12、x＋)
2x＋
0
π
2π
x
－
y
0
2
0
－2
0
∴函數(shù)y＝f(x)在[－，]上的圖象如圖所示．
【點(diǎn)評】“五點(diǎn)法作圖”應(yīng)抓住四條：①化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的形式；
②求出周期T＝；③求出振幅A；④列出一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)特殊點(diǎn)．當(dāng)畫出某指定區(qū)間上的圖象時(shí)，應(yīng)列出該區(qū)間的特殊點(diǎn)．
題型三 三角函數(shù)圖象與解析式的相互轉(zhuǎn)化
例3函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，A>0，ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示．
(1)求f(x)的解析
13、式；
(2)設(shè)g(x)＝[f(x－)]2，求函數(shù)g(x)在
x∈[－，]上的最大值，并確定此時(shí)x的值．
【解析】(1)由圖可知A＝2，＝，則＝4× ∴ω＝.
又f(－)＝2sin[×(－)＋φ]＝2sin(－＋φ)＝0
∴sin(φ－)＝0
∵0<φ<，∴－<φ－<∴φ－＝0，即φ＝
∴f(x)＝2sin(x＋)．
(2)由(1)可得f(x－)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x＋)
∴g(x)＝[f(x－)]2＝4×＝2－2cos(3x＋)
∵x∈[－，] ∴－≤3x＋≤，
∴當(dāng)3x＋＝π，即x＝時(shí)，g(x)max＝4.
【點(diǎn)評】根據(jù)y＝Asin(ω
14、x＋φ)＋K的圖象求其解析式的問題，主要從以下四個(gè)方面來考慮：
①A的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即A＝；
②K的確定：根據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，即K＝；
③ω的確定：結(jié)合圖象，先求出周期，然后由T＝(ω>0)來確定ω；
④φ的確定：由函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)＋K最開始與x軸的交點(diǎn)(最靠近原點(diǎn))的橫坐標(biāo)為－(即令ωx＋φ＝0，x＝－)確定φ.
例4若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2，求a的取值范圍，并求此時(shí)x1＋x2的值．
【解析】∵sinx＋cosx＝2sin(x＋)，x∈[0,2π]，
作出y＝2sin(x＋)在[0,2π]內(nèi)的圖
15、象如圖．
由圖象可知，當(dāng)1＜a＜2或－2＜a＜1時(shí)，
直線y＝a與y＝2sin(x＋)有兩個(gè)交點(diǎn)，
故a的取值范圍為a∈(－2,1)∪(1,2)．
當(dāng)1＜a＜2時(shí)，x1＋＋x2＋＝π.∴x1＋x2＝.
當(dāng)－2＜a＜1時(shí)，x1＋＋x2＋＝3π，∴x1＋x2＝.
【點(diǎn)評】利用三角函數(shù)圖象形象直觀，可使有些問題得到順利、簡捷的解決，因此我們必須準(zhǔn)確把握三角函數(shù)“形”的特征．
例4已知函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜)的圖象與x軸的交點(diǎn)中，相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為，且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)將函數(shù)
16、f(x)的圖象向右平移個(gè)單位后，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)＝g(x)的圖象，求函數(shù)y＝g(x)的解析式，并求滿足g(x)≥且x∈[0，π]的實(shí)數(shù)x的取值范圍．
【解析】(1)由函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為M(，－2)，得A＝2，
由x軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為，得＝，即T＝π，
∴ω＝＝2.又點(diǎn)M(，－2)在圖象上，得2sin(2×＋φ)＝－2，
即sin(＋φ)＝－1，
故＋φ＝2kπ－，k∈Z，∴φ＝2kπ－，
又φ∈(0，)，∴φ＝.綜上可得f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)將f(x)＝2sin(2x＋)的圖象向右平移個(gè)單位，
得到f1(x)＝2
17、sin[2(x－)＋]，即f1(x)＝2sin2x的圖象，
然后將f1(x)＝2sin2x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮小到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到g(x)＝2sin(2·2x)，即g(x)＝2sin4x.
由得.
則即.
故≤x≤ 或 ≤x≤.
題型四 、三角函數(shù)的奇偶性與周期性及應(yīng)用
例1已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜.
(1)若coscosφ－sinsinφ＝0，求φ的值；
(2)在(1)的條件下，若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于，求函數(shù)f(x)的解析式；并求最小正實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)是偶函數(shù)
18、．
【解析】(1)由coscosφ－sinsinφ＝0 得cos(＋φ)＝0.
∵|φ|<，∴φ＝.
(2)由已知得＝，∴T＝，ω＝3 ∴f(x)＝sin(3x＋)．
設(shè)函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個(gè)單位后所對應(yīng)的函數(shù)為g(x)，
則g(x)＝sin[3(x＋m)＋]＝sin(3x＋3m＋)
g(x)是偶函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)3m＋＝kπ＋(k∈Z)
即m＝＋(k∈Z) ∴最小正實(shí)數(shù)m＝.
題型五 三角函數(shù)的單調(diào)性與周期性
例2 寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及周期：
(1)y＝sin；(2)y＝|tan x|.
解 (1)y＝sin，
它的增區(qū)間是y＝sin的減區(qū)
19、間，它的減區(qū)間是y＝sin的增區(qū)間.
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
故所給函數(shù)的減區(qū)間為，k∈Z；
增區(qū)間為，k∈Z.最小正周期T＝＝π.
(2)觀察圖象可知，y＝|tan x|的增區(qū)間是，k∈Z，減區(qū)間是
，k∈Z.最小正周期：T＝π.
探究提高 (1)求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ) (其中A≠0，ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答.
列不等式的原則是：①把“ωx＋φ (ω>0)”視為一個(gè)“整體”；②A>0 (A<0)
20、時(shí)，所列不等式的方向與y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向相同(反).
(2)對于y＝Atan(ωx＋φ) (A、ω、φ為常數(shù))，其周期T＝，單調(diào)區(qū)間利用ωx＋φ∈，解出x的取值范圍，即為其單調(diào)區(qū)間.
(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調(diào)性及周期時(shí)，通常要畫出圖象，結(jié)合圖象判定.
變式訓(xùn)練2 (1)求函數(shù)y＝sin＋cos的周期、單調(diào)區(qū)間及最大、最小值；
(2)已知函數(shù)f(x)＝4cos xsin－1.
①求f(x)的最小正周期； ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解: y＝sin＋cos
(1)周期為T=
函數(shù)的遞
21、增區(qū)間為 (k∈Z)；
函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z)
ymax＝2； ymin＝－2
(2) f(x)＝4cos xsin－1
, 最大值為2；最小值為－1
題型六、三角函數(shù)的對稱性與單調(diào)性及應(yīng)用
例2已知向量＝(sin2x－1，cosx)， ＝(1,2cosx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝，x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程； (2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【解析】(1)f(x)＝m·n＝sin2x－1＋2cos2x＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)
∴對稱軸方程為：2x＋＝kπ＋，即x＝＋(k∈Z)．
(2)由－＋2kπ≤2x＋≤＋2
22、kπ得－＋kπ≤x≤kπ＋
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
【點(diǎn)評】對于f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)：
①若求y＝f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，求出x；
若求y＝f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只零令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求出x；
②若求y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間，只需令2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x；
若求y＝f(x)的單調(diào)減區(qū)間，只需令2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，求出x.
題型七 三角函數(shù)的對稱性與奇偶性
例3 (1)已知f(x)＝sin x＋cos x(x∈R)，函數(shù)y＝f(x＋φ) 的圖象關(guān)于
23、直線x＝0對稱，則φ的值為________.
(2)如果函數(shù)y＝3cos(2x＋φ)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，那么|φ|的最小值為( )
A . B. C. D.
(1)
(x)＝2sin， y＝f(x＋φ)＝2sin圖象關(guān)于x＝0對稱，
即f(x＋φ)為偶函數(shù)．∴＋φ＝＋kπ，k∈Z，
即φ＝kπ＋，k∈Z，所以當(dāng)k＝0時(shí)，φ＝.
(2)A
3cos＝3cos＝3cos
∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ－，k∈Z，
取k＝0，得|φ|的最小值為.故選
探究提高 若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為偶函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取得最
24、大或最小值.
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)為奇函數(shù)，則當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)＝0.
如果求f(x)的對稱軸，只需令ωx＋φ＝＋kπ (k∈Z)，求x.
如果求f(x)的對稱中心的橫坐標(biāo)，只需令ωx＋φ＝kπ (k∈Z)即可.
變式訓(xùn)練3 (1)已知函數(shù)f(x)＝sinx＋acos x的圖象的一條對稱軸是x＝，則函數(shù)g(x)＝asin x＋cos x的最大值是 ( )
A. B. C. D.
由題意得f(0)＝f ，∴a＝－－.
∴a＝－, g(x)＝－sin x＋cos x＝sin，
∴g(x)max＝.
(2)若函數(shù)f(x)＝asin ω
25、x＋bcos ωx (0<ω<5，ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x＝，函數(shù)f′(x)的圖象的一個(gè)對稱中心是，則f(x)的最小正周期是________.
(1)B (2)π
由題設(shè)，有＝±，即(a＋b)＝±，由此得到a＝b.
又，所以aω＝0，
從而tan ＝1，＝kπ＋，k∈Z，即ω＝8k＋2，k∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2，
于是f(x)＝a(sin 2x＋cos 2x)＝asin
故f(x)的最小正周期是π.
題型八 三角函數(shù)的值域與最值的求法及應(yīng)用
例3(1)求函數(shù)y＝的值域；
(2)求函數(shù)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx的最值；
(3)若函數(shù)
26、f(x)＝－asin·cos(π－)的最大值為2，試確定常數(shù)a的值．
【解析】
＝2sinx(1－sinx)＝2sinx－2sin2x＝－2(sinx－)2＋.
∵1＋sinx≠0，∴－1＜sinx≤1.∴－4＜y≤.
故函數(shù)y＝的值域?yàn)?－4，]．
(2)令t＝sinx＋cosx，則sinxcosx＝，且|t|≤.
∴y＝(t2－1)＋t＝(t＋1)2－1，
∴當(dāng)t＝－1時(shí)，ymin＝－1；當(dāng)t＝時(shí)，ymax＝＋.
(3)f(x)＝＋asincos＝cosx＋sinx
＝sin(x＋φ)，(其中tanφ＝)
由已知得＝2，解得a＝±.
【點(diǎn)評】求三角函數(shù)的最值問題，
27、主要有以下幾種題型及對應(yīng)解法．
(1)y＝asinx＋bcosx型，可引用輔角化為y＝sin(x＋φ)(其中tanφ＝)．
(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型，可通過降次整理化為y＝Asin2x＋Bcos2x＋C.
(3)y＝asin2x＋bcosx＋c型，可換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)．
(4)sinxcosx與sinx±cosx同時(shí)存在型，可換元轉(zhuǎn)化．
(5)y＝(或y＝)型，可用分離常數(shù)法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)來解決，也可化為真分式去求解．
(6)y＝型，可用斜率公式來解決．
例4已知函數(shù)f(x)＝sin2x＋acos2x(a∈R，a為常數(shù)
28、)，且是函數(shù)y＝f(x)的一個(gè)零點(diǎn)．
(1)求a的值，并求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)當(dāng)x∈[0，]時(shí)，求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x的值．
【解析】(1)由是y＝f(x)的零點(diǎn)得 f()＝sin＋acos2＝0，求解a＝－2，
則f(x)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－cos2x－1＝sin(2x－)－1，
故f(x)的最小正周期為T＝＝π.
(2)由x∈[0，]得2x－∈[－，]，則－≤sin(2x－)≤1，
因此－2≤sin(2x－)－1≤－1，故當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值－2，
當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最大值－1.
設(shè)a∈R，f(x)＝cos
29、x(asinx－cosx)＋cos2(－x)滿足f(－)＝f(0)，求函數(shù)f(x)在[，]上的最大值和最小值．
【解析】f(x)＝asinxcosx－cos2x＋sin2x＝sin2x－cos2x
由f(－)＝f(0)得－·＋＝－1，解得a＝2.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＝2sin(2x－)
當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x－∈[，]，f(x)為增函數(shù)．
當(dāng)x∈[，]時(shí)，2x－∈[，]，f(x)為減函數(shù)．
∴f(x)在[，]上的最大值為f()＝2 又∵f()＝，f()＝
∴f(x)在[，]上的最小值為f()＝.
題型九 分類討論及方程思想在三角函數(shù)中的應(yīng)用
30、
例題：已知函數(shù)f(x)＝－2asin＋2a＋b的定義域?yàn)?，函?shù)的最大值為1，最小值為－5，(1)求a和b的值.
(2)若 a＞0，設(shè)g(x)＝f 且lg g(x)＞0，求g(x)的單調(diào)區(qū)間．
點(diǎn)評?、偾蟪?x＋的范圍，求出sin(2x＋)的值域.②系數(shù)a的正、負(fù)影響著f(x)的值，因而要分a>0，a<0兩類討論.③根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值，列方程組求解.
解 (1)∵x∈，∴2x＋∈.∴sin∈，
∴－2asin∈[－2a，a]．∴f(x)∈[b,3a＋b]，
又∵－5≤f(x)≤1，∴b＝－5,3a＋b＝1，
因此a＝2，b＝－5.
(2)由(1)得a＝2，b＝－5
31、，∴f(x)＝－4sin－1，
g(x)＝f ＝－4sin－1＝4sin－1，
又由lg g(x)＞0得g(x)＞1，∴4sin－1＞1，
∴sin＞，∴2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z，
其中當(dāng)2kπ＋＜2x＋≤2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，即kπ＜x≤kπ＋，k∈Z，
∴g(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.
又∵當(dāng)2kπ＋＜2x＋＜2kπ＋，k∈Z時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，即kπ＋＜x＜kπ＋，k∈Z.
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)一
一、選擇題
1．對于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項(xiàng)正確的是( )
A．f(x)在(，)上是遞增的 B．f(x)的圖象
32、關(guān)于原點(diǎn)對稱
C．f(x)的最小正周期為2π D．f(x)的最大值為2
【解析】f(x)＝sin2x
f(x)在(，)上是遞減的，A錯(cuò)； f(x)的最小正周期為π，C錯(cuò)；
f(x)的最大值為1，D錯(cuò)；選B.
2．若α、β∈(－，)，那么“α＜β”是“tanα＜tanβ”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【解析】α、β∈(－，)，tanx在此區(qū)間上單調(diào)遞增．
當(dāng)α＜β時(shí)，tanα＜tanβ；當(dāng)tanα＜tanβ時(shí)，α＜β.故選C.
3．已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<
33、)的最小正周期為π，將該函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則f(x)的圖象( )
A．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 B．關(guān)于直線x＝對稱
C．關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱 D．關(guān)于直線x＝對稱
【解析】由已知得ω＝2，則f(x)＝sin(2x＋φ)
設(shè)平移后的函數(shù)為g(x)，則g(x)＝sin(2x＋＋φ)(|φ|<)且為奇函數(shù)
∴φ＝－，f(x)＝sin(2x－)
∴圖象關(guān)于直線x＝對稱，選B.
4．已知f(x)＝sinx，x∈R，g(x)的圖象與f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱，則在區(qū)間[0,2π]上滿足f(x)≤g(x)的x的取值范圍是(
34、 )
A．[，] B．[，] C．[，] D．[，]
【解析】設(shè)(x，y)為g(x)的圖象上任意一點(diǎn)，則其關(guān)于點(diǎn)(，0)對稱的點(diǎn)為(－x，－y)，
由題意知該點(diǎn)必在f(x)的圖象上．∴－y＝sin(－x)，
即g(x)＝－sin(－x)＝－cosx，由已知得sinx≤－cosx?sinx＋cosx
＝sin(x＋)≤0又x∈[0,2π] ∴≤x≤.
5．已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋φ)，g(x)＝3cos(ωx＋φ)，若對任意x∈R，都有f(＋x)＝f(－x)，則g()＝____.
【解析】由f(＋x)＝f(－x)，知y＝f
35、(x)關(guān)于直線x＝對稱，∴sin(ω·＋φ)＝±1.
∴g()＝3cos(ω·＋φ)＝3＝0.
6．設(shè)函數(shù)f(x)＝2sin(＋)，若對任意x∈R，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，則|x2－x1|的最小值為____.
【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”，可得f(x1)、f(x2)分別是f(x)的最小值、最大值．
∴|x2－x1|的最小值為函數(shù)f(x)的半周期，又T＝＝4.∴|x2－x1|min＝2.
7．已知函數(shù)f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．
(1)求f′(x)及函數(shù)y＝f′(x)的最小正周期；
(2)當(dāng)x∈[0，]時(shí)，
36、求函數(shù)F(x)＝f(x)f′(x)＋f2(x)的值域．
【解析】(1)f′(x)＝cosx－sinx＝－sin(x－)
∴y＝f′(x)的最小正周期為T＝2π.
(2)F(x)＝cos2x－sin2x＋1＋2sinxcosx
＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋sin(2x＋)
∵x∈[0，]，∴2x＋∈[，] ∴sin(2x＋)∈[－，1]，
∴函數(shù)F(x)的值域?yàn)閇0,1＋]．
8．設(shè)函數(shù)f(x)＝2cosx(sinx＋cosx)－1，將函數(shù)f(x)的圖象向左平移α個(gè)單位，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象．
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)若0＜α＜，且g(x)是偶函
37、數(shù)，求α的值．
【解析】(1)∵f(x)＝2sinxcosx＋2cos2x－1
＝sin2x＋cos2x＝sin(2x＋)，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)g(x)＝f(x＋α)＝sin[2(x＋α)＋]＝sin(2x＋2α＋)，
g(x)是偶函數(shù)，則g(0)＝±＝sin(2α＋)，
∴2α＋＝kπ＋，k∈Z.α＝＋(k∈Z)，
∵ 0＜α＜，∴α＝.
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)二
1.函數(shù)f(x)＝sin圖象的對稱軸方程可以為 ( )
A.x＝ B.x＝ C.x＝ D.x＝
解析 令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x
38、＝＋(k∈Z)，令k＝0得該函數(shù)的一條對稱軸為x＝.本題也可用代入驗(yàn)證法來解．答案 D
2.y＝sin的圖象的一個(gè)對稱中心是 ( )
A.(－π，0) B. C. D.
3.函數(shù)y＝3cos(x＋φ)＋2的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則φ的可能取值是 ( )
A. B.－ C. D.
二、填空題
4.函數(shù)y＝lg(sin x)＋的定義域?yàn)開___(k∈Z)_________.
5.已知函數(shù)f(x)＝3sin(ωx－)(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對稱軸完全相同.若x∈[0，]，則
39、f(x)的取值范圍是_______________.
4．函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么ω等于________．
解析 因?yàn)閒(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，所以2sinω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.
答案
6.關(guān)于函數(shù)f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命題：
①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2必是π的整數(shù)倍；②y＝f(x)的表達(dá)式可改寫為y＝4cos；
③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；④y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝－對稱.
其中正確命題的序號是___________.②③
40、
解析 函數(shù)f(x)＝4sin的最小正周期T＝π，由相鄰兩個(gè)零點(diǎn)的橫坐標(biāo)間的距離是＝知①錯(cuò)．
利用誘導(dǎo)公式得f(x)＝4cos＝
4cos＝4cos，知②正確．
由于曲線f(x)與x軸的每個(gè)交點(diǎn)都是它的對稱中心，將x＝－代入得f(x)＝4sin＝4sin 0＝0，
因此點(diǎn)是f(x)圖象的一個(gè)對稱中心，故命題③正確．曲線f(x)的對稱軸必經(jīng)過圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，且與y軸平行，而x＝－時(shí)y＝0，點(diǎn)不是最高點(diǎn)也不是最低點(diǎn)，故直線x＝－不是圖象的對稱軸，因此命題④不正確．
答案 ②③
三、解答題
7.設(shè)函數(shù)f(x)＝sin (－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝.
41、
(1)求φ；
(2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間.
解 (1)－
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為
，k∈Z.
8.(1)求函數(shù)y＝2sin (－
42、in x＝1時(shí)，ymax＝1，當(dāng)sin x＝－1時(shí)，ymin＝－9，
∴y＝2cos2x＋5sin x－4的值域?yàn)閇－9,1].
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)三
一、選擇題
1.定義在R上的函數(shù)f(x)既是偶函數(shù)又是周期函數(shù)，若f(x)的最小正周期是π，且當(dāng)x∈ 時(shí)，f(x)＝sin x，則 f 的值為 ( )
A.－ B. C.－ D.
2.已知函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在區(qū)間上的最小值是－2，則ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
3.函數(shù)f(x)＝cos 2x＋sin是
43、 ( )
A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù)
C.僅有最大值的偶函數(shù) D.有最大值又有最小值的偶函數(shù)
二、填空題
4.設(shè)定義在區(qū)間(0，)上的函數(shù)y＝6cos x的圖象與y＝5tan x的圖象交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為P1，直線PP1與函數(shù)y＝sin x的圖象交于點(diǎn)P2，則線段P1P2的長為___________.
5.函數(shù)f(x)＝2sin ωx(ω>0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，那么ω＝___________.
解析 因?yàn)閒(x)＝2sin ωx(ω＞0)在上單調(diào)遞增，且在這個(gè)區(qū)間上的最大值是，所以2si
44、nω＝，且0＜ω＜，因此ω＝.答案
6.給出下列命題：
①函數(shù)y＝cos是奇函數(shù)； ②存在實(shí)數(shù)α，使得sin α＋cos α＝；
③若α、β是第一象限角且α<β，則tan α0)的圖象與直線y＝m相切，并且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求m的值；
(2)若點(diǎn)A(x0，y0)是y＝f(x)圖象的對稱中心，且x0∈，求點(diǎn)A的坐標(biāo).
7.解 (1
45、)f(x)＝(1－cos 2ax)－sin 2ax
＝－(sin 2ax＋cos 2ax)＋
＝－sin＋.
∵y＝f(x)的圖象與y＝m相切，
∴m為f(x)的最大值或最小值，
即m＝或m＝.
(2)∵切點(diǎn)的橫坐標(biāo)依次成公差為的等差數(shù)列，∴f(x)的最小正周期為.
T＝＝，a>0，∴a＝2，
即f(x)＝－sin＋.
由題意知sin＝0，則4x0＋＝kπ (k∈Z)，∴x0＝－ (k∈Z).
由0≤－≤ (k∈Z)得k＝1或2，
因此點(diǎn)A的坐標(biāo)為，.
三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)練習(xí)四
一、選擇題
1．函數(shù)f(x)＝2sin xcos x是( )．
A．最小正周期為2
46、 π的奇函數(shù) B．最小正周期為2 π的偶函數(shù)
C．最小正周期為π的奇函數(shù) D．最小正周期為π的偶函數(shù)
解析 f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x.∴f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù)．
答案 C
2．函數(shù)y＝sin2x＋sin x－1的值域?yàn)? )．
A．[－1,1] B. C. D.
解析 (數(shù)形結(jié)合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，則有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，畫出函數(shù)圖象如圖所示，從圖象可以看出，當(dāng)t＝－及t＝1時(shí)，
函數(shù)取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
答案 C
3．若函
47、數(shù)f(x)＝sin ωx(ω＞0)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則ω＝( )．
A. B. C．2 D．3
解析 由題意知f(x)的一條對稱軸為x＝，和它相鄰的一個(gè)對稱中心為原點(diǎn)，則f(x)的周期T＝，從而ω＝.
答案 B
4．函數(shù)f(x)＝(1＋tan x)cos x的最小正周期為( )．
A．2π B. C．π D.
解析 依題意，得f(x)＝cos x＋sin x＝2sin.故最小正周期為2π.
答案 A
5．下列函數(shù)中，周期為π，且
48、在上為減函數(shù)的是( )．
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
解析 (篩選法)∵函數(shù)的周期為π.∴排除C、D，∵函數(shù)在上是減函數(shù)，∴排除B. 答案 A
【點(diǎn)評】 本題采用了篩選法，體現(xiàn)了篩選法的方便、快捷、準(zhǔn)確性，在解選擇題時(shí)應(yīng)注意應(yīng)用.
6．已知函數(shù)f(x)＝sin(x∈R)，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是( )．
A．函數(shù)f(x)的最小正周期為2π B．函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)
C．函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝0對稱 D．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
解析 ∵y＝sin＝－cos x，∴T＝2π，在上是增函數(shù)，圖象關(guān)于y軸
49、對稱，為偶函數(shù)．
答案 D
二、 填空題
7.y=－|sin（x+）|的單調(diào)增區(qū)間為___［kπ+，kπ+］（k∈Z）_____.
8.要得到的圖象，可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象向左平移___單位.
9.若動(dòng)直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點(diǎn)，則的最大值為________.
10函數(shù)f(x)=() 的值域是_____[-1,0]___ __.
11.已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則＝__________．
12、給出下面的3個(gè)命題：（1）函數(shù)的最小正周期是；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3）是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.其中正確命題的序號是
50、 ．
13．若函數(shù)f(x)＝cos ωxcos(ω＞0)的最小正周期為π，則ω的值為________．
解析 f(x)＝cos ωxcos＝cos ωxsin ωx＝sin 2ωx，
∴T＝＝π.∴ω＝1. 答案 1
14．函數(shù)y＝tan的圖象與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)是______．
解析 由2x＋＝kπ，k∈Z，得：x＝－，k∈Z，
故交點(diǎn)坐標(biāo)為(k∈Z)． 答案 (k∈Z)
15．已知函數(shù)f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)是偶函數(shù)，則θ的值為________．
解析 (回顧檢驗(yàn)法)據(jù)已知可得f(x)＝2sin，若函數(shù)為偶函數(shù)，則必有θ＋＝kπ＋(k∈Z)，
51、又由于θ∈，故有θ＋＝，解得θ＝，經(jīng)代入檢驗(yàn)符合題意．答案
三、解答題
16．已知f(x)＝sin x＋sin. (1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝，求f(α)的值；
(2)若x∈[0，π]，求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解 (1)由題設(shè)知f(α)＝sin α＋cos α.
∵sin 2α＝＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈，sin α＋cos α＞0.
由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝，得sin α＋cos α＝，∴f(α)＝.
(2)由(1)知f(x)＝sin，又0≤x≤π，∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為.
17．設(shè)函
52、數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝.
(1)求φ； (2)求函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間．
解 (1)令2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，∴φ＝kπ＋，k∈Z，
又－π＜φ＜0，則－＜k＜－，k∈Z，∴k＝－1，則φ＝－.
(2)由(1)得：f(x)＝sin，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，可解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
因此y＝f(x)的單調(diào)增區(qū)間為，k∈Z.
18、設(shè)函數(shù)．（1）求的最小正周期．
（2）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當(dāng)時(shí)的最大值．
解：（Ⅰ）=
= =
53、 故的最小正周期為T = =8
(Ⅱ)解法一：
在的圖象上任取一點(diǎn)，它關(guān)于的對稱點(diǎn) .
由題設(shè)條件，點(diǎn)在的圖象上，從而
= =
當(dāng)時(shí)，，因此在區(qū)間上的最大值為
解法二：
因區(qū)間關(guān)于x = 1的對稱區(qū)間為，且與的圖象關(guān)于
x = 1對稱，故在上的最大值為在上的最大值
由（Ⅰ）知＝當(dāng)時(shí)，
因此在上的最大值為 .
19、設(shè)函數(shù)，其中向量，，，且的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）求實(shí)數(shù)的值； （2）求函數(shù)的最小值及此時(shí)值的集合．
(3)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (4)函數(shù)圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。
19、（1）
（2）
(3)
(4)
20、設(shè)函數(shù)，給出下列三個(gè)論斷：
①的圖象關(guān)于直線對稱； ②的周期為；
③的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱．
以其中的兩個(gè)論斷為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題，并對該命題加以證明．
或，證明略
2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案 新人教A版
