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1、2022年高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四第三講 思想方法與規(guī)范解答教案 理 思想方法 1．函數(shù)與方程思想 函數(shù)與方程思想在數(shù)列中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在： (1)等差、等比數(shù)列基本元素的計(jì)算，尤其是“知三求二”，注意消元的方法及整體代換的運(yùn)用； (2)數(shù)列本身是定義域?yàn)檎麛?shù)集或其有限子集的函數(shù)，在解決數(shù)列問題時(shí)，應(yīng)有函數(shù)與方程思想求解的意識(shí)． [例1]　(xx年鄭州模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足：a5＝9，a2＋a6＝14. (1)求{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝an＋qan(q>0)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. [解析]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d， 則由a

2、5＝9，a2＋a6＝14， 得 解得 所以{an}的通項(xiàng)an＝2n－1. (2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1. 當(dāng)q>0且q≠1時(shí)，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋； 當(dāng)q＝1時(shí)，bn＝2n，則Sn＝n(n＋1)． 所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和 Sn＝ 跟蹤訓(xùn)練 已知兩個(gè)等比數(shù)列{an}，{bn}滿足a1＝a(a>0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3. (1)若a＝1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{an}唯一，求a的值． 解析：(1)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則b

3、1＝1＋a＝2，b2＝2＋aq＝2＋q，b3＝3＋aq2＝3＋q2， 由b1，b2，b3成等比數(shù)列得(2＋q)2＝2(3＋q2)， 即q2－4q＋2＝0，解得q1＝2＋，q2＝2－ 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝(2＋)n－1或an＝(2－)n－1. (2)設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，則由(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)得aq2－4aq＋3a－1＝0.(*) 由a>0得Δ＝4a2＋4a>0，故方程(*)有兩個(gè)不同的實(shí)根． 由數(shù)列{an}唯一，知方程(*)必有一根為0，代入(*)得a＝. 2．分類討論思想 數(shù)列中的討論問題常見類型 (1)求和分段討論：知道數(shù)列{an}

4、的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和； (2)對(duì)等比數(shù)列的公比討論：求等比數(shù)列前n項(xiàng)和問題中對(duì)公比q＝1和q≠1進(jìn)行討論； (3)對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶討論：與數(shù)列有關(guān)的求通項(xiàng)或求前n項(xiàng)和問題中對(duì)項(xiàng)數(shù)n的奇偶進(jìn)行討論． [例2]　(xx年高考湖北卷)已知等差數(shù)列{an}前三項(xiàng)的和為－3，前三項(xiàng)的積為8. (1)求等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和． [解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝a1＋d，a3＝a1＋2d. 由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得 an＝2－3(n－1)＝－3n＋5，或a

5、n＝－4＋3(n－1)＝3n－7. 故an＝－3n＋5，或an＝3n－7. (2)當(dāng)an＝－3n＋5時(shí)，a2，a3，a1分別為－1，－4，2，不成等比數(shù)列； 當(dāng)an＝3n－7時(shí)，a2，a3，a1分別為－1，2，－4，成等比數(shù)列，滿足條件． 故|an|＝|3n－7|＝ 記數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和為Sn. 當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝|a1|＝4；當(dāng)n＝2時(shí)，S2＝|a1|＋|a2|＝5； 當(dāng)n≥3時(shí)，Sn＝S2＋|a3|＋|a4|＋…＋|an| ＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n－7) ＝5＋＝n2－n＋10. 當(dāng)n＝2時(shí)，滿足此式． 綜上，Sn＝ 跟蹤訓(xùn)練

6、在等比數(shù)列{an}中，設(shè)前n項(xiàng)和為Sn，x＝S＋S，y＝Sn(S2n＋S3n)，試比較x與y的大小． 解析：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公比為q， 則當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＝na1， ∴x＝(na1)2＋(2na1)2＝5n2a， y＝na1(2na1＋3na1)＝5n2a，∴x＝y(tǒng)； 當(dāng)q≠1時(shí)，Sn＝， ∴x＝[]2＋[]2 ＝()2[(1－qn)2＋(1－q2n)2] ＝()2(q4n－q2n－2qn＋2)， y＝[＋] ＝()2(q4n－q2n－2qn＋2)， ∴x＝y(tǒng)，綜上可知x＝y(tǒng). 考情展望 高考對(duì)本專題的考查各種題型都有，在選擇填空中主要考查等差、等比數(shù)列的

7、基本問題，在解答題中主要考查，由遞推關(guān)系求通項(xiàng)及數(shù)列求和問題，同時(shí)綜合考查數(shù)列與不等式，函數(shù)的綜合應(yīng)用，難度中檔偏上． 名師押題 【押題】　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝，且Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*，n≥2)，數(shù)列{bn}滿足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n(n≥2，且n∈N*)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)求證：數(shù)列{bn－an}為等比數(shù)列； (3)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最小值． 【解析】　(1)由Sn＝Sn－1＋an－1＋得Sn－Sn－1＝an－1＋， 即an－an－1＝(n∈N*，n≥2)， 則數(shù)列{an}是以為公差的等差數(shù)列

8、， ∴an＝a1＋(n－1)×＝n－(n∈N*)． (2)證明：∵3bn－bn－1＝n(n≥2)，∴bn＝bn－1＋n(n≥2)， ∴bn－an＝bn－1＋n－n＋ ＝bn－1－n＋＝(bn－1－n＋)(n≥2)， bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)＋＝bn－1－n＋(n≥2)， ∴bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)， ∵b1－a1＝－30≠0，∴＝(n≥2)， ∴數(shù)列{bn－an}是以－30為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． (3)由(2)得bn－an＝－30×()n－1， ∴bn＝an－30×()n－1＝n－－30×()n－1. ∴bn－bn－1＝n－－30×()n－1－(n－1)＋＋30×()n－2＝＋30×()n－2×(1－) ＝＋20×()n－2>0(n≥2)，∴數(shù)列{bn}是遞增數(shù)列． ∵當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝－<0；當(dāng)n＝2時(shí)，b2＝－10<0； 當(dāng)n＝3時(shí)，b3＝－<0；當(dāng)n＝4時(shí)，b4＝－>0， ∴數(shù)列{bn}從第4項(xiàng)起各項(xiàng)均大于0，故數(shù)列{bn}的前3項(xiàng)之和最小，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，則T3＝－＋(－10)＋(－)＝－.