8、則BC的長為( )．
A. B. C．2 D．2
解析 S＝×AB·ACsin 60°＝×2×AC＝，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝3，所以BC＝.
答案 B
11．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知b＝2，B＝，C＝，則△ABC的面積為( )．
A．2＋2 B.＋1 C．2－2 D.－1
解析 由正弦定理＝及已知條件得c＝2，
又sin A＝sin(B＋C)＝×＋×＝.
從而S△ABC＝bcsin A＝×2×2×＝＋1.
答案 B
12．(
9、xx·陜西卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，則△ABC的形狀為( )．
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．不確定
解析 由正弦定理及已知條件可知sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2 A，即sin(B＋C)＝sin2 A，而B＋C＝π－A，所以sin(B＋C)＝sin A，所以sin2 A＝sin A，又0＜A＜π，sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝.
答案 A
13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為
10、________．
解析 由題意知，sin B＋cos B＝，所以sin＝，所以B＝，根據(jù)正弦定理可知＝，可得＝，所以sin A＝，又a＜b，故A＝.
答案
14．(xx·煙臺一模)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝1，b＝2，cos C＝，則sin B等于________．
解析 由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝4，即c＝2.由cos C＝得sin C＝.由正弦定理＝，得sin B＝＝×＝(或者因?yàn)閏＝2，所以b＝c＝2，即三角形為等腰三角形，所以sin B＝sin C＝)．
答案
15．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的
11、邊，且a＝c＋bcos C.
(1)求角B的大??；
(2)若S△ABC＝，b＝，求a＋c的值．
解 (1)由正弦定理，得sin A＝sin C＋sin Bcos C，
又因?yàn)锳＝π－(B＋C)，所以sin A＝sin(B＋C)，
可得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin C＋sin Bcos C，
即cos B＝，又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)因?yàn)镾△ABC＝，所以acsin＝，所以ac＝4，
由余弦定理可知b2＝a2＋c2－ac，
所以(a＋c)2＝b2＋3ac＝13＋12＝25，即a＋c＝5.
16．(xx·北京卷)在△ABC中，a＝3，b＝2，∠B
12、＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
解 (1)因?yàn)閍＝3，b＝2，∠B＝2∠A，所以在△ABC中，由正弦定理，得＝，
所以＝，故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又因?yàn)椤螧＝2∠A，
所以cos B＝2cos2A－1＝，所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝.
所以c＝＝5.
17．在△ABC中，邊a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcos C＝(3a－c)cos B.
(1)求cos B；
(2)若·＝4，b＝4，求邊a，c的值．
13、
解 (1)由正弦定理和bcos C＝(3a－c)cos B，
得sin Bcos C＝(3sin A－sin C)cos B，
化簡，得sin Bcos C＋sin Ccos B＝3sin Acos B，
即sin(B＋C)＝3sin Acos B，
故sin A＝3sin Acos B，所以cos B＝.
(2)因?yàn)椤ぃ?，所以·＝||·||·cos B＝4，所以||·||＝12，即ac＝12.①
又因?yàn)閏os B＝＝，整理得，a2＋c2＝40.②
聯(lián)立①②解得或
18．在△ABC中，A＝，AB＝2，且△ABC的面積為，則邊AC的長為( )．
A．1 B. C．2
14、 D.
解析 由題意知S△ABC＝×AB×AC×sin A＝×2×AC×＝，∴AC＝1.
答案 A
19．已知角A為△ABC的內(nèi)角，且sin 2A＝－，則sin A－cos A＝( )．
A. B．－ C．－ D.
解析 ∵A為△ABC的內(nèi)角，且sin 2A＝2sin Acos A＝－＜0，∴sin A＞0，cos A＜0，∴sin A－cos A＞0.
又(sin A－cos A)2＝1－2sin Acos A＝.
∴sin A－cos A＝.
答案 A
20．(xx·臨沂一模)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若sin2 A＋sin2 C－sin
15、2 B＝sin Asin C，則角B為( )．
A. B. C.π D.π
解析 由正弦定理可得a2＋c2－b2＝ac，所以cos B＝＝＝，所以B＝.
答案 A
21．若三條線段的長分別為3,5,7，則用這三條線段( )．
A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形
C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形
解析 設(shè)能構(gòu)成三角形的最大邊為a＝7，所對角為A，則cos A＝＝－＜0，
故A為鈍角，即構(gòu)成的三角形為鈍角三角形．
答案 C
22．(xx·安徽卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c.若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，則角C
16、＝( )．
A. B. C. D.
解析 由3sin A＝5sin B，得3a＝5b，∴a＝b，
代入b＋c＝2a中，得c＝b.由余弦定理，
得cos C＝＝－，∴C＝.
答案 B
23．設(shè)α，β都是銳角，且cos α＝，sin(α＋β)＝，則cos β＝( )．
A. B.
C.或 D.或
解析 α，β都是銳角，
當(dāng)cos α＝時(shí)，sin α＝.
因?yàn)閏os α＝＜，所以α＞60°.
又sin(α＋β)＝＜，
所以α＋β＜60°或α＋β＞120°.
顯然α＋β＜60°不可能，所以α＋β為鈍角．
又sin(α＋β)＝，因此cos(α＋β)＝－，
所
17、以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝＝.
答案 A
24．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c,23cos2A＋cos 2A＝0，a＝7，c＝6，則b＝( )．
A．10 B．9 C．8 D．5
解析 化簡23cos2A＋cos 2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cos A＝.由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccos A，代入數(shù)據(jù)，得b＝5.
答案 D
25．(xx·天津卷)在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，則sin∠BAC＝( )．
A.
18、 B. C. D.
解析 由余弦定理，得AC2＝BA2＋BC2－2BA·
BCcos B＝()2＋32－2××3cos＝5.
∴AC＝，由正弦定理＝，得
sin∠BAC＝＝＝＝.
答案 C
26．已知sin＝，且x∈，則cos 2x的值為________．
解析 sin 2x＝cos＝1－2sin2
＝1－2×2＝－，
∵x∈，∴2x∈.
∴cos 2x＝－＝－.
答案 －
27．已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________．
解析 由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，可得B＝60°.又在△AB
19、D中，AB＝1，BD＝2，由余弦定理可得AD＝＝.
答案
28．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，若b＝1，c＝，C＝π，則S△ABC＝________.
解析 因?yàn)閏＞b，所以B＜C，所以由正弦定理得＝，即＝＝2，即sin B＝，所以B＝，所以A＝π－－＝.所以S△ABC＝bc sin A＝××＝.
答案
29．f(x)＝2sin2－cos 2x－1，x∈，則f(x)的最小值為________ .
解析 f(x)＝2sin2－cos 2x－1
＝1－cos 2－cos 2x－1
＝－cos－cos 2x＝sin 2x－cos 2x＝2sin，因?yàn)椤躼≤，所
20、以≤2x－≤，所以≤sin≤1，所以1≤2sin≤2，即1≤f(x)≤2，所以f(x)的最小值為1.
答案 1
30．(xx·江西卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知cos C＋(cos A－sin A)cos B＝0.
(1)求角B的大?。?
(2)若a＋c＝1，求b的取值范圍．
解 (1)由已知得
－cos(A＋B)＋cos Acos B－sin Acos B＝0，
即有sin Asin B－sin Acos B＝0，
因?yàn)閟in A≠0，所以sin B－cos B＝0，
又cos B≠0，所以tan B＝，
又0＜B＜π，所以B＝.
(2)由余
21、弦定理，有b2＝a2＋c2－2accos B.
因?yàn)閍＋c＝1，cos B＝，所以b2＝32＋.
又0＜a＜1，于是有≤b2＜1，即有≤b＜1.
故b的取值范圍是.
31．已知△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos B＋bsin A＝c.
(1)求角A的大??；
(2)若a＝1，·＝3，求b＋c的值．
解 (1)由acos B＋bsin A＝c，得
sin Acos B＋sin Bsin A＝sin (A＋B)，
即 sin Bsin A＝cos Asin B，
所以tan A＝，故A＝.
(2)由·＝3，得bccos ＝3，即bc＝2，①
又a＝1，
∴1＝b2＋c2－2bccos ，②
由①②可得(b＋c)2＝7＋4，所以b＋c＝2＋.
2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 解三角形（含解析）
