家擬在2018年舉行促銷活動(dòng),經(jīng)調(diào)查測算,該產(chǎn)品的年銷量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m(m≥0)萬元滿足x=3-(k為常數(shù)).如果不搞促銷活動(dòng),那么該產(chǎn)品的年銷量只能是1萬件.已知2018年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)一萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金). (1)將2018年該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù);

11、(2)該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家利潤最大? 解析 (1)由題意知,當(dāng)m=0時(shí),x=1(萬件),∴1=3-k?k=2,∴x=3-,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(元), ∴2018年的利潤y=1.5x×-8-16x-m =-+29(m≥0). (2)∵m≥0時(shí),+(m+1)≥2=8, ∴y≤-8+29=21, 當(dāng)且僅當(dāng)=m+1?m=3(萬元)時(shí),ymax=21(萬元).故該廠家2018年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家的利潤最大為21萬元. 1.已知f(x)=32x-(k+1)3x+2,當(dāng)x∈R時(shí),f(x)恒為正值,則k的取值范圍是( B ) A.(-∞,-1)

12、   B.(-∞,2-1) C.(-1,2-1)   D.(-2-1,2-1) 解析 由32x-(k+1)3x+2>0恒成立,得k+1<3x+. ∵3x+≥2,∴k+1<2,即k<2-1. 2.某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品,每批產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為800元,若每批生產(chǎn)x件,則平均倉儲(chǔ)時(shí)間為天,且每件產(chǎn)品每天的倉儲(chǔ)費(fèi)用為1元.為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲(chǔ)費(fèi)用之和最小,每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品( B ) A.60件   B.80件 C.100件   D.120件 解析 若每批生產(chǎn)x件產(chǎn)品,則每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用是元,倉儲(chǔ)費(fèi)用是元,總的費(fèi)用是+≥2=20,當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=80時(shí)取等號(hào).

13、 3.若2x+4y=4,則x+2y的最大值是__2__. 解析 因?yàn)?=2x+4y=2x+22y≥2=2,所以2x+2y≤4=22,即x+2y≤2,當(dāng)且僅當(dāng)2x=22y=2,即x=2y=1時(shí),x+2y取得最大值2. 4.(2018·山東濟(jì)寧二模)已知圓C1:x2+y2=4和圓C2:(x-2)2+(y-2)2=4,若P(a,b)(a>0,b>0)在兩圓的公共弦上,則+的最小值為__8__. 解析 由題意知,圓C1:x2+y2=4和圓C2:(x-2)2+(y-2)2=4兩個(gè)方程相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程,即x+y=2,又點(diǎn)P(a,b)(a>0,b>0)在兩圓的公共弦上,所以a+b=

14、2,則+=(a+b)==5+·≥5+×2=8,所以+的最小值為8. 易錯(cuò)點(diǎn) 不會(huì)湊出常數(shù) 錯(cuò)因分析:式子的最大、最小值應(yīng)為常數(shù),為湊出常數(shù),需要“拆”“拼”“湊”等技巧. 【例1】 已知正數(shù)x,y滿足x+2≤λ(x+y)恒成立,則λ的最小值為________. 解析 由已知得λ≥恒成立. ∵=≤=2,(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)取等號(hào))∴λ≥2,λ的最小值為2. 答案 2 【跟蹤訓(xùn)練1】 已知x為正實(shí)數(shù),且x2+=1,求x的最大值. 解析 因?yàn)閤>0, 所以x·=≤. 又x2+=+=. 所以x≤=,當(dāng)且僅當(dāng)x2=+, 即x=時(shí),等號(hào)成立.故(x)max=. 課時(shí)達(dá)標(biāo) 

15、第35講 [解密考綱]考查基本不等式,常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn).在解答題中也滲透基本不等式的應(yīng)用. 一、選擇題 1.已知f(x)=x+-2(x<0),則f(x)有( C ) A.最大值為0   B.最小值為0 C.最大值為-4   D.最小值為-4 解析 ∵x<0,∴f(x)=--2≤-2-2=-4,當(dāng)且僅當(dāng)-x=,即x=-1時(shí),取等號(hào). 2.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是( C ) A.a(chǎn)+b≥2 B.+> C.+≥2 D.a(chǎn)2+b2>2ab 解析 ∵ab>0,∴>0,>0,∴+≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào). 3.若a≥0,b≥0,且a(a

16、+2b)=4,則a+b的最小值為( C ) A.   B.4 C.2   D.2 解析 ∵a≥0,b≥0,∴a+2b≥0,又∵a(a+2b)=4, ∴4=a(a+2b)≤,當(dāng)且僅當(dāng)a=a+2b=2時(shí)等號(hào)成立. ∴(a+b)2≥4,∴a+b≥2. 4.函數(shù)y=^(x>1)的最小值是( A ) A.2+2   B.2-2 C.2   D.2 解析 ∵x>1,∴x-1>0. ∴y=== ==x-1++2 ≥2+2=2+2. 當(dāng)且僅當(dāng)x-1=,即x=1+時(shí),取等號(hào). 5.若正數(shù)a,b滿足a+b=2,則+的最小值是( B ) A.1   B. C.9   D.16 解析

17、 +=·=×≥(5+2)=,當(dāng)且僅當(dāng)=,b+1=2(a+1)時(shí)取等號(hào),故選B. 6.小王從甲地到乙地往返的時(shí)速分別為a和b(a0)圖象上的點(diǎn),則x+y的最小值為__2__. 解析 因?yàn)閤>0,所以y>0,且xy=2.由基本不等式得x+y≥2=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立. 8.已知正數(shù)x,y滿足x+2y=2,則的最小值為__9_

18、_. 解析 由已知得=1,則=+=·=≥(10+2)=9,當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號(hào). 9.已知x,y為正實(shí)數(shù),3x+2y=10,+的最大值為__2__. 解析 由≤得+≤==2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=,y=時(shí)取等號(hào). 三、解答題 10.(1)當(dāng)x<時(shí),求函數(shù)y=x+的最大值; (2)設(shè)00, ∴y=(2x-3)++ =-+ ≤-·2+=-4+=-, 當(dāng)且僅當(dāng)3-2x=,即x=-時(shí),ymax=-. ∴函數(shù)y的最大值為-. (2)∵00, ∴y==≤=,當(dāng)且僅當(dāng)2x=4-2x

19、,即x=1時(shí),ymax=. 11.已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,求: (1)xy的最小值; (2)x+y的最小值. 解析 (1)∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0, ∴xy=2x+8y≥2=8, ∴(-8)≥0,又≥0,∴≥8即xy≥64. 當(dāng)且僅當(dāng)x=4y即8y+8y-4y2=0時(shí),即y=4,x=16時(shí)取等號(hào), ∴xy的最小值為64. (2)∵2x+8y=xy>0,∴+=1, ∴x+y=(x+y) =10++≥10+2=18. 當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=2y即4y+8y-2y2=0時(shí),即y=6,x=12時(shí)取等號(hào),∴x+y的最小值為18. 12.某地需要修建

20、一條大型輸油管道通過240 km寬的沙漠地帶,該段輸油管道兩端的輸油站已建好,余下工程是在該段兩端已建好的輸油站之間鋪設(shè)輸油管道和等距離修建增壓站(又稱泵站).經(jīng)預(yù)算,修建一個(gè)增壓站的費(fèi)用為400萬元,鋪設(shè)距離為x km的相鄰兩增壓站之間的輸油管道的費(fèi)用為(x2+x)萬元.設(shè)余下工程的總費(fèi)用為y萬元. (1)試將y表示成x的函數(shù); (2)需要修建多少個(gè)增壓站才能使y最小,其最小值為多少? 解析 (1)設(shè)需要修建k個(gè)增壓站, 則(k+1)x=240,即k=-1, 所以y=400k+(k+1)(x2+x) =400·+(x2+x) =+240x-160. 因?yàn)閤表示相鄰兩增壓站之間的距離,則0<x<240. 故y與x的函數(shù)關(guān)系是y=+240x-160(0<x<240). (2)y=+240x-160≥2-160=2×4 800-160=9 440,當(dāng)且僅當(dāng)=240x,即x=20時(shí)等號(hào)成立, 此時(shí)k=-1=-1=11. 故需要修建11個(gè)增壓站才能使y最小,其最小值為9 440萬元. 12

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