2022年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 三角函數(shù)(1)(含解析)
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1、2022年高三數(shù)學一輪復習 專項訓練 三角函數(shù)(1)(含解析) 1、若sin α·tan α<0,且<0,則角α是( ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析:由sin α·tan α<0可知sin α,tan α異號,從而α為第二或第三象限的角,由<0,可知cos α,tan α異號.從而α為第三或第四象限角.綜上,α為第三象限角. 答案:C 2、 已知一扇形的圓心角為α(α>0),所在圓的半徑為R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧長及該弧所在的弓形的面積; (2)若扇形的周長是一
2、定值C(C>0),當α為多少弧度時,該扇形有最大面積? 解 (1)設弧長為l,弓形面積為S弓,則 α=60°=,R=10,l=×10=(cm), S弓=S扇-S△=××10-×102×sin =π-=50(cm2). (2)法一 扇形周長C=2R+l=2R+αR,∴R=, ∴S扇=α·R2=α·2 =α·=·≤. 當且僅當α2=4,即α=2 rad時,扇形面積有最大值. 法二 由已知,得l+2R=C, ∴S扇=lR=(C-2R)R=(-2R2+RC) =-2+. 故當R=,l=2R,α=2 rad時,這個扇形的面積最大,最大值為. 3.若sin α<0且tan α>
3、0,則α是( ). A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析 ∵sin α<0,則α的終邊落在第三、四象限或y軸的負半軸;又tan α>0,∴α在第一象限或第三象限,故α在第三象限. 答案 C 4.已知角θ的頂點為坐標原點,始邊為x軸的非負半軸,若P(4,y)是角θ終邊上一點,且sin θ=-,則y=______. 解析 因為sin θ==-,所以y<0,且y2=64,所以y=-8. 答案?。? 5. 如圖所示,在平面直角坐標系xOy中,角α的終邊與單位圓交于點A,點A的縱坐標為,則cos α=____.
4、解析 因為A點縱坐標yA=,且A點在第二象限,又因為圓O為單位圓,所以A點橫坐標xA=-,由三角函數(shù)的定義可得cos α=-. 答案?。? 6.函數(shù)y=的定義域為________. 解析 ∵2cos x-1≥0,∴cos x≥. 由三角函數(shù)線畫出x滿足條件的終邊的范圍(如圖陰影所示). ∴x∈(k∈Z). 答案 (k∈Z) 7.(1)寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-360°≤α<720°的元素α寫出來: ①60°;②-21°. (2)試寫出終邊在直線y=-x上的角的集合S,并把S中適合不等式-180°≤α<180°的元素α寫出來. 解 (1)①
5、S={α|α=60°+k·360°,k∈Z},其中適合不等式-360°≤α<720°的元素α為-300°,60°,420°; ②S={α|α=-21°+k·360°,k∈Z},其中適合不等式-360°≤α<720°的元素α為-21°,339°,699°. (2)終邊在y=-x上的角的集合是S={α|α=k·360°+120°,k∈Z}∪{α|α=k·360°+300°,k∈Z}={α|α=k·180°+120°,k∈Z},其中適合不等式-180°≤α<180°的元素α為-60°,120°. 8.已知角α的終邊經(jīng)過點(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,則實數(shù)a的取值范圍
6、是( ). A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] 解析 由cos α≤0,sin α>0可知,角α的終邊落在第二象限或y軸的正半軸上,所以有解得-2<a≤3. 答案 A 9.若角α的終邊落在直線x+y=0上,則+=________. 解析 原式=+,由題意知角α的終邊在第二、四象限,sin α與cos α的符號相反,所以原式=0. 答案 0 同角三角函數(shù)關系式 1、 (1)已知tan α=2,則=___________, 4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α=________. (2)已知sin θ·cos θ=
7、,且<θ<,則cos θ-sin θ的值為________. 解析 (1)===-1, 4sin2 α-3sin αcos α-5cos2α= ===1. (2)當<θ<時,sin θ>cos θ, ∴cos θ-sin θ<0, 又(cos θ-sin θ)2=1-2sin θcos θ=1-=, ∴cos θ-sin θ=-. 答案 (1)-1 1 (2)- 2、已知sin α+cos α=,0<α<π,則tan α=______. 解析:法二 ∵sin α+cos α=,∴(sin α+cos α)2=2, 即1+2sin αcos α=,∴2sin αcos α=
8、-, ∴(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=1+=. ∵sin αcos α=-<0且0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,∴sin α-cos α>0, ∴sin α-cos α=, 由得∴tan α=-. 誘導公式 1、 (1)sin(-1 200°)cos 1 290°+cos(-1 020°)·sin(-1 050°)=________. (2)設f(α)=(1+2sin α≠0),則f=________. 解析 (1)原式=-sin 1 200°cos 1 290°-cos 1 020°sin1 050° =-sin(3×360
9、°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°) =-sin 120°cos 210°-cos 300°sin 330° =-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)·sin(360°-30°) =sin 60°cos 30°+cos 60°sin 30°=×+×=1. (2)∵f(α)= ===, ∴f== ==. 答案 (1)1 (2) 2、 (1)sin(-1 071°)sin 99°+sin(-171°)sin(-261°)+tan(-1 089°)tan(-540
10、°)=________. (2)化簡:=________. 解析 (1)原式=(-sin 1 071°)·sin 99°+sin 171°· sin 261°+tan 1 089°·tan 540° =-sin(3×360°-9°)sin(90°+9°)+sin(180°-9°)· sin(270°-9°)+tan(3×360°+9°)·tan(360°+180°) =sin 9°cos 9°-sin 9°cos 9°+tan 9°·tan 180° =0+0=0. (2)原式= == =-=-·=-1. 答案 (1)0 (2)-1 4 (1)已知sin=,則cos=_
11、_____; (2)已知tan=,則tan=________. 解析 (1)∵+=, ∴cos=cos=sin=. (2)∵+=π,∴tan= -tan=-tan=-. 答案 (1) (2)- 5、 (1)已知sin=,則cos=________; (2)若tan(π+α)=-,則tan(3π-α)=________. 解析 (1)cos=cos=cos =-cos, 而sin=sin=cos=, 所以cos=-. (2)因為tan(π+α)=tan α=-, 所以tan(3π-α)=tan(π-α)=-tan α=. 答案 (1)- (2) 簡單的三角函數(shù)
12、計算 1、(xx·浙江卷)已知α∈R,sin α+2cos α=,則tan 2α=( ). A. B. C.- D.- 解析:法一 (直接法)兩邊平方,再同時除以 cos2 α,得3tan2 α-8tan α-3=0,tan α=3或tan α=-,代入tan 2α=, 綜上,tan 2α=-.故選C. 2、已知sin θ+cos θ=,則sin θ-cos θ的值為( ). A. B.- C. D.- 解析:∵0<θ<,∴cos θ>sin θ, 又(sin θ+cos θ)
13、2=1+2sin θcos θ=, ∴2sin θcos θ=, ∴(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ=1-=, ∴sin θ-cos θ=-. 3.sin+cos-tan=( ). A.0 B. C.1 D.- 解析 原式=sin(4π+)+cos(-10π+)-tan(6π+) =sin+cos-tan =+-1=0. 答案 A 4.已知=5,則sin2 α-sin αcos α的值是( ). A. B.- C.-2 D.2 解析 由=5得=5 即tan α=2,所以sin2 α-s
14、in αcos α===. 答案 A 5.若sin α是5x2-7x-6=0的根,則 =( ). A. B. C. D. 解析 由5x2-7x-6=0,得x=-或2.∴sin α=-.∴原式===. 答案 B 6.如果sin(π+A)=,那么cos的值是________. 解析 ∵sin(π+A)=,∴-sin A=. ∴cos=-sin A=. 答案 7.已知sin=,則cos的值為________. 解析 cos=cos =-sin=-. 答案?。? 8.已知sin=,且-π<α<-,則cos=________. 解析
15、 ∵sin=, 又-π<α<-, ∴<-α<, ∴cos=-=-. 答案 - 9.已知在△ABC中,sin A+cos A=. (1)求sin Acos A的值; (2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形; (3)求tan A的值. 解 (1)∵sin A+cos A=,① ∴兩邊平方得1+2sin Acos A=, ∴sin Acos A=-, (2)由sin Acos A=-<0,且0<A<π, 可知cos A<0,∴A為鈍角,∴△ABC是鈍角三角形. (3)∵(sin A-cos A)2=1-2sin Acos A=1+=, 又sin A>0,cos A
16、<0,∴sin A-cos A>0, ∴sin A-cos A=,② ∴由①,②可得sin A=,cos A=-, ∴tan A===-. 10.(xx·遼寧卷)已知sin α-cos α=,α∈(0,π),則tan α=( ). A.-1 B.- C. D.1 解析 法一 因為sin α-cos α=, 所以sin=,所以sin=1. 因為α∈(0,π),所以α=,所以tan α=-1. 11.已知α為銳角,且2tan(π-α)-3cos+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)=1, 則sin α的值是( ). A.
17、 B. C. D. 解析 由已知可得-2tan α+3sin β+5=0,tan α-6sin β=1,解得tan α=3,又sin2α+cos2α=1,α為銳角. 故sin α=. 答案 C 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 1、函數(shù)y=的定義域為________. (2)當x∈時,函數(shù)y=3-sin x-2cos2x的最小值是________,最大值是________. 解析:sin x-cos x=sin≥0,將x-視為一個整體,由正弦函數(shù)y=sin x的圖象和性質(zhì)可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z, 解得2kπ+≤x≤2kπ+,
18、k∈Z. 所以定義域為. (2)y=3-sin x-2cos2x =3-sin x-2(1-sin2x)=2sin2 x-sin x+1, 令sin x=t∈, ∴y=2t2-t+1=22+,t∈, ∴ymin=,ymax=2. 答案 (1) (2) 2 2、已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R),下面結(jié)論錯誤的是( ). A.函數(shù)f(x)的最小正周期為π B.函數(shù)f(x)是偶函數(shù) C.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=對稱 D.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù) (2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關于點中心對稱,那么|φ|的最小值為 ( ).
19、 A. B. C. D. 解析 (1)f(x)=sin=-cos 2x,故其最小正周期為π,A正確;易知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),B正確;由函數(shù)f(x)=-cos 2x的圖象可知,函數(shù)f(x)的圖象不關于直線x=對稱,C錯誤;由函數(shù)f(x)的圖象易知,函數(shù)f(x)在上是增函數(shù),D正確,故選C. (2)由題意得3cos=3cos =3cos=0,∴+φ=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z,取k=0, 得|φ|的最小值為. 答案 (1)C (2)A 3、函數(shù)y=2cos2-1是 ( ). A.最小正周期為π的奇函數(shù) B
20、.最小正周期為π的偶函數(shù) C.最小正周期為的奇函數(shù) D.最小正周期為的偶函數(shù) 解析:y=2cos2-1=cos=sin 2x為奇函數(shù),T==π. 4、函數(shù)y=2sin(3x+φ)的一條對稱軸為x=,則φ=________. 解析:由y=sin x的對稱軸為x=kπ+(k∈Z), 所以3×+φ=kπ+(k∈Z), 得φ=kπ+(k∈Z), 又|φ|<,∴k=0,故φ=. 答案 (1)A (2) 5、設函數(shù)f(x)=sin(-2x+φ)(0<φ<π),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=. (1)求φ; (2)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間. 解 (1)令(-2)×+φ
21、=kπ+,k∈Z, ∴φ=kπ+,k∈Z, 又0<φ<π,∴φ=. (2)由(1)得f(x)=sin=-sin, 令g(x)=sin, 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 即g(x)的單調(diào)增區(qū)間為,k∈Z; 由+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 即g(x)的單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z), 故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z); 單調(diào)減區(qū)間為(k∈Z). 6、 (xx·安徽卷)已知函數(shù)f(x)=4cos ωx·sin(ω>0)的最小正周期為π. (1)求ω的值; (2)討論f(x)在區(qū)間[0,]上的單調(diào)
22、性. 解 (1)f(x)=4cos ωx·sin(ωx+)=2sin ωx·cos ωx+2cos2ωx=(sin 2ωx+cos 2ωx)+=2sin(2ωx+)+. 因為f(x)的最小正周期為π,且ω>0, 從而有=π,故ω=1. (2)由(1)知,f(x)=2sin(2x+)+. 若0≤x≤,則≤2x+≤. 當≤2x+≤,即0≤x≤時,f(x)單調(diào)遞增; 當≤2x+≤,即≤x≤時,f(x)單調(diào)遞減. 綜上可知,f(x)在區(qū)間[0,]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[,]上單調(diào)遞減. 7、(xx·陜西卷)已知向量a=,b=(sin x,cos 2x),x∈R,設函數(shù)f(x)=a·b.
23、 (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在上的最大值和最小值. [規(guī)范解答] f(x)=·(sin x,cos 2x) =cos xsin x-cos 2x (2分) =sin 2x-cos 2x =sin(4分) (1)f(x)的最小正周期為T===π, 即函數(shù)f(x)的最小正周期為π. (6分) (2)∵0≤x≤, ∴-≤2x-≤. (8分) 由正弦函數(shù)的性質(zhì),得 當2x-=,即x=時,f(x)取得最大值1. 當2x-=-, 即x=0時,f(0)=-, 當2x-=,即x=時,f=, ∴f(x)的最小值為-.(11分) 因此,f(x)在上最大值是1,
24、最小值是-.(12分) 8、已知函數(shù)f(x)=cos+2sinsin. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和圖象的對稱軸; (2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的值域. 解 (1)f(x)=cos+2sinsin =cos 2x+sin 2x+(sin x-cos x)(sin x+cos x) =cos 2x+sin 2x+sin2x-cos2x =cos 2x+sin 2x-cos 2x=sin. ∴最小正周期T==π, 由2x-=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z). ∴函數(shù)圖象的對稱軸為x=+(k∈Z). (2)∵x∈,∴2x-∈, ∴-≤sin≤1. 即函數(shù)f(x)在
25、區(qū)間上的值域為. 9.下列函數(shù)中周期為π且為偶函數(shù)的是( ). A.y=sin B.y=cos C.y=sin D.y=cos 解析 y=sin=-cos 2x為偶函數(shù),且周期是π. 答案 A 10.已知函數(shù)f(x)=sin -1(ω>0)的最小正周期為,則f(x)的圖象的一條對稱軸方程是( ). A.x= B.x= C.x= D.x= 解析 依題意得,=,|ω|=3,又ω>0,因此ω=3,所以3x+=kπ+,解得x=+,當k=0時,x=. 因此函數(shù)f(x)的圖象的一條對稱軸方程是x=. 答案 A 11.若函數(shù)y=cos(ω∈N*)的一個對稱中心是,則
26、ω的最小值為( ). A.1 B.2 C.4 D.8 解析 依題意得cos=0,(ω+1)=kπ+,ω=6k+2(其中k∈Z);又ω是正整數(shù),因此ω的最小值是2. 答案 B 12.已知f(x)=sin2 x+sin xcos x,則f(x)的最小正周期和一個單調(diào)增區(qū)間分別為( ). A.π,[0,π] B.2π, C.π, D.2π, 解析 由f(x)=sin2x+sin xcos x =+sin 2x =+=+sin. ∴T==π.又∵2kπ-≤2x-≤2kπ+, ∴kπ-≤x≤kπ+(k∈
27、Z)為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.故選C. 答案 C 13.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)對任意x都有f=f,則f等于( ). A.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0 解析 由f=f知,函數(shù)圖象關于x=對稱,f是函數(shù)f(x)的最大值或最小值. 答案 B 14.函數(shù)y=lg(sin x)+的定義域為________. 解析 要使函數(shù)有意義必須有 即解得 ∴2kπ<x≤+2kπ(k∈Z), ∴函數(shù)的定義域為. 答案 (k∈Z) 15、已知函數(shù)f(x)=(sin2 x-cos2x)-2sin xcos x.
28、 (1)求f(x)的最小正周期; (2)設x∈,求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間. 解 (1)∵f(x)=-(cos2x-sin2 x)-2sin xcos x =-cos 2x-sin 2x=-2sin, ∴f(x)的最小正周期為π. (2)∵x∈,∴-≤2x+≤π, 當y=sin單調(diào)遞減時,f(x)單調(diào)遞增. ∴≤2x+≤π,即≤x≤. 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為. 16.已知函數(shù)f(x)=a+b. (1)若a=-1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間; (2)若x∈[0,π]時,函數(shù)f(x)的值域是[5,8],求a,b的值. 解 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b
29、 =asin+a+b. (1)當a=-1時,f(x)=-sin+b-1, 由2kπ+≤x+≤2kπ+(k∈Z), 得2kπ+≤x≤2kπ+(k∈Z), ∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(k∈Z). (2)∵0≤x≤π, ∴≤x+≤, ∴-≤sin≤1,依題意知a≠0. (ⅰ)當a>0時, ∴a=3-3,b=5. (ⅱ)當a<0時, ∴a=3-3,b=8. 綜上所述,a=3-3,b=5或a=3-3,b=8. 函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象及應用 1、已知f(x)=sin(ω>0)的圖象與y=-1的圖象的相鄰兩交點間的距離為π,要得到y(tǒng)=f(x)的圖象,只需把y=cos
30、 2x的圖象 ( ). A.向左平移個單位 B.向右平移個單位 C.向左平移個單位 D.向右平移個單位 解析:依題意T=π,∴T=π=,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+),∴只需y=cos 2x=sin(2x+)=sin2(x+) f(x)=sin(2x+). 答案 B 2、已知函數(shù)y=2sin.說明y=2sin的圖象可由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到. 解析:法一 把y=sin x的圖象上所有的點向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin的圖象;再把y=sin的圖象上的點的橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin的圖象;最后把y=sin的圖象上所有點的縱坐
31、標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),即可得到y(tǒng)=2sin的圖象. 法二 將y=sin x的圖象上所有點的橫坐標x縮短到原來的倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin 2x的圖象;再將y=sin 2x的圖象向左平移個單位,得到y(tǒng)=sin 2=sin的圖象;再將y=sin的圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍(橫坐標不變),得到y(tǒng)=2sin的圖象. 3、函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分圖象 如圖所示,則函數(shù)f(x)的解析式為________. 解析 由圖可知A=, 法一?。剑剑訲=π,故ω=2,因此f(x)=sin(2x+φ), 又對應
32、五點法作圖中的第三個點,因此2×+φ=π,所以φ=,故f(x)=sin. 法二 以為第二個“零點”,為最小值點, 列方程組解得 故f(x)=sin. 答案 f(x)=sin 4、(xx·四川卷)函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的部分圖象如圖所示,則ω,φ的值分別是 ( ). A.2,- B.2,- C.4,- D.4, 解析 由圖象知f(x)的周期T==π,又T=,ω>0,∴ω=2.由于f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<)的一個最高點為,故有2×+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ-,又-<φ<,∴φ=-
33、,選A. 答案 A 5、已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω,A>0,0<φ<)的最大值為2,最小正周期為π,直線x=是其圖象的一條對稱軸. (1)求函數(shù)f(x)的解析式; (2)求函數(shù)g(x)=f-f的單調(diào)遞增區(qū)間. 解 (1)由題意,得A=2,ω==2, 當x=時,2sin=±2, 即sin=±1,所以+φ=kπ+, 解得φ=kπ+,又0<φ<,所以φ=. 故f(x)=2sin. (2)g(x)=2sin-2sin =2sin 2x-2sin =2sin 2x-2 =sin 2x-cos 2x=2sin. 由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,
34、得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z. 所以函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是,k∈Z. 6、已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)為偶函數(shù),且函數(shù)y=f(x)圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為. (1)求f的值; (2)求函數(shù)y=f(x)+f的最大值及對應的x的值. 解 (1)f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) =2 =2sin. 因為f(x)為偶函數(shù), 則φ-=+kπ(k∈Z),所以φ=+kπ(k∈Z),又因為0<φ<π,所以φ=, 所以f(x)=2sin=2cos ωx. 由題意得=2·,所以ω=2. 故f(x)=2cos 2x.
35、因此f=2cos =. (2)y=2cos 2x+2cos 2 =2cos 2x+2cos=2cos 2x-2sin 2x =2sin. 令-2x=2kπ+(k∈Z),y有最大值2, 所以當x=-kπ-(k∈Z)時,y有最大值2. 7.如果函數(shù)f(x)=sin(πx+θ)(0<θ<2π)的最小正周期為T,且當x=2時,f(x)取得最大值,那么( ). A.T=2,θ= B.T=1,θ=π C.T=2,θ=π D.T=1,θ= 解析 T==2,當x=2時,由π×2+θ=+2kπ(k∈Z),得θ=-+2kπ(k∈Z),又0<θ<2π,∴θ=. 答案 A 8.已知函數(shù)y=
36、Asin(ωx+φ)+k的最大值為4,最小值為0,最小正周期為,直線x=是其圖象的一條對稱軸,則下面各式中符合條件的解析式為( ). A.y=4sin B.y=2sin+2 C.y=2sin+2 D.y=2sin+2 解析 由題意得解得 又函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+k的最小正周期為, 所以ω==4,所以y=2sin(4x+φ)+2. 又直線x=是函數(shù)圖象的一條對稱軸, 所以4×+φ=kπ+(k∈Z),所以φ=kπ-(k∈Z), 故可得y=2sin+2符合條件,所以選D. 答案 D 9.如圖是函數(shù)y=sin(ωx+φ)在區(qū)間上的圖象,將該圖象向右平移m(m>0
37、)個單位后,所得圖象關于直線x=對稱,則m的最小值為( ). A. B. C. D. 解析 令f(x)=y(tǒng)=sin(ωx+φ),由三角函數(shù)圖象知,T=π+=π,所以=π,所以ω=2.因為函數(shù)f(x)過點,且0<φ<,所以-×2+φ=0,所以φ=,所以f(x)=sin,將該函數(shù)圖象向右平移m個單位后,所得圖象的解析式是g(x)=sin,因為函數(shù)g(x)的圖象關于直線x=對稱,所以2×+-2m=+kπ(k∈Z),解得m=-(k∈Z),又m>0,所以m的最小值為. 答案 B 10.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0)在閉區(qū)間[-π,0]上的圖象
38、如圖所示, 則ω=________. 解析 由圖象可以看出T=π,∴T=π=,因此ω=3. 答案 3 11.設函數(shù)f(x)=sin,則下列命題: ①f(x)的圖象關于直線x=對稱;②f(x)的圖象關于點對稱;③f(x)的最小正周期為π,且在上為增函數(shù);④把f(x)的圖象向右平移個單位,得到一個奇函數(shù)的圖象. 其中正確的命題為________(把所有正確命題的序號都填上). 解析 對于①,f=sin=sin=,不是最值,所以x=不是函數(shù)f(x)的圖象的對稱軸,該命題錯誤;對于②,f=sin=1≠0,所以點不是函數(shù)f(x)的圖象的對稱中心,故該命題錯誤;對于③,函數(shù)f(x)的周期為T
39、==π,當x∈時,令t=2x+∈,顯然函數(shù)y=sin t在上為增函數(shù),故函數(shù)f(x)在上為增函數(shù),所以該命題正確;對于④,把f(x)的圖象向右平移個單位后所對應的函數(shù)為g(x)=sin=sin 2x,是奇函數(shù),所以該命題正確.故填③④. 答案?、邰? 12.已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)的周期為π,且圖象上有一個最低點為M. (1)求f(x)的解析式; (2)求使f(x)<成立的x的取值集合. 解 (1)由題意知:A=3,ω=2, 由3sin=-3, 得φ+=-+2kπ,k∈Z, 即φ=+2kπ,k∈Z. 而0<φ<,所以k=1,φ=. 故f(x)=3sin. (
40、2)f(x)<等價于3sin <, 即sin<, 于是2kπ-<2x+<2kπ+(k∈Z), 解得kπ-<x<kπ(k∈Z), 故使f(x)<成立的x的取值集合為. 13.已知函數(shù)f(x)=2sin xcos x+2sin2 x-1,x∈R. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間; (2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標縮短到原來的,再把所得到的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)在區(qū)間上的值域. 解 (1)因為f(x)=2sin xcos x+2sin2x-1 =sin 2x-cos 2x=2sin, ∴函
41、數(shù)f(x)的最小正周期為T=π, 由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, ∴-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為,k∈Z. (2)函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的縱坐標保持不變,橫坐標縮短到原來的,得到y(tǒng)=2sin; 再把所得到的圖象向左平移個單位長度,得到g(x)=2sin=2sin=2cos 4x, 當x∈時,4x∈, 所以當x=0時,g(x)max=2, 當x=-時,g(x)min=-1. ∴y=g(x)在區(qū)間上的值域為[-1,2]. 14、定義=a1a4-a2a3,若函數(shù)f(x)=,則將f(x)的圖象向右平移個單位所得曲線的一條對稱軸的方程是(
42、 ). A.x= B.x= C.x= D.x=π 解析 由定義可知,f(x)=sin 2x-cos 2x=2sin,將f(x)的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=2sin=2sin,由2x-=+kπ(k∈Z),得對稱軸為x=+(k∈Z),當k=-1時,對稱軸為x=-=. 答案 A 15.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象上的兩個相鄰的最高點和最低點的距離為2,且過點,則函數(shù)解析式f(x)=________. 解析 據(jù)已知兩個相鄰最高和最低點距離為2,可得=2,解得T=4,故ω==,即f(x)=sin,又函數(shù)圖象過點,故f(2)=sin=-sin φ=-,又-≤φ≤,解得φ=,
43、故f(x)=sin. 答案 sin 16.已知函數(shù)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos 2ωx-(ω>0),其最小正周期為. (1)求f(x)的表達式; (2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位,再將圖象上各點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若關于x的方程g(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍. 解 (1)f(x)=sin ωx·cos ωx+cos2ωx- =sin 2ωx+-=sin, 由題意知f(x)的最小正周期T=,T===, 所以ω=2,所以f(x)=sin. (2)將f(x)的圖象向右平移個單位后
44、,得到y(tǒng)=sin的圖象;再將所得圖象所有點的橫坐標伸長到原來的2倍(縱坐標不變),得到y(tǒng)=sin的圖象,所以g(x)=sin, 因為0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以g(x)∈ 又g(x)+k=0在區(qū)間上有且只有一個實數(shù)解,即函數(shù)y=g(x)與y=-k在區(qū)間上有且只有一個交點,由正弦函數(shù)的圖象可知-≤-k<或-k=1, 解得-<k≤或k=-1, 所以實數(shù)k的取值范圍是∪{-1}. 17.若角α的終邊經(jīng)過點P(1,-2),則tan 2α的值為( ). A.- B. C. D.- 解析 tan α==-2, tan 2α===. 答
45、案 B 18.函數(shù)y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)是( ). A.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 B.奇函數(shù)且在上單調(diào)遞增 C.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 D.偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增 解析 y=(sin x+cos x)(sin x-cos x)=sin2x-cos2x=-cos 2x,∴函數(shù)是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增. 答案 C 19.函數(shù)f(x)=sin xsin的最小正周期為( ). A.4π B.2π C.π D. 解析 f(x)=sin xsin=sin xcos x=sin 2x, 故最小正周期為T==π. 答案 C 20.要得到函數(shù)y=sin
46、的圖象,只要將函數(shù)y=sin 2x的圖象( ). A.向左平移單位 B.向右平移單位 C.向右平移單位 D.向左平移單位 解析 y=sin 2xy=sin 2=sin. 答案 C 21、已知f(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象如圖所示,則f(x)的表達式為( ). A.f(x)=2sin B.f(x)=2sin C.f(x)=2sin D.f(x)=2sin 解析 由函數(shù)的部分圖象可知T=-,則T=,結(jié)合選項知ω>0,故ω==,排除C,D;又因為函數(shù)圖象過點,代入驗證可知只有B項滿足條件. 答案 B 22.將函數(shù)f(x)=3sin圖象上所有點的橫坐標伸長
47、到原來的2倍,再向右平移個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,則y=g(x)圖象的一條對稱軸是( ). A.x= B.x= C.x= D.x= 解析 將函數(shù)f(x)=3sin圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍,得到函數(shù)y=3sin,再向右平移個單位長度,得到y(tǒng)=3sin=3sin,即g(x)=3sin.當2x-=kπ+時,解得x=kπ+,又當k=0時,x=,所以x=是一條對稱軸,故選C. 答案 C 23.已知函數(shù)f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),y=f(x)的圖象與直線y=2的兩個相鄰交點的距離等于π,則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是( ). A.,k∈Z B
48、.,k∈Z C.,k∈Z D.,k∈Z 解析 f(x)=sin ωx+cos ωx=2sin,由題設知f(x)的最小正周期為T=π,所以ω=2,即f(x)=2sin.由2kπ-≤2x+≤2kπ+(k∈Z)得,kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),故選C. 答案 C 24. 如圖所示的是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的一部分,則其函數(shù)解析式是________. 解析 由圖象知A=1,=-=,得T=2π,則ω=1,所以y=sin(x+φ). 由圖象過點,可得φ=2kπ+(k∈Z), 又|φ|<, 所以φ=,所以所求函數(shù)解析式是y=sin. 答案 y=sin 25.(xx·遼
49、寧卷)設向量a=(sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈. (1)若|a|=|b|,求x的值; (2)設函數(shù)f(x)=a·b,求f(x)的最大值. 解 (1)由|a|2=(sin x)2+(sin x)2=4sin2x,|b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得4sin2x=1. 又x∈,從而sin x=, 所以x=. (2)f(x)=a·b=sin x·cos x+sin2x =sin 2x-cos 2x+ =sin+, 當x=∈時,sin取最大值1. 所以f(x)的最大值為. 26.已知函數(shù)f(x)=1+sin
50、xcos x. (1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若tan x=2,求f(x)的值. 解 (1)已知函數(shù)可化為f(x)=1+sin 2x, 所以T==π, 令+2kπ≤2x≤+2kπ(k∈Z), 則+kπ≤x≤+kπ(k∈Z), 即函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(k∈Z). (2)由已知f(x)= =, ∴當tan x=2時,f(x)==. 27.已知m=(asin x,cos x),n=(sin x,bsin x),其中a,b,x∈R.若f(x)=m·n滿足f=2,且f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象關于直線x=對稱. (1)求a,b的值; (2)
51、若關于x的方程f(x)+log2k=0在區(qū)間上總有實數(shù)解,求實數(shù)k的取值范圍. 解 (1)f(x)=m·n=asin2x+bsin xcos x. 由f=2,得a+b=8.① ∵f′(x)=asin 2x+bcos 2x,且f′(x)的圖象關于直線x=對稱, ∴f′(0)=f′, ∴b=a+b,即b=a.② 由①②得,a=2,b=2. (2)由(1)得f(x)=1-cos 2x+sin 2x =2sin+1. ∵x∈, ∴-≤2x-≤, ∴-≤sin ≤1, ∴0≤2sin+1≤3,即f(x)∈[0,3]. 又f(x)+log2k=0在上有解, 即f(x)=-log
52、2k在上有解, ∴-3≤log2k≤0,解得≤k≤1,即k∈. 函數(shù)圖像平移 1、將函數(shù)y=sin(2x+φ)的圖象沿x軸向左平移個單位后,得到一個偶函數(shù)的圖象,則φ的一個可能取值為 ( ). A. B. C. D.- [正解] y=sin(2x+φ)y=sin=sin,則由+φ=+kπ(k∈Z),根據(jù)選項檢驗可知φ的一個可能取值為.故選B. 答案 B 2、將函數(shù)y=sin 2x+cos 2x的圖象向左平移個單位長度,所得圖象對應的函數(shù)解析式可以是 ( ). A.y=cos 2x+sin
53、 2x B.y=cos 2x-sin 2x C.y=sin 2x-cos 2x D.y=sin xcos x 解析 y=sin 2x+cos 2x=siny=sin =sin =cos =cos 2x-sin 2x. 答案 B 3.把函數(shù)y=sin圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),再將圖象向右平移個單位,那么所得圖象的一條對稱軸方程為( ). A.x=- B.x=- C.x= D.x= 解析 將y=sin圖象上各點的橫坐標縮短到原來的(縱坐標不變),得到函數(shù)y=sin;再將圖象向右平移個單位,得到函數(shù)y=sin=sin,x=-是其圖象的一條對稱軸方程. 答案 A 4.函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)向左平移個單位后是奇函數(shù),則函數(shù)f(x)在上的最小值為( ). A.- B.- C. D. 解析 函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)向左平移個單位后得到函數(shù)為f=sin=sin,因為此時函數(shù)為奇函數(shù),所以+φ=kπ(k∈Z),所以φ=-+kπ(k∈Z).因為|φ|<,所以當k=0時,φ=-,所以f(x)=sin.當0≤x≤時,-≤2x-≤,即當2x-=-時,函數(shù)f(x)=sin有最小值為sin=-. 答案 A
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