《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時 函數(shù)的概念學案 新人教B版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù) 3.1 函數(shù)的概念與性質 3.1.1 函數(shù)及其表示方法 第1課時 函數(shù)的概念學案 新人教B版必修第一冊（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時　函數(shù)的概念 (教師獨具內(nèi)容) 課程標準：1.在初中用變量之間的依賴關系描述函數(shù)的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數(shù)，建立完整的函數(shù)概念，體會集合語言和對應關系在刻畫函數(shù)概念中的作用.2.了解構成函數(shù)的要素，能求簡單函數(shù)的定義域． 教學重點：函數(shù)的概念；符號“y＝f(x)”的含義；函數(shù)的定義域和值域的求法． 教學難點：符號“y＝f(x)”的含義及已知函數(shù)解析式求函數(shù)定義域的方法. 【情境導學】(教師獨具內(nèi)容) 夏天，大家都喜歡吃西瓜，而西瓜的價格往往與西瓜的重量相關．某人到一個水果店去買西瓜，價格表上寫的是：6斤以下，每斤0.4元；6斤以上9斤以下，每斤0.5元；9斤

2、以上，每斤0.6元．此人挑了一個西瓜，稱重后店主說5元1角，1角就不要了，給5元吧．可這位聰明的顧客馬上說，你不僅沒少要，反而多收了我的錢．當顧客講出理由，店主只好承認了錯誤，照實收了錢． 同學們，你知道顧客是怎么曉得店主坑人的嗎？ 【知識導學】 知識點一　函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的傳統(tǒng)定義 在一個變化過程中，如果有兩個變量x與y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應，那么就稱y是x的函數(shù)． (2)函數(shù)的近代定義 一般地，給定兩個非空實數(shù)集A與B，以及對應關系f，如果對于集合A中的每一個實數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的實數(shù)y與x對應，則稱f為定義在集合A上的一個函

3、數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A. 知識點二 函數(shù)的定義域和值域 在函數(shù)y＝f(x)，x∈A中，x稱為自變量，y稱為因變量，自變量取值的范圍(即數(shù)集A)稱為這個函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值組成的集合{y∈B|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域． 知識點三 確定函數(shù)的兩個要素 (1)定義域； (2)對應關系． 知識點四 兩個函數(shù)相同的條件 (1)定義域相同； (2)對應關系相同． 知識點五 求函數(shù)定義域常用的依據(jù) (1)分式中分母不能為零； (2)二次根式中的被開方數(shù)要大于等于零． 【新知拓展】 對函數(shù)概念的理解 (1)A，B都是非空實數(shù)集，因此定義域或值域為空集的函數(shù)不

4、存在，如y＝就不是函數(shù)． (2)集合A就是定義域，因為給定A中的每一個x值都有唯一的y值與之對應． (3)集合B不一定是函數(shù)的值域，即B中的元素可以沒有與之對應者，若將函數(shù)的值域記為C，容易得到C?B. (4)符號“y＝f(x)”表示“x對應的函數(shù)值”，f表示對應關系． (5)“f(x)”是一個整體，不可分開，也不能理解成“f·x”． (6)f(a)(a∈A)與f(x)的區(qū)別與聯(lián)系：f(a)表示當x＝a時的函數(shù)值，是值域內(nèi)的一個數(shù)值，是常量；f(x)表示自變量為x的函數(shù)，表示的是變量．例如，f(x)＝2x表示函數(shù)；當x＝3時，f(3)＝6，是一個常量． (7)函數(shù)的概念中強調(diào)“三性

5、”：任意性、存在性、唯一性，這是因為函數(shù)定義中明確要求是對于非空實數(shù)集A中的任意一個(任意性)數(shù)x，在非空實數(shù)集B中都有(存在性)唯一確定(唯一性)的實數(shù)y和它對應，這“三性”只要有一個不滿足，便不能構成函數(shù)． 1．判一判(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)函數(shù)值域中的每一個實數(shù)都有定義域中的實數(shù)與之對應．(　　) (2)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合．(　　) (3)定義域和對應關系確定后，函數(shù)值域也就確定了．(　　) (4)若函數(shù)的定義域只有一個元素，則值域也只有一個元素．(　　) 答案　(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 　 　　　　　　　　　　　　　　　　

6、　　 2．做一做 (1)對于函數(shù)f：A→B，若a∈A，則下列說法錯誤的是(　　) A．f(a)∈B B．f(a)有且只有一個 C．若f(a)＝f(b)，則a＝b D．若a＝b，則f(a)＝f(b) (2)已知f(x)＝x2＋1，則f[f(－1)]＝(　　) A．2 B．3 C．4 D．5 (3)求下列函數(shù)的定義域： ①f(x)＝； ②f(x)＝＋. 答案　(1)C　(2)D　(3)①{x|x≠－8}?、? 題型一 求函數(shù)的定義域 例1　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝2x＋3；(2)y＝＋；(3)y＝. [解]　(1)函數(shù)y＝2x＋3的定義域

7、為R. (2)要使函數(shù)有意義，則即所以函數(shù)y＝＋的定義域是[－1,2)∪(2，＋∞)． (3)要使函數(shù)有意義，則即即x≥1，所以函數(shù)y＝的定義域為[1，＋∞)． 金版點睛 求函數(shù)定義域的步驟與方法 (1)求函數(shù)定義域的一般步驟 ①列出使函數(shù)解析式有意義的自變量的不等式(組)； ②解不等式(組)； ③把解集表示成集合或區(qū)間的形式． (2)列不等式(組)的依據(jù) ①分母不為零； ②偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零； ③零指數(shù)冪的底數(shù)不為零． ④幾部分組成：若y＝f(x)是由幾部分數(shù)學式子的和、差、積、商組成的形式，定義域是使各部分都有意義的集合的交集． (3)定義域是一個集

8、合，要用集合或區(qū)間表示．若用區(qū)間表示，不同區(qū)間應該用“∪”連接． 　求下列函數(shù)的定義域： (1)y＝；(2)y＝＋； (3)y＝；(4)y＝(1－2x)0. 解　(1)要使函數(shù)式有意義，即分式有意義，則x＋1≠0，x≠－1.故函數(shù)的定義域為{x|x≠－1}． (2)要使函數(shù)式有意義，則即所以x＝1，從而函數(shù)的定義域為{x|x＝1}． (3)因為當x2－1≠0，即x≠±1時，有意義，所以函數(shù)的定義域是{x|x≠±1}． (4)∵1－2x≠0，即x≠， ∴函數(shù)的定義域為. 題型二 求函數(shù)值或求函數(shù)的值域 例2　(1)已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝

9、x2＋2(x∈R)． ①求f(2)，g(2)的值； ②求f[g(3)]的值； (2)求下列函數(shù)的值域： ①y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； ②y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)； ③y＝； ④y＝2x－. [解]　(1)①∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. ∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6. ②∵g(3)＝32＋2＝11， ∴f[g(3)]＝f(11)＝＝. (2)①(觀察法)因為x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數(shù)的值域為{2,3,4,5,6}． ②(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，再結合函數(shù)的圖像(如

10、圖)，可得函數(shù)的值域為[2,6)． ③(分離常數(shù)法)y＝ ＝＝2＋， 顯然≠0，所以y≠2. 故函數(shù)的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)． ④(換元法)設t＝，則x＝t2＋1，且t≥0， 所以y＝2(t2＋1)－t＝22＋， 由t≥0，再結合函數(shù)的圖像(如右圖)，可得函數(shù)的值域為. 金版點睛 求函數(shù)值域的原則及常用方法 (1)原則：①先確定相應的定義域；②再根據(jù)函數(shù)的具體形式通過運算確定其值域． (2)常用方法 ①觀察法：對于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察法得到． ②配方法：是求“二次函數(shù)”類值域的基本方法． ③換元法：運用新元代換，將所給函數(shù)化成值域易

11、確定的函數(shù)，從而求得原函數(shù)的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數(shù)，且ac≠0)型的函數(shù)常用換元法． ④分離常數(shù)法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數(shù)”類的形式，便于求值域． 　求下列函數(shù)的值域： (1)y＝； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)． 解　(1)∵y＝＝＝1－，且≠0， ∴函數(shù)y＝的值域為{y|y≠1}． (2)配方，得y＝(x－2)2＋2. 由x∈[1,5)， 結合函數(shù)的圖像可知，函數(shù)的值域為{y|2≤y<11}． 題型三 相同函數(shù)的判斷 例3　下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是(　　) A．f(x)

12、＝x，g(x)＝()2 B．f(x)＝x2＋1，g(t)＝t2＋1 C．f(x)＝1，g(x)＝ D．f(x)＝x，g(x)＝|x| [解析]　A中，由于f(x)＝x的定義域為R，g(x)＝()2的定義域為{x|x≥0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)． B中，函數(shù)的定義域、值域和對應關系都相同，所以它們是同一函數(shù)． C中，由于f(x)＝1的定義域為R，g(x)＝的定義域為{x|x≠0}，它們的定義域不相同，所以它們不是同一函數(shù)． D中，兩個函數(shù)的定義域相同，但對應關系不同，所以它們不是同一函數(shù)． [答案]　B 金版點睛 判斷兩個函數(shù)為同一函數(shù)的條件 (1)判斷

13、兩個函數(shù)是同一函數(shù)的準則是兩個函數(shù)的定義域和對應關系分別相同．定義域、對應關系兩者中只要有一個不相同就不是同一函數(shù)，即使定義域與值域都相同，也不一定是同一函數(shù)． (2)函數(shù)是兩個非空實數(shù)集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的．另外，在化簡解析式時，必須是等價變形． 　下列函數(shù)中哪個與函數(shù)y＝x相同？ (1)y＝()2；(2)y＝；(3)y＝；(4)y＝. 解　(1)y＝()2＝x(x≥0)，y≥0，與函數(shù)y＝x定義域不同且值域不同，所以不相同． (2)y＝＝x(x∈R)，y∈R，與函數(shù)y＝x對應關系相同，定義域和值域也都相同，所以相同． (3)y＝＝

14、|x|＝y(tǒng)≥0；與函數(shù)y＝x值域不同，且當x<0時，它的對應關系與函數(shù)y＝x不相同，所以不相同． (4)y＝的定義域為{x|x≠0}，與函數(shù)y＝x的定義域不相同，所以不相同. 題型四 求抽象函數(shù)的定義域 例4　(1)已知函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1]，求函數(shù)f(2x－1)的定義域； (2)已知函數(shù)f(x－1)的定義域為(1,4]，求函數(shù)f(x)的定義域． [解]　(1)∵函數(shù)f(x)的定義域為[－1,1]， ∴函數(shù)f(2x－1)中自變量x的取值應滿足－1≤2x－1≤1，即0≤x≤1. ∴函數(shù)f(2x－1)的定義域為[0,1]． (2)因為函數(shù)f(x－1)的定義域為(1

15、,4]，即x∈(1,4]， ∴0

16、，應將左、右兩端統(tǒng)一，也可以用“換元法”，將較難配湊的式子化簡． (2)若已知函數(shù)f(x)的定義域為[a，b]，則函數(shù)f[g(x)]的定義域應由不等式a≤g(x)≤b解出即得．若已知函數(shù)f[g(x)]的定義域為[a，b]，則函數(shù)g(x)在x∈[a，b]時的值域即為所求函數(shù)f(x)的定義域． 　若函數(shù)f(x)的定義域為[－3,5]，求函數(shù)φ(x)＝f(－x)＋f(x)的定義域． 解　由函數(shù)f(x)的定義域為[－3,5]，得 即 解得－3≤x≤3. 所以函數(shù)φ(x)的定義域為[－3,3]． 1．函數(shù)f(x)＝＋(x－2)0的定義域為(　　) A．[1，＋∞)

17、 B．[1,2)∪(2，＋∞) C．(1，＋∞) D．(1,2)∪(2，＋∞) 答案　D 解析　由題意，知解得x>1，且x≠2. 所以函數(shù)f(x)的定義域為(1,2)∪(2，＋∞)． 2．如果函數(shù)y＝x2－2x的定義域為{0,1,2,3}，那么其值域為(　　) A．{－1,0,3} B．{0,1,2,3} C．{y|－1≤y≤3} D．{y|0≤y≤3} 答案　A 解析　當x取0,1,2,3時，y的值分別為0，－1,0,3，則其值域為{－1,0,3}．故選A. 3．下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是(　　) A．y＝2x＋1與y＝2m＋1 B．y＝與y＝2

18、x＋1 C．y＝1與y＝x0 D．y＝與y＝()2 答案　A 解析　B中兩函數(shù)解析式不同，值域不同．C，D中的兩個函數(shù)的定義域不相同不表示同一函數(shù)，A中的兩個函數(shù)的定義域與對應關系都相同，表示同一函數(shù)．故選A. 4．已知集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|0≤y≤4}，則下列對應關系，能夠構成以A為定義域，B為值域的函數(shù)的是________(填寫滿足條件的所有函數(shù)的序號)． ①y＝2x；②y＝x2；③y＝|4－2x|；④y＝x＋5；⑤y＝(x－2)2. 答案?、佗冖邰? 解析　判斷能否構成以A為定義域，B為值域的函數(shù)，就是看是否符合函數(shù)的定義．對于①y＝2x，當定義域為A＝{x

19、|0≤x≤2}時，顯然其值域為B＝{y|0≤y≤4}，故①滿足條件；顯然②③⑤同樣也滿足條件；對于④y＝x＋5，若其定義域為A＝{x|0≤x≤2}，則其值域為{y|5≤y≤7}，因此④不滿足條件．故填①②③⑤. 5．已知函數(shù)f(x)＝x2＋x－1. (1)求f(2)，f，f(a＋1)； (2)若f(x)＝5，求x. 解　(1)f(2)＝22＋2－1＝5， f＝＋－1＝， f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1. (2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0， ∴x＝2或x＝－3. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 10