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1、2022年高三數學總復習 同角三角函數的基本關系式教案 理 教材分析 這節(jié)課主要是根據三角函數的定義，導出同角三角函數的兩個基本關系式sin2a＋cos2a＝1與，并初步進行這些公式的兩類基本應用．教學重點是公式sin2a＋cos2a＝1與的推導及以下兩類基本應用： （1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一個，求其余兩個三角函數． （2）化簡三角函數式及證明簡單的三角恒等式． 其中，已知某角的一個三角函數值，求它的其余各三角函數值時，正負號的選擇是本節(jié)的一個難點，正確運用平方根及象限角的概念是突破這一難點的關鍵；證明恒等式是這節(jié)課的另一個難點．課堂上教師應放手讓學生獨立解決問題，優(yōu)化自

2、己的解題過程． 教學目標 1. 讓學生經歷同角三角函數的基本關系的探索、發(fā)現過程，培養(yǎng)學生的動手實踐、探索、研究能力． 2. 理解和掌握同角三角函數的基本關系式，并能初步運用它們解決一些三角函數的求值、化簡、證明等問題，培養(yǎng)學生的運算能力，邏輯推理能力． 3. 通過同角三角函數基本關系的學習，揭示事物之間的普遍聯(lián)系規(guī)律，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義世界觀． 任務分析 這節(jié)課的主要任務是引導學生根據三角函數的定義探索出同角三角函數的兩個基本關系式：sin2a＋cos2a＝1及，并進行初步的應用．由于該節(jié)內容比較容易，所以，課堂上無論是關系式的探索還是例、習題的解決都可以放手讓學生獨立完成，

3、即由學生自己把要學的知識探索出來，并用以解決新的問題．必要時，教師可以在以下幾點上加以強調：（1）“同角”二字的含義．（2）關系式的適用條件．（3）化簡題最后結果的形式．（4）怎樣優(yōu)化解題過程． 教學設計 一、問題情境 教師出示問題：上一節(jié)內容，我們學習了任意角α的六個三角函數及正弦線、余弦線和正切線，你知道它們之間有什么聯(lián)系嗎？你能得出它們之間的直接關系嗎？ 二、建立模型 1. 引導學生寫出任意角α的六個三角函數，并探索它們之間的關系 在角α的終邊上任取一點P（x，y），它與原點的距離是r（r＞0），則角α的六個三角函數值是 2. 推導同角三角函數關系式 引導學生通過觀察

4、、分析和討論，消元（消去x，y，r），從而獲取下述基本關系． （1）平方關系：sin2a＋cos2a＝1． （2）商數關系：t： 說明：①當放手讓學生推導同角三角函數的基本關系時，部分學生可能會利用三角函數線，借助勾股定理及相似三角形的知識來得出結論．對于這種推導方法，教師也應給以充分肯定，并進一步引導學生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1． ②除以上兩個關系式外，也許部分學生還會得出如下關系式：. 教師點撥：這些關系式都很對，但最基本的還是（1）和（2），故為了減少大家的記憶負擔，只須記?。?）和（2）即可．以上關系式均為同角三角函數的基本關系式． 教師啟發(fā)：（1）對“同角”二字

5、，大家是怎樣理解的？ （2）這兩個基本關系式中的角α有沒有范圍限制？ （3）自然界的萬物都有著千絲萬縷的聯(lián)系，大家只要養(yǎng)成善于觀察的習慣，也許每天都會有新的發(fā)現．剛才我們發(fā)現了同角三角函數的基本關系式，那么這些關系式能用于解決哪些問題呢？ 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值． 2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值． 說明：這兩個題是關系式的基本應用，應讓學生獨立完成．可選兩名同學到黑板前板書，以便規(guī)范解題步驟． 變式1　在例2中若去掉“且α是第二象限角”，該題的解答過程又將如何？ 師生一起完成該題

6、的解答過程． 解：由題意和基本關系式，列方程組，得 由②，得sinα＝－cosα， 代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝． ∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角． 當α是第二象限角時，cosα＝－， 代入②式，得； 當α是第四象限角時，cosα＝， 代入②式，得. 小結：由平方關系求值時，要涉及開方運算，自然存在符號的選取問題．由于本題沒有具體指明α是第幾象限角，因此，應針對α可能所處的象限，分類討論． 變式2　把例2變?yōu)椋? 已知tanα＝－，求的值． 解法1：由tanα＝－及基本關系式可解得 針對兩種情況下的結果居然一致的情況，教師及時點撥：

7、 觀察所求式子的特點，看能不能不通過求sinα，cosα的值而直接得出該分式的值． 學生得到如下解法： 由此，引出變式3． 已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值． 有了上一題的經驗，學生會得到如下解法： 教師歸納、啟發(fā)：這個方法成功地避免了開方運算，因而也就避開了不必要的討論．遺憾的是，因為它不是分式形式，所以解題過程不像“變式2”那樣簡捷．那么，能解決這一矛盾嗎？ 學生得到如下解法： 教師引導學生反思、總結：（1）由于開方運算一般存在符號選取問題，因此，在求值過程中，若能避免開方的應盡量避免． （2）當式子為分式且分子、分母都為三角函數的n（n∈N

8、且n≥1）次冪的齊次式時，采用上述方法可優(yōu)化解題過程． ［練　習］ 當學生完成了以上題目后，教師引導學生討論如下問題： （1）化簡題的結果一定是“最簡”形式，對三角函數的“最簡”形式，你是怎樣理解的？ （2）關于三角函數恒等式的證明，一般都有哪些方法？你是否發(fā)現了一些技巧？ 四、拓展延伸 教師出示問題，啟發(fā)學生一題多解，并激發(fā)學生的探索熱情． 已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值． 解法1：由sinα－cosα＝－，得 反思：（1）解法1的結果比解法2的結果多了一個，看來產生了“增根”，那么，是什么原因產生了增根呢？ （2）當學生發(fā)現了

9、由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的過程中，α的范圍變大了時，教師再點撥： 怎樣才能使平方變形是等價的呢？ 由學生得出如下正確答案： ∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2． 強調：非等價變形是解法1出錯的關鍵！ 點　評 這篇案例力求體現新課程理念下的以人為本的思想，充分發(fā)揮了學生的主體作用．教師充當著學生學習的引導者、支持者和幫助者的角色．教師和學生是本課的共同參與者，共同努力完成了這一節(jié)課的教學活動．在這節(jié)課上，學生的積極性被充分調動起來，從而使學生在積極思維的活動中取得了成功并飽嘗到了成功的喜悅．案例中的教學活動體現了研究性學習和探索性學習的方法． 總之，充分調動學生數學學習的主動性，強調質疑和化疑，是這篇案例的成功之處．