《2022年高三數(shù)學一輪復習講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高三數(shù)學一輪復習講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高三數(shù)學一輪復習講義 數(shù)列的概念與簡單表示法教案 新人教A版 自主梳理 1．數(shù)列的定義 按照________________著的一列數(shù)叫數(shù)列，數(shù)列中的______________都叫這個數(shù)列的項；在函數(shù)意義下，數(shù)列是________________________的函數(shù)，數(shù)列的一般形式為：______________________，簡記為{an}，其中an是數(shù)列的第____項． 1．一定順序排列　每一個數(shù)　定義域為N*(或它的子集)a1，a2，a3，…，an，…　n　 2．通項公式： 如果數(shù)列{an}的______與____之間的關系可以____________來表示，

2、那么這個式子叫做數(shù)列的通項公式．但并非每個數(shù)列都有通項公式，也并非都是唯一的． 2.第n項　n　用一個公式　 3．數(shù)列有三種表示法：它們分別是_________、________、________. .解析法(通項公式或遞推公式)　列表法　圖象法 4．數(shù)列的分類： 數(shù)列按項數(shù)來分，分為____________、__________； 按項的增減規(guī)律分為________、________、__________和__________． 遞增數(shù)列?an＋1______an；遞減數(shù)列?an＋1______an；常數(shù)列?an＋1______an. 按其他標準分類 有界數(shù)列存在正數(shù)M，使

3、|an|≤M 擺動數(shù)列 an的符號正負相間，如1，－1,1，－1，… 4.有窮數(shù)列　無窮數(shù)列　遞增數(shù)列　遞減數(shù)列　擺動數(shù)列　常數(shù)列 >　

4、一確定的數(shù)，而項數(shù)是指數(shù)列的項對應的位置序號. 2.數(shù)列的函數(shù)特征 數(shù)列是一個定義域為正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函數(shù)，數(shù)列的通項公式也就是相應的函數(shù)解析式，即f(n)＝an (n∈N*). 自我檢測 1．設an＝－n2＋10n＋11，則數(shù)列{an}從首項到第幾項的和最大 (　　) A．10 B．11 C．10或11 D．12 2.已知數(shù)列{an}的通項公式an＝n＋ (n∈N*)，則數(shù)列{an}的最小項是 (　　) 　A.a12 B.a13 C.a12或a13 D.不存在 3.在數(shù)列{an}中，a1＝1，

5、a2＝5，an＋2＝an＋1－an (n∈N*)，則a100等于 (　　) A.1 B.－1 C.5 D.－5 4．已知數(shù)列{an}對任意的p，q∈N*滿足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于 (　　) A．－165 B．－33 C．－30 D．－21 5．已知數(shù)列－1，，－，，…按此規(guī)律，則這個數(shù)列的通項公式是(　　) A．a(chǎn)n＝(－1)n· B．a(chǎn)n＝(－1)n· C．a(chǎn)n＝(－1)n· D．a(chǎn)n＝(－1)n· 6．下列對數(shù)列的理解： ①數(shù)列可以看成一個定義在N*(或它的有限子集{1,2,3，…

6、，n})上的函數(shù)； ②數(shù)列的項數(shù)是有限的； ③數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看都是一群孤立的點； ④數(shù)列的通項公式是唯一的． 其中說法正確的序號是 (　　) A．①②③ B．②③④ C．①③ D．①②③④ 7.已知數(shù)列{an}的前4項為1,3,7,15，寫出數(shù)列{an}的一個通項公式為__ an＝2n－1 (n∈N*)________. 8.已知數(shù)列，，2，…，根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，2應該是該數(shù)列的第___7_____項. 9.若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－10n (n＝1,2,3，…)，則此數(shù)列的通項公式為a

7、n＝___.2n－11_______；數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項是第________項. 10．在數(shù)列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋ (n∈N*)，則該數(shù)列的通項an＝______. 題型一　由數(shù)列的前幾項歸納數(shù)列的通項公式 探究點一　由數(shù)列前幾項求數(shù)列通項 例1　根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出下列各數(shù)列的一個通項公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…； (3)，，－，，－，，…； (4)，1，，，…； (5)0,1,0,1，…. (6)，，，，，…； 　解題導引　根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要

8、注意觀察每一項的特點，要使用添項、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一些常見數(shù)列的通項公式來求； 解　(1)符號問題可通過(－1)n或(－1)n＋1表示，其各項的絕對值的排列規(guī)律為：后面的數(shù)的絕對值總比前面數(shù)的絕對值大6，故通項公式為an＝(－1)n(6n－5). (2)將數(shù)列變形為 (1－0.1)，(1－0.01)，(1－0.001)，…，∴an＝. (3)各項的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把第1項變?yōu)椋瓟?shù)列可化為 －，，－，，…， ∴an＝(－1)n·. (4)將數(shù)列統(tǒng)一為，，，，…，對于分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加

9、1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1，對于分母2,5,10,17，…，聯(lián)想到數(shù)列1,4,9,16，…，即數(shù)列{n2}，可得分母的通項公式為cn＝n2＋1， 因此可得它的一個通項公式為an＝. (5)an＝或an＝或an＝. (6)原數(shù)列為，，，，，…， ∴an＝＝. 探究提高　(1)據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征： ①分式中分子、分母的特征；②相鄰項的變化特征；③拆項后的各部分特征； ④各項符號特征等，并對此應多進行對比分析、從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想.. (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含

10、著“從特殊到一般”的思想，由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整. 變式訓練1　寫出下列數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,9,17,33，…；(2)，2，，8，，…； (3)，，2，，…； (4)3,5,7,9，…；(5)，，，，，…； (6)－1，，－，，－，，…； (7)3,33,333,3 333，…. 解　(1)∵a1＝3＝21＋1， a2＝5＝22＋1，a3＝9＝23＋1，…， ∴an＝2n＋1. (2)將數(shù)列中各項統(tǒng)一成分母為2的分數(shù)，得 ，，，，，…， 觀察知，各項的分子是對應項數(shù)的平

11、方， ∴數(shù)列通項公式是an＝. (3)將數(shù)列各項統(tǒng)一成的形式得 ，，，，…； 觀察知，數(shù)列各項的被開方數(shù)逐個增加3，且被開方數(shù)加1后，又變?yōu)?,6,9,12，…，所以數(shù)列的通項公式是an＝. (4)各項減去1后為正偶數(shù)，所以an＝2n＋1. (5)每一項的分子比分母少1，而分母組成數(shù)列21,22,23,24，…，所以an＝. (6)奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子(－1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列1,2,3,4，…；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為3， 即奇數(shù)項為2－1，偶數(shù)項為2＋1， 所以an＝(－1)n·. 也可寫為an＝. (7)

12、將數(shù)列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…， 所以an＝(10n－1). 題型二　已知數(shù)列的遞推公式求通項公式 例2　根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式. (1)a1＝2，an＋1＝an＋n；(2)an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2， (3)a1＝1,2n－1an＝an－1 (n≥2)． (4)a1＝1，an＝an－1 (n≥2)； (5)a1＝1，an＋1＝3an＋2； 解　(1)當n＝1,2,3，…，n－1時，可得n－1個等式，an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1， 將其

13、相加， 得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)． ∴an＝a1＋＝2＋. (2)∵an＋1－an＝3n＋2， ∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)， ∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝ (n≥2). 當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，∴an＝n2＋. (3)方法一　an＝··…···a1 ＝n－1·n－2·…·2·1 ＝1＋2＋…＋(n－1)＝， ∴an＝. 方法二　由2n－1an＝an－1， 得an＝n－1an－1. ∴an＝n－1an－1 ＝n－1·n－2an－2 ＝n－1·n－2·…·1a1

14、＝(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1＝ (4)∵an＝an－1 (n≥2)， ∴an－1＝an－2，…，a2＝a1. 以上(n－1)個式子相乘得 an＝a1···…·＝＝. (5)∵an＋1＝3an＋2， ∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3， ∴數(shù)列{an＋1}為等比數(shù)列，公比q＝3， 又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 探究提高　已知數(shù)列的遞推關系，求數(shù)列的通項時，通常用累加、累乘、構(gòu)造法求解. 當出現(xiàn)an＝an－1＋m時，構(gòu)造等差數(shù)列；當出現(xiàn)an＝xan－1＋y時，構(gòu)造等比數(shù)列；當出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；

15、當出現(xiàn)＝f(n)時，用累乘法求解. 變式訓練2 根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項公式. (1) a1＝2，an＋1＝an＋ln. (2)a1＝1，an＋1＝(n＋1)an； (3) 在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝； 　(4)在數(shù)列{an}中，an＋1＝3a，a1＝3； (5) 在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1； (6) 在數(shù)列{an}中，a1＝8，a2＝2，且滿足an＋2－4an＋1＋3an＝0. (7) 數(shù)列{an}滿足an＋1＝若a1＝，則a2 010的值為____． 解　(1) ∵an＋1＝an＋ln， ∴an＋1－an＝ln＝ln

16、 . ∴an－an－1＝ln ， an－1－an－2＝ln ， …… a2－a1＝ln ， 累加可得，an－a1＝ln ＋ln ＋…＋ln ＝ln n－ln(n－1)＋ln(n－1)－ln(n－2)＋…＋ln 2－ln 1 ＝ln n. 又a1＝2，∴an＝ln n＋2. (2)∵an＋1＝(n＋1)an，∴＝n＋1. ∴＝n，＝n－1， …… ＝3， ＝2， a1＝1. 累乘可得，an＝n×(n－1)×(n－2)×…×3×2×1＝n！. 故an＝n！. (3) 將an＋1＝取倒數(shù)得： ＝2＋，∴－＝2，又＝1， ∴是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列.

17、∴＝1＋2(n－1)，∴an＝. 　(4)由已知an>0，在遞推關系式兩邊取對數(shù). 有l(wèi)g an＋1＝2lg an＋lg 3， 令bn＝lg an，則bn＋1＝2bn＋lg 3， ∴bn＋1＋lg 3＝2(bn＋lg 3)， ∴{bn＋lg 3}是等比數(shù)列， ∴bn＋lg 3＝2n－1·2lg 3＝2nlg 3， ∴bn＝2nlg 3－lg 3＝(2n－1)lg 3＝lg an， ∴an＝32n－1. (5) 由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，又a1－1＝1，所以數(shù)列{an－n}是首項為1，且公比為4的等比數(shù)列， ∴an－n＝(a1－

18、1)4n－1，∴an＝4n－1＋n. (6) 將an＋2－4an＋1＋3an＝0變形為an＋2－an＋1＝3(an＋1－an)， 則數(shù)列{an＋1－an}是以a2－a1＝－6為首項，3為公比的等比數(shù)列，則an＋1－an＝－6·3n－1，利用累加法可得an＝11－3n. 題型三　由an與Sn的關系求通項an 例3?。?）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2－3n＋1，求{an}的通項公式． 解　當n＝1時， a1＝S1＝2×12－3×1＋1＝0； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n＋1)－2(n－1)2＋3(n－1)－1＝4n－5； 又n＝1時，an＝4×1

19、－5＝－1≠a1， ∴an＝ （2）　已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和滿足Sn>1，且6Sn＝(an＋1)(an＋2)，n∈N*.求{an}的通項公式. 解　由a1＝S1＝(a1＋1)(a1＋2)， 解得a1＝1或a1＝2，由已知a1＝S1>1，因此a1＝2. 又由an＋1＝Sn＋1－Sn＝(an＋1＋1)(an＋1＋2)－(an＋1)(an＋2)， 得an＋1－an－3＝0或an＋1＝－an. 因為an>0，故an＋1＝－an不成立，舍去. 因此an＋1－an－3＝0. 即an＋1－an＝3，從而{an}是公差為3，首項為2的等差數(shù)列，故{an}的通項為 an＝3

20、n－1. 探究提高　(1)已知{an}的前n項和Sn，求an時應注意以下三點： ①　an與Sn的關系式an＝Sn－Sn－1的條件是n≥2，求an時切勿漏掉n＝1，即a1＝S1的情況． ②由Sn－Sn－1＝an推得的an，當n＝1時，a1也適合“an式”，則需統(tǒng)一“合寫”. ③由Sn－Sn－1＝an推得的an，當n＝1時，a1不適合“an式”，則數(shù)列的通項公式應 分段表示(“分寫”)，即an＝ (2)利用Sn與an的關系求通項是一個重要內(nèi)容，應注意Sn與an間關系的靈活運用. 變式訓練3　(1)已知{an}的前n項和Sn＝3n＋b，求{an}的通項公式． (2)已知在正項數(shù)列

21、{an}中，Sn表示前n項和且2＝an＋1，求an. 解　(1)a1＝S1＝3＋b， 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1. 當b＝－1時，a1適合此等式； 當b≠－1時，a1不適合此等式． ∴當b＝－1時，an＝2·3n－1； 當b≠－1時，an＝. (2)由2＝an＋1，得Sn＝2， 當n＝1時，a1＝S1＝2，得a1＝1； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2－2， 整理，得(an＋an－1)(an－an－1－2)＝0， ∵數(shù)列{an}各項為正，∴an＋an－1>0. ∴an－an－1－2＝0. ∴數(shù)列{an}是首項

22、為1，公差為2的等差數(shù)列． ∴an＝a1＋(n－1)×2＝2n－1. (3) 設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝1，an＝＋2 (n－1) (n∈N*). ①求證：數(shù)列{an}為等差數(shù)列，并分別寫出an和Sn關于n的表達式； ②是否存在自然數(shù)n，使得S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝2 013？若存在，求出n的值；若不存在，請說明理由. 解?、儆蒩n＝＋2(n－1)，得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*). 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)·an－1－4(n－1)，即an－an－1＝4，∴數(shù)列{an}是以a1＝1為首項，4為公差的等差數(shù)列. 于是，an＝

23、4n－3，Sn＝＝2n2－n (n∈N*). ②由Sn＝nan－2n(n－1)，得＝2n－1 (n∈N*)， ∴S1＋＋＋…＋－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.令2n－1＝2 013，得n＝1 007， 即存在滿足條件的自然數(shù)n＝1 007. 　　　　　題型四　　用函數(shù)的思想方法解決數(shù)列問題 數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，即數(shù)列是一個定義在非零自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)，當自變量依次從小到大取值時所對應的一列函數(shù)值，就是數(shù)列.因此，在研究函數(shù)問題時既要注意函數(shù)方法的普遍性，又要考慮數(shù)列方法的特殊性. 例4已知數(shù)列{an}.

24、 (1)若an＝n2－5n＋4， ①數(shù)列中有多少項是負數(shù)？ ②n為何值時，an有最小值？并求出最小值. (2)若an＝n2＋kn＋4且對于n∈N*，都有an＋1>an成立.求實數(shù)k的取值范圍. 　(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值.(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項公式可以看作相應的解析式f(n)＝n2＋kn＋4.f(n)在N*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù). 解　(1)①由n2－5n＋4<0，解得1

25、n＝3時，an有最小值，其最小值為a2＝a3＝－2. (2)由an＋1>an知該數(shù)列是一個遞增數(shù)列，又因為通項公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是關于n的二次函數(shù)，考慮到n∈N*，所以－<，即得k>－3. (1)本題給出的數(shù)列通項公式可以看做是一個定義在正整數(shù)集N*上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對稱軸來研究其單調(diào)性，得到實數(shù)k的取值范圍，使問題得到解決. (2)在利用二次函數(shù)的觀點解決該題時，一定要注意二次函數(shù)對稱軸位置的選取. (3)易錯分析：本題易錯答案為k>－2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù). 　(3)已知數(shù)列{an}的通

26、項an＝(n＋1)n (n∈N*)，試問該數(shù)列{an}有沒有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若沒有，說明理由． 解　方法一　令 ??，∴n＝9或n＝10時，an最大， 即數(shù)列{an}有最大項，此時n＝9或n＝10. 方法二　∵an＋1－an＝(n＋2)·n＋1－(n＋1)·n ＝n·， 當n<9時，an＋1－an>0，即an＋1>an； 當n＝9時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an； 當n>9時，an＋1－an<0，即an＋1a11>a12>…， ∴數(shù)列{an}中有最大項，為第9、10項． 有關數(shù)列的最大項、最小項，數(shù)列

27、有界性問題均可借助數(shù)列的單調(diào)性來解決，判斷單調(diào)性常用①作差法，②作商法，③圖象法．求最大項時也可用an滿足；若求最小項，則用an滿足. 數(shù)列實質(zhì)就是一種特殊的函數(shù)，所以本題就是用函數(shù)的思想求最值． 方法與技巧 1.求數(shù)列通項或指定項.通常用觀察法(對于交錯數(shù)列一般用(－1)n或(－1)n＋1來區(qū)分奇偶項的符號)；已知數(shù)列中的遞推關系，一般只要求寫出數(shù)列的前幾項，若求通項可用歸納、猜想和轉(zhuǎn)化的方法. 2.強調(diào)an與Sn的關系：an＝. 3.已知遞推關系求通項：對這類問題的要求不高，但試題難度較難把握.一般有三種常見思路： (1)算出前幾項，再歸納、猜想； (2)“an＋1＝pan＋

28、q”這種形式通常轉(zhuǎn)化為an＋1＋λ＝p(an＋λ)，由待定系數(shù)法求出λ，再化為等比數(shù)列； (3)逐差累加或累乘法. 　數(shù)列的概念與簡單表示法 一、選擇題 1.下列說法正確的是 (　　) A.數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7} B.數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列 C.數(shù)列的第k項為1＋ D.數(shù)列0,2,4,6，…可記為{2n} 2.數(shù)列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝an＋1＋an對所有正整數(shù)n都成立，則a10等于(　　) 　A.34 B.55 C.89 D.100 3.如果

29、數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－3，那么這個數(shù)列的通項公式是 (　　) A.an＝2(n2＋n＋1) B.an＝3·2n C.an＝3n＋1 D.an＝2·3n 二、填空題 4.已知數(shù)列{an}對于任意p，q∈N*，有ap＋aq＝ap＋q，若a1＝，a36＝__4______. 5.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，對任意n∈N*都有Sn＝an－，且1

30、公式是an＝n2－7n＋6. (1)這個數(shù)列的第4項是多少？ (2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？ (3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？ 解　(1)當n＝4時，a4＝42－4×7＋6＝－6. (2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150， 解得n＝16或n＝－9(舍去)， 即150是這個數(shù)列的第16項. (3)令an＝n2－7n＋6>0，解得n>6或n<1(舍).∴從第7項起各項都是正數(shù). 一、選擇題 1.已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝ (n∈N*)，則a1·a2·…·a2 011的值為 (　　) A.－3 B.1

31、 C.2 D.3 2.數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為(　　) A.5 B. C. D. 3.數(shù)列{an}中，a1＝1，對于所有的n≥2，n∈N*都有a1·a2·a3·…·an＝n2，則a3＋a5等于(　　) A. B. C. D. 1．設數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2，則a8的值為 (　　) A．15 B．16 C．49 D．64 2．已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，那么這個數(shù)列是 (　　) A．遞增數(shù)列 B．

32、遞減數(shù)列 C．擺動數(shù)列 D．常數(shù)列 3．已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2(an－1)，則a2等于 (　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 4．數(shù)列{an}中，若an＋1＝，a1＝1，則a6等于 (　　) A．13 B. C．11 D. 5．數(shù)列{an}滿足an＋an＋1＝ (n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項和，則S21為 (　　) A．5 B. C. D. 二、填空題 4.已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝1－ (n≥2)，則a16＝_______

33、_. 5.數(shù)列，，，，…中，有序數(shù)對(a，b)是______________. 6.若數(shù)列中的最大項是第k項，則k＝__4______. 7．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且有Sn＝n2＋1，則數(shù)列{an}的通項an＝__________________. 8．將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣： 1 2　3 4　5　6 7　8　9　10 11　12　13　14　15 …　…　…　…　…　… 根據(jù)以上排列規(guī)律，數(shù)陣中第n (n≥3)行從左至右的第3個數(shù)是____________． 三、解答題 7.已知數(shù)列{an}中，an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0). (1

34、)若a＝－7，求數(shù)列{an}中的最大項和最小項的值； (2)若對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍. 7.解　(1)∵an＝1＋ (n∈N*，a∈R，且a≠0)，∵a＝－7，∴an＝1＋. 結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性. 可知1>a1>a2>a3>a4； a5>a6>a7>…>an>1 (n∈N*). ∴數(shù)列{an}中的最大項為a5＝2，最小項為a4＝0. (2)an＝1＋＝1＋. ∵對任意的n∈N*，都有an≤a6成立，并結(jié)合函數(shù)f(x)＝1＋的單調(diào)性， ∴5<<6，∴－10

35、(2)－1，，－，，－，. 9．解　(1)∵a1＝1＋，a2＝2＋，a3＝3＋，…，∴an＝n＋(n∈N*)． (2)∵a1＝－，a2＝，a3＝－， a4＝，…， ∴an＝(－1)n·(n∈N*) 10．由下列數(shù)列{an}遞推公式求數(shù)列{an}的通項公式： (1)a1＝1，an－an－1＝n (n≥2)； (2)a1＝1，＝ (n≥2)； (3)a1＝1，an＝2an－1＋1 (n≥2)． 10．解　(1)由題意得，an－an－1＝n，an－1－an－2＝n－1，…，a3－a2＝3，a2－a1＝2. 將上述各式等號兩邊累加得， an－a1＝n＋(n－1)＋…＋3＋2， 即

36、an＝n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1＝， 故an＝. (2)由題意得，＝，＝，…，＝，＝. 將上述各式累乘得，＝，故an＝ (3)由an＝2an－1＋1， 得an＋1＝2(an－1＋1)， 又a1＋1＝2≠0，所以＝2， 即數(shù)列{an＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列． 所以an＋1＝2n，即an＝2n－1 11．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項和Tn＝2－bn. (1)求數(shù)列{an}與{bn}的通項公式； (2)設cn＝a·bn，證明：當且僅當n≥3時，cn＋1

37、n－Sn－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.a1也適合， ∴{an}的通項公式an＝4n 將n＝1代入Tn＝2－bn，得b1＝2－b1，故T1＝b1＝1 (求bn方法一)對于n≥2，由Tn－1＝2－bn－1， Tn＝2－bn，得bn＝Tn－Tn－1＝－(bn－bn－1)， ∴bn＝bn－1，bn＝21－n (求bn方法二)對于n≥2，由Tn＝2－bn得 Tn＝2－(Tn－Tn－1)， 2Tn＝2＋Tn－1，Tn－2＝(Tn－1－2)， Tn－2＝21－n(T1－2)＝－21－n， Tn＝2－21－n， bn＝Tn－Tn－1＝(2－21－n)－(2－22－n)＝21－n. b1＝1也適合 綜上，{bn}的通項公式bn＝21－n. (2)證明　方法一　由cn＝a·bn＝n225－n， 得＝2 當且僅當n≥3時，1＋≤<， ∴<·()2＝1，又cn＝n2·25－n>0，即cn＋1