2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 新人教A版 知識(shí)梳理: 1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)= . cos(α±β)= . tan(α±β)= . (α,β,α+β,α-β均不等于kπ+,k∈Z) 其變形為: tan α+tan β= ,tan α-tan β=
2、 . (1) sin αcos β+cos αsin β sin αcos β-cos αsin β (2) cos αcos β-sin αsin β cos αcos β+sin αsin β (3) tan(α+β)(1-tan αtan β),tan(α-β)(1+tan αtan β) 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α= . cos 2α= = =
3、 . tan 2α= . .2sin αcos α cos2α-sin2α 2cos2α-1 1-2sin2α 倍角公式變形:降冪公式cos2α= , sin2α= ; 配方變形:1±sin α= , 1+cos α= , 1-cos α= 2 2cos2 2sin2. 3.輔助角公式(利用輔助角公式求最值、單調(diào)區(qū)間、周期.) asin α+bcos α=sin(α+
4、φ), 其中角φ稱(chēng)為輔助角. 熱身練習(xí): 1.計(jì)算sin119 °sin181 °-sin 91°sin29°的結(jié)果等于 ( ) A. - B. C. D. 解:sin119 °sin181 °-sin 91°sin29°=cos29°(-sin 1°) -cos 1°sin29° =-(sin 1°cos29°+cos 1°sin29°) -cos 1°sin29°=-sin 30°=- 2.已知,那么的值為 ?。ā 。? A、 B、 C、 D、
5、 3.已知sin θ=,sin θcos θ<0,則sin 2θ的值為 ( ) A.- B.- C.- D. 解析:∵sin θcos θ<0,sin θ=,∴cos θ=-. ∴sin 2θ=2sin θcos θ=2××(-)=-. 4.已知α∈(0,),sin α=,則+tan 2α的值為_(kāi)___. 解析:∵ α∈(0,),sin α=,∴cos αcos α=,tan α=. +tan 2α=== ==7. 5.已知cos α=-,且α∈(,π),則tan (-α)等于________. 解析:∵cos α=-,且α∈(
6、,π),∴sin α=. tanα=-,tan(-α)==7. 6.已知α∈(,π),sin α=,則tan 2α=____. 解析:依題意得cos α=-=-,tan α==-, tan 2α===-. 7.已知,則的值是( ) A B C D 2 典例探究 [例1] 化簡(jiǎn)下列各式: (1) (0<θ<π); 解 (1)原式= = =. 因?yàn)?<θ<π,所以0<<,所以cos >0,所以原式=-cos θ. (2)+2. (2)原式=+2=2|cos4|+2 =2|cos4|+2|sin 4-cos4|
7、
∵<4<.∴cos4<0,sin 4 8、n(+θ)]+tan(-θ)tan(+θ)=.
變式訓(xùn)練一:
(1)若270°<α<360°,則等于 ( )
Asin Bcos C-sin D-cos
解:∵cos2α=2cos2α-1 ∴cosα=2cos2-1
∴
又∵270°<α<360° 135°<<180°
∴原式=
(2)tan2A·tan(30°-A)+tan2Atan(60°-A)+tan(30°-A)tan(60°-A)=
(3)(1+tan1°)(1+tan2°)(1+tan3°)……(1+tan44°)(1+tan45°)= 9、
(4)化簡(jiǎn):
解:
1.三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則,即一看角,二看名,三看式子的結(jié)構(gòu)與特征.
2.對(duì)于給角求值問(wèn)題,往往所給角都是非特殊角,解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路有:
①化為特殊角的三角函數(shù)值;
②化為正、負(fù)相消的項(xiàng),消去求值;
③化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值.
[例2] (1).的值是 ( )
A. B. C. D.
解 (1)原式=
===.
(2). 化簡(jiǎn):
解:∵sin 5 10、0°(1+tan 10°)=sin 50°·
=sin 50°·=1,
cos 80°=sin 10°=sin210°.
∴==.
考點(diǎn)二 三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題
[例3]若0<α<,-<β<0, cos(+α)=,cos(-)=,則cos(α+)= ( )
A. B.- C. D.-
解: ∵0<α<,∴<+α<.
又cos(+α)=,∴sin(+α)==.
同理可求得sin(-)==,
∴cos(α+)=cos[(+α)-(-)]
=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-)=×+× 11、=.
本例條件不變,求cos α的值.
解:cos α=cos[(+α)-]=cos(+α)cos+sin (+α) sin =×+×=.
1.解決三角函數(shù)的給值求值問(wèn)題的關(guān)鍵是尋求“已知角”與“所求角”之間的關(guān)系,用“已知角”表示“所求角”.
(1)已知角為兩個(gè)時(shí),待求角一般表示為已知角的和與差.
(2)已知角為一個(gè)時(shí),待求角一般與已知角成“倍”的關(guān)系或“互余,互補(bǔ)”關(guān)系.
(3)對(duì)于角還可以進(jìn)行配湊,常見(jiàn)的配湊技巧有:
α=2·=(α+β)-β=β-(β-α)=[(α+β)+(α-β)],
+α=-(-α).
2.對(duì)于給值求角,關(guān)鍵是求該角的某一個(gè)三角函數(shù)值 12、,再根據(jù)范圍確定角.
變式訓(xùn)練二:
1.若sin(+α)=,則cos(-2α)= ( )
A. B.- C.- D.
解析:∵cos(-2α)=-cos[π-(-2α)]=-cos(π+2α)=-cos2(+α)
=-[1-2sin2(+α)]=2sin2(+α)-1=2×()2-1=-.
2.已知cos2α-cos2β=a,則sin(α+β)sin(α-β)的值為( )
A.-a B.a(chǎn) C.- D.
解析:sin(α+β)sin(α-β)=(sin αcos β)2-(cos
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