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2022年高中數學 2-3-2拋物線的幾何性質同步練習 新人教B版選修1-1

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1、2022年高中數學 2-3-2拋物線的幾何性質同步練習 新人教B版選修1-1 一、選擇題 1.P(x0,y0)是拋物線y2=2px(p≠0)上任一點,則P到焦點的距離是(  ) A.|x0-| B.|x0+| C.|x0-p| D.|x0+p| [答案] B [解析] 利用P到焦點的距離等于到準線的距離,當p>0時,p到準線的距離為d=x0+;當p<0時,p到準線的距離為d=--x0=|+x0|. 2.已知拋物線的準線方程為x=-7,則拋物線的標準方程為(  ) A.x2=-28y        B.y2=28x C.y2=-28x D.x2=28y [

2、答案] B [解析] 由題意,知拋物線的標準方程為:y2=2px(p>0),又準線方程為x=-7,∴p=14. 3.拋物線y2=-4px(p>0)的焦點為F,準線為l,則p表示(  ) A.F到l的距離 B.F到y(tǒng)軸的距離 C.F點的橫坐標 D.F到l的距離的 [答案] B [解析] 設y2=-2p′x(p′>0),p′表示焦點到準線的距離,又2p′=4p,p=,故p表示焦點到y(tǒng)軸的距離. 4.(xx·陜西文,9)已知拋物線y2=2px(p>0)的準線與圓(x-3)2+y2=16相切,則p的值為(  ) A. B.1    C.2    D.4 [答

3、案] C [解析] 本題考查拋物線的準線方程,直線與圓的位置關系. 拋物線y2=2px(p>0)的準線方程是x=-,由題意知,3+=4,p=2. 5.設拋物線y2=8x的準線與x軸交于點Q,若過點Q的直線l與拋物線有公共點,則直線l的斜率的取值范圍是(  ) A.[-,] B.[-2,2] C.[-1,1] D.[-4,4] [答案] C [解析] 由題意可知,y2=8x的準線為x=-2,所以Q點的坐標為(-2,0),設直線l的方程為y=k(x+2)(斜率顯然存在),聯立得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0,所以k=0時,直線與拋物線的交點為(0,0)時,k≠0,

4、Δ=[4(k2-2)]2-4×(4k2)×k2≥0?-1≤k≤1,且k≠0,綜上可知-1≤k≤1,應選C. 6.設拋物線的頂點在原點,其焦點F在y軸上,又拋物線上的點(k,-2)與F點的距離為4,則k的值是(  ) A.4 B.4或-4 C.-2 D.2或-2 [答案] B [解析] 由題意,設拋物線的標準方程為:x2=-2py, 由題意得,+2=4,∴p=4,x2=-8y. 又點(k,-2)在拋物線上,∴k2=16,k=±4. 7.拋物線的頂點在原點,對稱軸是x軸,拋物線上的點(-5,2)到焦點的距離是6,則拋物線的方程為(  ) A.y2=-2x B.y

5、2=-4x C.y2=2x D.y2=-4x或y2=-36x [答案] B [解析] 由題意,設拋物線的標準方程為: y2=-2px(p>0), 由題意,得+5=6,∴p=2, ∴拋物線方程為y2=-4x. 8.直線y=kx-2交拋物線y2=8x于A、B兩點,若AB中點的橫坐標為2,則k=(  ) A.2或-2 B.-1 C.2 D.3 [答案] C [解析] 由得k2x2-4(k+2)x+4=0, 則=4,即k=2. 9.與y軸相切并和圓x2+y2-10x=0外切的動圓圓心的軌跡為(  ) A.圓 B.拋物線和一條射線 C.橢圓 D

6、.拋物線 [答案] B [解析] 如圖, 設動圓圓心坐標為(x,y),由題意得 y=0(x<0)或y2=20x(x≠0). 10.已知P為拋物線y2=4x上一動點,記點P到y(tǒng)軸的距離為d,對于定點A(4,5),則|PA|+d的最小值為(  ) A.4 B. C.-1 D.-1 [答案] D [解析] 因為A在拋物線的外部,所以,當點P、A、F共線時,|PA|+|PF|最小,此時|PA|+d也最小,|PA|+d=|PA|+(|PF|-1)=|AF|-1=-1=-1. 二、填空題 11.拋物線y2=2px(p>0)上一點到準線和拋物線的對稱軸距離分別為10和6,則

7、該點的橫坐標是________. [答案] 1或9 [解析] 設拋物線上一點M坐標為(x0,y0) 由題意,得y0=6,x0+=10, 又y=2px0,解得x0=1或9. 12.拋物線y2=16x上到頂點和焦點距離相等的點的坐標是________. [答案] (2,±4) [解析] 設拋物線y2=16x上的點P(x,y) 由題意,得(x+4)2=x2+y2=x2+16x, ∴x=2,∴y=±4. 13.拋物線y2=4x的弦AB垂直于x軸,若AB的長為4,則焦點到AB的距離為________. [答案] 2 [解析] 由題意,設A點坐標為(x,2),則x=3, 又焦點F

8、(1,0),∴焦點到AB的距離為2. 14.已知F為拋物線y2=2ax(a>0)的焦點,點P是拋物線上任一點,O為坐標原點,以下四個命題: (1)△FOP為正三角形. (2)△FOP為等腰直角三角形. (3)△FOP為直角三角形. (4)△FOP為等腰三角形. 其中一定不正確的命題序號是________. [答案] (1)(2) [解析] ∵拋物線上的點到焦點的距離最小時,恰好為拋物線頂點,∴(1)錯誤. 若△FOP為等腰直角三角形,則點P的橫縱坐標相等,這顯然不可能,故(2)錯誤. 三、解答題 15.根據下列條件寫出拋物線的標準方程. (1)焦點是F(3,0). (

9、2)準線方程是x=-. (3)焦點到準線的距離是2. [解析] (1)設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0),又焦點F(3,0),∴p=6, ∴拋物線方程為y2=12x. (2)由題意,設拋物線的標準方程為y2=2px(p>0), 又準線方程為x=-,∴p=, ∴拋物線方程為y2=x. (3)∵焦點到準線的距離為2, ∴拋物線的標準方程為y2=±4x或x2=±4y. 16.已知拋物線y2=4x,直線l過定點P(-2,1),斜率為k,k為何值時,直線l與拋物線滿足下列條件: ①只有一個公共點; ②有兩個公共點; ③沒有公共點. [解析] 由題意得直線l的方程為y-1

10、=k(x+2), 由消去x得ky2-4y+4(2k+1)=0①, 當k=0時,由方程①得y=1,把y=1代入y2=4x,得x=,此時,直線l與拋物線只有一個公共點(,1). 當k≠0時,方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1). ①當Δ=0,即2k2+k-1=0,解得k=-1或k=,此時方程①只有一解,方程組只有一個解,直線l與拋物線只有一個公共點. ②當Δ>0,即2k2+k-1<0,解得-10,解得k>或k<-1, 此時,直線l與拋物線沒有公共點. 綜上所述可知當k=0或k=-1

11、或k=時,直線l與拋物線只有一個公共點; 當-1時,直線l與拋物線沒有公共點. 17.已知拋物線y2=4x,直線x-y+3=0,求拋物線上的點到直線的最小距離. [解析] 設拋物線上任一點P的坐標為(x0,y0),則y=4x0,所以x0=,所以P點的坐標為(,y0),所以P到直線x-y+3=0的距離d===,所以y0=2時,dmin==,即拋物線上的點到直線的最小距離為. 18.已知拋物線y2=-x與直線y=k(x+1)相交于A,B兩點. (1)求證OA⊥OB; (2)當△AOB的面積等于時, 求k的值. [解析] (1)證明:如圖所示,由方程組消去x得ky2+y-k=0,設A(x1,y1),B(x2,y2).由根與系數的關系知y1y2=-1.因為A,B在拋物線y2=-x上,所以y=-x1,y=-x2,yy=x1x2,因為kOA·kOB=·===-1,所以OA⊥OB. (2)解:設直線AB與x軸交于點N,顯然k≠0,所以點N的坐標為(-1,0),因為S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2|=|ON||y1-y2|,所以S△OAB=·1·=,因為S△OAB=,所以=,解得k=±.

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