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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 誘導(dǎo)公式教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容以學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)值為基礎(chǔ)，利用單位圓和三角函數(shù)的定義，導(dǎo)出三角函數(shù)的五組誘導(dǎo)公式，即有關(guān)角k·360°＋α，180°＋α，－α，180°－α，360°－α的公式，并通過(guò)運(yùn)用這些公式，把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值，從而滲透了把未知問(wèn)題化歸為已知問(wèn)題的化歸思想．這節(jié)課的重點(diǎn)是后四組誘導(dǎo)公式以及這五組公式的綜合運(yùn)用．把這五組公式用一句話(huà)歸納出來(lái)，并切實(shí)理解這句話(huà)中每一詞語(yǔ)的含義，是切實(shí)掌握這五組公式的難點(diǎn)所在．準(zhǔn)確把握每一組公式的意義及其中符號(hào)語(yǔ)言的特征，并且把公式二、三與圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，是突破上述

2、難點(diǎn)的關(guān)鍵． 教學(xué)目標(biāo) 1. 在教師的引導(dǎo)下，啟發(fā)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)誘導(dǎo)公式及其證明，培養(yǎng)學(xué)生勇于探求新知、善于歸納總結(jié)的能力． 2. 理解并掌握正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，并能應(yīng)用這些公式解決一些求值、化簡(jiǎn)、證明等問(wèn)題． 3. 讓學(xué)生體驗(yàn)探索后的成功喜悅，培養(yǎng)學(xué)生的自信心． 4. 使學(xué)生認(rèn)識(shí)到轉(zhuǎn)化“矛盾”是解決問(wèn)題的有效途徑，進(jìn)一步樹(shù)立化歸思想． 任務(wù)分析 誘導(dǎo)公式的重要作用之一就是把求任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為求銳角的三角函數(shù)值．在五組誘導(dǎo)公式中，關(guān)于180°＋α與－α的誘導(dǎo)公式是最基本的，也是最重要的．在推導(dǎo)這兩組公式時(shí)，應(yīng)放手讓學(xué)生獨(dú)立探索，尋求“180°＋α與角α的終邊”及“－

3、α與角α的終邊”之間的位置關(guān)系，從而完成公式的推導(dǎo)．此外，要把90°～360°范圍內(nèi)的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)，除了利用第二、四、五個(gè)公式外，還可以利用90°＋α，270°±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系．應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在掌握前五組誘導(dǎo)公式的基礎(chǔ)上進(jìn)一步探求新的關(guān)系式，從而使學(xué)生在頭腦中形成完整的三角函數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情境 教師提出系列問(wèn)題 1. 在初中我們學(xué)習(xí)了求銳角的三角函數(shù)值，現(xiàn)在角的概念已經(jīng)推廣到了任意角，能否把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值呢？ 2. 當(dāng)α＝390°時(shí)，能否求出它的正弦、余弦和正切值？ 3. 由2你能否得出一般性的結(jié)論？試說(shuō)明理由

4、． 二、建立模型 1. 分析1 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立推出公式（一），即 2. 應(yīng)用1 在公式的應(yīng)用中讓學(xué)生體會(huì)公式的作用，即把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為0°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值． 練習(xí)：求下列各三角函數(shù)值． （1）cosπ．　　（2）tan405°． 3. 分析2 如果能夠把90°～360°范圍內(nèi)的角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值，即可實(shí)現(xiàn)“把任意角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù)值”的目標(biāo)．例如，能否將120°，240°，300°角與我們熟悉的銳角建立某種聯(lián)系，進(jìn)而求出其余弦值？ 引導(dǎo)學(xué)生利用三角函數(shù)的定義并借助圖形，得到如下結(jié)果： cos120°

5、＝cos（180°－60°）＝－cos60°＝－， cos240°＝cos（180°＋60°）＝－cos60°＝－， cos300°＝cos（360°＋60°）＝cos60°＝． 4. 分析3 一般地，cos（180°＋α），cos（180°－α），cos（360°－α）與cosα的關(guān)系如何？你能證明自己的結(jié)論嗎？由學(xué)生獨(dú)立完成下述推導(dǎo)： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y）．由于角180°＋α的終邊就是角α的終邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)，則角180°＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)P′與點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)． 由此可知，點(diǎn)P′的坐標(biāo)是（－x，－y）． 又∵單位圓的半徑r＝1，∴cosα＝x，sin

6、α＝y(tǒng)，tanα＝，cos（180°＋α）＝－x，sin（180°＋α）＝－y，tan（180°＋α）＝． 從而得到： 5. 分析4 在推導(dǎo)公式三時(shí)，學(xué)生會(huì)遇到如下困難，即：若α為任意角，180°－α與角α的終邊的位置關(guān)系不容易判斷．這時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生借助公式二，把180°－α看成180°＋（－α），即：先把180°－α的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為－α的三角函數(shù)值，然后通過(guò)尋找－α的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系，使原問(wèn)題得到解決． 由學(xué)生獨(dú)立完成如下推導(dǎo)： 如圖，設(shè)任意角α的終邊與單位圓相交于P（x，y），角－α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)P′．∵這兩個(gè)角的終邊關(guān)于ｘ軸對(duì)稱(chēng)，∴點(diǎn)P′的

7、坐標(biāo)是（x，－y）．又∵r＝1，∴cos（－α）＝x， sin（－α）＝－y，tan（－α）＝ 從而得到： 進(jìn)而推出： 注：在問(wèn)題的解決過(guò)程中，教師要注意讓學(xué)生充分體驗(yàn)成功的快樂(lè)． 6. 教師歸納 公式（一）、（二）、（三）、（四）、（五）都叫作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把k·360°＋α，180°±α，－α，360°－α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)．那么，在轉(zhuǎn)化過(guò)程中，發(fā)生了哪些變化？這種變化是否存在著某種規(guī)律？ 引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行如下概括：α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)值，等于α的同名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．為了

8、便于記憶，還可編成一句口訣“函數(shù)名不變，符號(hào)看象限”． 三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例　題］ 1. 求下列各三角函數(shù)值． 通過(guò)應(yīng)用，讓學(xué)生體會(huì)誘導(dǎo)公式的作用： ①把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角三角函數(shù)，其一般步驟為 評(píng)注：本題中，若代入cosα·cot3α形式，就須先求得cosα的值．由于不能確定角α所在象限，解題過(guò)程將變得煩鎖．以此提醒學(xué)生注意選取合理形式解決問(wèn)題． 四、拓展延伸 教師出示問(wèn)題：前面我們利用三角函數(shù)的定義及對(duì)稱(chēng)性研究了角α＋k·360°（k∈Z），－α，180°±α，360°－α的三角函數(shù)與角α的三角函數(shù)之間的關(guān)系，這些角有一個(gè)共同點(diǎn)，即：均為180°的整數(shù)倍加、減

9、α．但是，在解題過(guò)程中，還會(huì)遇到另外的情況，如前面遇到的120°角，它既可以寫(xiě)成180°－60°，也可以寫(xiě)成90°＋30°，那么90°＋α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)有著怎樣的關(guān)系呢？ 學(xué)生探究：經(jīng)過(guò)獨(dú)立探求后，有學(xué)生可能會(huì)得到如下結(jié)果： 設(shè)角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），角90°＋α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖），則cosα＝x，sinα＝y(tǒng)，cos（90°＋α）＝x′，sin（90°＋α）＝y(tǒng)′． 過(guò)P作PM⊥x軸，垂足為M，過(guò)P′作P′M′⊥y軸，垂足為M′，則△OPM≌△OP′M′，∴OM＝OM′，MP＝M′P′，即x＝y(tǒng)′，y＝x′． 進(jìn)而得到cos（9

10、0°＋α）＝sinα，sin（90°＋α）＝cosα．對(duì)此結(jié)論和方法，教師不宜作任何評(píng)論，而應(yīng)放手讓學(xué)生展開(kāi)辯論和交流，最后得到正確結(jié)果： 由于OM與OM′，MP與M′P′僅是長(zhǎng)度相等，而當(dāng)點(diǎn)P在第一象限時(shí)，P′在第二象限，∴x′＜0，y′＞0， 又∵x＞0，y＞0，∴x′＝－y，y′＝x． 從而得到： 教師進(jìn)一步引導(dǎo)： （1）推導(dǎo)上面的公式時(shí)，利用了點(diǎn)P在第一象限的條件．當(dāng)點(diǎn)Ｐ不在第一象限時(shí)，是否仍有上面的結(jié)論？ （通過(guò)多媒體演示角α的終邊在不同象限的情景，使學(xué)生理解公式六中的角α可以為任意角） （2）推導(dǎo)公式六時(shí)，采用了初中的平面幾何知識(shí)．是否也能像推導(dǎo)前五組公式那樣采用

11、對(duì)稱(chēng)變換的方式呢？ 學(xué)生探究：學(xué)生先針對(duì)α為銳角時(shí)的情況進(jìn)行探索，再推廣到α為任意角的情形． 設(shè)角α的終邊與單位圓交點(diǎn)為P（x，y），＋α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P′（x′，y′）（如圖）．由于角α的終邊經(jīng)過(guò)下述變換：2（－α） ＋2a＝，即可得到＋α的終邊．這是兩次對(duì)稱(chēng)變換，即先作P關(guān)于直線(xiàn)y＝x的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)M（y，x），再作點(diǎn)M關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′（－y，－x），∴x′＝－y，y′＝x． 由此，可進(jìn)一步得到： 教師歸納：公式六、七、八、九也稱(chēng)作誘導(dǎo)公式，利用它們可以把90°±α，270°±α的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為α的三角函數(shù)． 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出： 90°±α，270°±α的三角函

12、數(shù)值等于α的余名函數(shù)值，前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)． 兩套公式合起來(lái)，可統(tǒng)一概括為 對(duì)于k·90°±α（k∈Z）的各三角函數(shù)值，當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，得α的同名函數(shù)值；當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，得α的余名函數(shù)值．然后，均在前面加上一個(gè)把α看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號(hào)．為了便于記憶，也可編成口訣：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”． 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，充分尊重學(xué)生的思維特點(diǎn)，通過(guò)創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引發(fā)認(rèn)知沖突，較好地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，符合新課程理念的精神．在教學(xué)設(shè)計(jì)中，教師以學(xué)生活動(dòng)為主，注意師生互動(dòng)，體現(xiàn)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)．實(shí)際的課堂教學(xué)表明，在教學(xué)過(guò)程中，教師對(duì)每名同學(xué)的發(fā)言都給以充分地鼓勵(lì)，即使他的解法不完美，甚至不正確．這對(duì)保護(hù)學(xué)生大膽嘗試、認(rèn)真思考的積極性至關(guān)重要．只有這樣，才能將教學(xué)效果落實(shí)到學(xué)生個(gè)體的學(xué)習(xí)行為上，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)．總之，這篇案例的突出特點(diǎn)就是，注意通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)探究的熱情，完成五組誘導(dǎo)公式的推導(dǎo)．缺陷是，在關(guān)注五組誘導(dǎo)公式推導(dǎo)的“一氣呵成”的同時(shí)，鞏固、強(qiáng)化工作顯得單?。@是一對(duì)棘手的矛盾！