《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)、解三角形 第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式學(xué)案(11頁珍藏版)》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第19講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式
考綱要求
考情分析
命題趨勢
1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1,=tan x.
2.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出±α,π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式.
2016·全國卷Ⅲ,5
2016·四川卷,11
2015·陜西卷,6
利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系和誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡求值以及恒等變換,解決三角形內(nèi)的相關(guān)問題.
分值:4~5分
1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系
(1)平方關(guān)系:__sin2α+cos2α=1__.
(2)商數(shù)關(guān)系:?。?! tan α= ###.
2.三角函數(shù)的誘
2、導(dǎo)公式
公式一:sin(α+2kπ)=sin α,cos(α+2kπ)=__cos_α__,
tan(α+2kπ)=tan α,其中k∈Z.
公式二:sin(π+α)=__-sin_α__,cos(π+α)=__-cos_α__,
tan(π+α)=__tan_α__.
公式三:sin(-α)=__-sin_α__,cos(-α)=__cos_α__,
tan(-α)=__-tan_α__.
公式四:sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=__-cos_α__,
tan(π-α)=-tan α.
3.必會(huì)結(jié)論
(1)特殊角的三角函數(shù)值
α
0
3、π
sin α
0
1
0
-1
cos α
1
0
-1
0
tan α
0
1
不存在
0
不存在
(2)誘導(dǎo)公式可簡記為:奇變偶不變,符號看象限.“奇”與“偶”指的是誘導(dǎo)公式k·+α中的k是奇數(shù)還是偶數(shù).“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的變化,若k是奇數(shù),則正、余弦互變;若k是偶數(shù),則函數(shù)的名稱不變.“符號看象限”指的是k·+α中,將α看成銳角時(shí)k·+α所在的象限.
1.思維辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”).
(1)120°角的正弦值是,余弦值是-.( × )
(2)同角三角函數(shù)關(guān)系式中的角α是任意角.(
4、× )
(3)誘導(dǎo)公式中的角α可以是任意角.( × )
(4)誘導(dǎo)公式的口訣“奇變偶不變,符號看象限”中的“符號”與α的大小無關(guān).( √ )
解析 (1)錯(cuò)誤.sin 120°=sin(180°-60°)=sin 60°=,
cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-.
(2)錯(cuò)誤.在tan α=中α≠kπ+,k∈Z.
(3)錯(cuò)誤.對于正、余弦的誘導(dǎo)公式角α可以為任意角,而對于正切的誘導(dǎo)公式α≠+kπ,k∈Z.
(4)正確.誘導(dǎo)公式的“符號看象限”中的符號是把任意角α都看成銳角時(shí)原函數(shù)值的符號,因而與α的大小無關(guān).
2.若cos α=,a∈,則tan
5、α=( C )
A.- B.
C.-2 D.2
解析 由已知得sin α=-=-=-,
所以tan α==-2.
3.若tan α=2,則的值為( C )
A.- B.-
C. D.
解析 ===.
4.(2016·四川卷)sin 750°=?。。 ?##.
解析 sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=.
5.cos-sin=?。?! ###.
解析 cos-sin=cos +sin =
cos+sin=cos +sin =+=.
一 同角三角函數(shù)關(guān)系及其應(yīng)用
同角三角函數(shù)關(guān)系在解題中的應(yīng)用
6、
(1)利用轉(zhuǎn)化思想,對于sin α,cos α,tan α,由公式sin2α+cos2α=1,tan α=進(jìn)行轉(zhuǎn)化,可以“知一求二”.
(2)利用方程思想,對于sin α±cos α,sin αcos α,由下面三個(gè)關(guān)系式(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,(sin α+cos α)2+(sin α-cos α)2=2,可以“知一求二”.
(3)sin α,cos α的齊次式的應(yīng)用:分式中分子與分母是關(guān)于sin α,cos α的齊次式,或含有sin2α,cos2α及sin αcos α的式子求值時(shí),可將所求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代
7、換后轉(zhuǎn)化為“切”求解.
【例1】 (1)(2016·全國卷Ⅲ)若tan α=,則cos2α+2sin 2α=( A )
A. B.
C.1 D.
(2)sin21°+sin22°+…+sin289°=?。?! ###.
解析 (1)當(dāng)tan α=時(shí),原式=cos2α+4sin αcos α====,故選A.
(2)原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+=+=.
【例2】 (1
8、)已知tan α=2,求值:
①;②4sin2α-3sin αcos α-5cos2α.
(2)已知θ∈(0,π),且sin θ+cos θ=,求sin θ-cos θ的值.
解析 (1)①===-1.
②4sin2α-3sin αcos α-5cos 2α
==
==1.
(2)∵sin θ+cos θ=,∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=,
∴sin θcos θ=-.∵θ∈(0,π),θ∈,
∴sin θ>0>cos θ,sin θ-cos θ>0.
由(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1+=,得sin θ-cos θ
9、=.
二 誘導(dǎo)公式及應(yīng)用
(1)學(xué)會(huì)誘導(dǎo)公式的逆用,如sin α=sin(π-α),cos α=-cos(π-α)等,再如y=sin=sin,將y=sin中x的系數(shù)由負(fù)變正,且不改變“正弦”前面的符號.
(2)學(xué)會(huì)觀察兩角之間的關(guān)系,看看它們的和或差是否為的整數(shù)倍,如+=,-=.
【例3】 (1)計(jì)算:2sin+cos 12π+tan =__1__.
(2)已知cos=,則sin=?。。 。?##.
(3)已知f(x)=,則f=__-1__.
解析 (1)原式=2sin+cos 0+tan
=2sin π+1-tan =2sin+1-1=2sin =1.
(2)因?yàn)椋?/p>
10、=-,
所以sin=sin
=-sin=-cos=-.
(3)因?yàn)閒(x)=
===-tan2x,
所以f=-tan2=-tan2
=-tan2=-tan2=-1.
1.若點(diǎn)(16,tan θ)在函數(shù)y=log2x的圖象上,則=( D )
A.2 B.4
C.6 D.8
解析 由題意知tan θ=log216=4,所以==2tan θ=8,故選D.
2.給出下列各函數(shù)值:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10);④.其中是負(fù)數(shù)的是( C )
A.① B.②
C.③ D.④
解析 sin(-1 000°)=
11、sin 80°>0,
cos(-2 200°)=cos (-40°)=cos 40°>0,tan (-10)=-tan 10<0,
=,∵sin >0,tan <0,∴>0.
3.若cos(π-α)=且α∈,則sin(π+α)=( B )
A.- B.-
C.- D.±
解析 cos (π-α)=-cos α=,∴cos α=-.
又∵α∈,∴sin α===,
∴sin (π+α)=-sin α=-,故選B.
4.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的兩個(gè)根,則m的值為( B )
A.1+ B.1-
C.1± D.-1-
解析
12、由題意得sin θ+cos θ=-,sin θ·cos θ=.
又∵(sin θ+cos θ)2=1+2sin θ·cos θ,∴=1+,解得m=1±.又∵Δ=4m2-16m≥0,解得m≤0或m≥4,∴m=1-,故選B.
易錯(cuò)點(diǎn) 忽視隱含的平方關(guān)系
錯(cuò)因分析:含有參數(shù)的同一個(gè)角的正余弦值,要受到“sin2θ+cos2θ=1”的限制.
【例1】 若sin θ=,cos θ=,<θ<π,則m的取值范圍是( )
A.(3,9) B.{8}
C.(3,+∞) D.(-∞,9)
解析 由已知得0<<1且-1<<0,解得3
13、∴=1,解得m1=8,m2=0(舍去),故選B.
答案 B
【跟蹤訓(xùn)練1】 求函數(shù)y=(sin x+a)(cos x+a)(0
14、選擇題
1.(2018·四川成都外國語學(xué)校月考)已知tan(α-π)=,且α∈,則sin=( B )
A. B.-
C. D.-
解析 tan(α-π)=?tan α=.又α∈,所以α為第三象限的角,所以sin=cos α=-,故選B.
2.=( D )
A.- B.-
C. D.
解析 原式=
=
==.
3.已知sin α+cos α=,則tan α+的值為( D )
A.-1 B.-2
C. D.2
解析 ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=2,
∴sin αcos α=,∴tan α+==2.
15、
4.(2018·湖北黃岡調(diào)考)若A,B是銳角三角形ABC的兩個(gè)內(nèi)角,則點(diǎn)P(cos B-sin A,sin B-cos A)在( B )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析 ∵△ABC是銳角三角形,則A+B>,
∴>A>-B>0,>B>-A>0,
∴sin A>sin=cos B,sin B>sin=cos A,
∴cos B-sin A<0,sin B-cos A>0,∴點(diǎn)P在第二象限,故選B.
5.(2018·安徽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x+π)=f(x)+sin x.當(dāng)0≤x<π時(shí),f(x)=0,則f=( A )
16、A. B.
C.0 D.-
解析 f=f+sin=f+sin+sin=f+sin+sin+sin=sin π+sinπ+sinπ=-+=.
6.已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1,則sin α的值是( C )
A. B.
C. D.
解析 由已知得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,
解得tan α=3,故sin α=.
二、填空題
7.已知tan α=-,<α<π,則sin α=?。。 ?##.
解析 ∵α為第二象限角,tan α=-,∴設(shè)α終邊上一點(diǎn)P(
17、x,y),其中x=-2,y=1,則r=,∴sin α=.
8.(2018·浙江紹興模擬)若f(cos x)=cos 2x,則f(sin 15°)=?。?
解析 f(sin 15°)=f(cos 75°)=cos 150°=cos(180°-30°)=-.
9.函數(shù)y=的最大值為!??! ###.
解析 設(shè)t=cos x+sin x,則t∈[-,-1)∪(-1,].
于是y==,當(dāng)t=時(shí),y取最大值.
三、解答題
10.已知cos=,α∈,求的值.
解析?。剑?cos α-sin α)=2sin.
∵α∈,∴-α∈,又cos=,
∴sin=,∴=.
11.已知si
18、n2α+sin αcos α-2cos2α=,求tan α的值.
解析 由已知得=,
所以=,整理得,tan2α+5tan α-14=0,
解得tan α=2或tan α=-7.
12.已知sin(3π+α)=lg,cos(π-α)>0.
(1)求的值;
(2)求sin2-cos2的值.
解析 (1)因?yàn)閟in(3π+α)=sin(π+α)=-sin α,
lg=lg 10-=-,所以-sin α=-,即sin α=.
又因?yàn)閏os(π-α)=-cos α>0,即cos α<0,
所以cos α=-=-.則==3-2.
(2)sin 2-cos 2=cos 2α-sin 2α=2-2=.
11