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1、2022年高中信息技術(shù) 全國青少年奧林匹克聯(lián)賽教案 遞推法 所謂遞推，是指從已知的初始條件出發(fā)，依據(jù)某種遞推關(guān)系，逐次推出所要求的各中間結(jié)果及最后結(jié)果。其中初始條件或是問題本身已經(jīng)給定，或是通過對問題的分析與化簡后確定。 可用遞推算法求解的題目一般有以下二個特點： （1） 問題可以劃分成多個狀態(tài)； （2） 除初始狀態(tài)外，其它各個狀態(tài)都可以用固定的遞推關(guān)系式來表示。 在我們實際解題中，題目不會直接給出遞推關(guān)系式，而是需要通過分析各種狀態(tài)，找出遞推關(guān)系式。 遞推法應(yīng)用 例1騎士游歷:（noip1997tg） 設(shè)有一個n*m的棋盤(2<=n<=50,2<=m<=50),如下圖,在

2、棋盤上任一點有一個中國象棋馬, 馬走的規(guī)則為:1.馬走日字 2.馬只能向右走，即如下圖所示: 任務(wù)1:當(dāng)N,M 輸入之后,找出一條從左下角到右上角的路徑。 例如:輸入 N=4,M=4 輸出:路徑的格式:(1,1)->(2,3)->(4,4) 若不存在路徑,則輸出"no" 任務(wù)2:當(dāng)N,M 給出之后,同時給出馬起始的位置和終點的位置,試找出從起點到終點的所有路徑的數(shù)目。 例如:(N=10,M=10),(1,5)(起點),(3,5)(終點) 輸出:2(即由(1,5)到(3,5)共有2條路徑) 輸入格式:n,m,x1,y1,x2,y2(分別表示n,m,起

3、點坐標(biāo),終點坐標(biāo)) 輸出格式:路徑數(shù)目(若不存在從起點到終點的路徑,輸出0) 算法分析：為了研究的方便，我們先將棋盤的橫坐標(biāo)規(guī)定為i，縱坐標(biāo)規(guī)定為j，對于一個n×m的棋盤，i的值從1到n，j的值從1到m。棋盤上的任意點都可以用坐標(biāo)(i,j)表示。對于馬的移動方法，我們用K來表示四種移動方向(1,2,3,4)；而每種移動方法用偏移值來表示，并將這些偏移值分別保存在數(shù)組dx和dy中，如下表 K Dx[k] Dy[k] 1 2 1 2 2 -1 3 1 2 4 1 -2 根據(jù)馬走的規(guī)則，馬可以由（i-dx[k],j-dy[k]）走到(i,j)。只要馬能從（1

4、，1）走到（i-dx[k],j-dy[k]），就一定能走到（i,j）,馬走的坐標(biāo)必須保證在棋盤上。我們以（n,m）為起點向左遞推，當(dāng)遞推到（i-dx[k],j-dy[k]）的位置是（1，1）時，就找到了一條從（1，1）到（n,m）的路徑。 我們用一個二維數(shù)組a表示棋盤，對于任務(wù)一，使用倒推法，從終點(n,m)往左遞推， 設(shè)初始值a[n,m]為（-1，-1），如果從(i,j)一步能走到(n,m)，就將(n,m)存放在a[i,j]中。如下表，a[3,2]和a[2,3]的值是（4，4），表示從這兩個點都可以到達坐標(biāo)（4,4）。從（1,1）可到達（2，3）、（3，2）兩個點，所以a[1,1]存放兩個

5、點中的任意一個即可。遞推結(jié)束以后，如果a[1,1]值為(0,0)說明不存在路徑，否則a[1,1]值就是馬走下一步的坐標(biāo)，以此遞推輸出路徑。 -1,-1 4,4 4,4 2,3 ???任務(wù)一的源程序： const dx:array[1..4]of integer=(2,2,1,1); dy:array[1..4]of integer=(1,-1,2,-2); type map=record x,y:integer; end; var i,j,n,m,k:integer;

6、a:array[0..50,0..50]of map; begin read(n,m); fillchar(a,sizeof(a),0); a[n,m].x:=-1;a[n,m].y:=-1;{標(biāo)記為終點} for i:=n downto 2 do {倒推} for j:=1 to m do if a[i,j].x<>0 then for k:=1 to 4 do begin a[i-dx[k],j-dy[k]].x:=i; a[i-dx[k],j-dy[k]].y

7、:=j; end; if a[1,1].x=0 then writeln('no') else begin{存在路徑} i:=1;j:=1; write('(',i,',',j,')'); while a[i,j].x<>-1 do begin k:=i; i:=a[i,j].x;j:=a[k,j].y; write('->(',i,',',j,')'); end; end; end. 對于任務(wù)二，也可以使用遞推法，用數(shù)組A[i,j]存放從起點(x1,y1)到（i,j）的路徑總數(shù)，按同樣的方法

8、從左向右遞推，一直遞推到（x2,y2），a[x2,y2]即為所求的解。源程序（略） 在上面的例題中，遞推過程中的某個狀態(tài)只與前面的一個狀態(tài)有關(guān)，遞推關(guān)系并不復(fù)雜，如果在遞推中的某個狀態(tài)與前面的所有狀態(tài)都有關(guān)，就不容易找出遞推關(guān)系式，這就需要我們對實際問題進行分析與歸納，從中找到突破口，總結(jié)出遞推關(guān)系式。我們可以按以下四個步驟去分析：（1）細(xì)心的觀察；（2）豐富的聯(lián)想；（3）不斷地嘗試；（4）總結(jié)出遞推關(guān)系式。 下面我們再看一個復(fù)雜點的例子。 例2、棧（noipxxpj） 題目大意：求n個數(shù)通過棧后的排列總數(shù)。（1≤n≤18） 如輸入 3 輸出 5 算法分析：先模擬入棧、出棧操作

9、，看看能否找出規(guī)律，我們用f(n)表示n個數(shù)通過棧操作后的排列總數(shù)，當(dāng)n很小時，很容易模擬出f(1)=1；f(2)=2；f(3)=5,通過觀察，看不出它們之間的遞推關(guān)系，我們再分析N=4的情況，假設(shè)入棧前的排列為“4321”，按第一個數(shù)“4”在出棧后的位置進行分情況討論： （1） 若“4”最先輸出，剛好與N=3相同，總數(shù)為f(3); （2） 若“4”第二個輸出，則在“4”的前只能是“1”，“23”在“4”的后面，這時可以分別看作是N=1和N=2時的二種情況，排列數(shù)分別為f(1)和f(2),所以此時的總數(shù)為f(1)*f(2); （3） 若“4”第三個輸出，則“4”的前面二個數(shù)為“12”,后

10、面一個數(shù)為“3”，組成的排列總數(shù)為f(2)*f(1); （4） 若“4”第四個輸出，與情況（1）相同，總數(shù)為f(3); 所以有：f(4)=f(3)+f(1)*f(2)+f(2)*f(1)+f(3); 若設(shè)0個數(shù)通過棧后的排列總數(shù)為：f(0)=1； 上式可變?yōu)椋篺(4)=f(0)*f(3)+f(1)*f(2)+f(2)*f(1)+f(3)*f(0); 再進一步推導(dǎo)，不難推出遞推式： f(n)=f(0)*f(n-1)+f(1)*f(n-2)+…+f(n-1)*f(0); 即f(n)= (n>=1) 初始值：f(0)=1; 有了以上遞推式，就很容易用遞推法寫出程序。 var a:array[0..18]of longint; n,i,j:integer; begin readln(n); fillchar(a,sizeof(a),0); a[0]:=1; for i:=1 to n do for j:=0 to i-1 do a[i]:=a[i]+a[j]*a[i-j-1]; writeln(a[n]); end. 遞推算法最主要的優(yōu)點是算法結(jié)構(gòu)簡單，程序易于實現(xiàn)，難點是從問題的分析中找出解決問題的遞推關(guān)系式。對于以上兩個例子，如果在比賽中找不出遞推關(guān)系式，也可以用回溯法求解。