2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案 新人教A版
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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 對數(shù)與對數(shù)函數(shù)教案 新人教A版 高考要求: 1.理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化為自然對數(shù)或常用對數(shù),了解對數(shù)在簡化運算中的作用.2.理解對數(shù)函數(shù)的概念,理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)圖象通過的特殊點,知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)(a>0,a≠1),體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型. 知識梳理 1.對數(shù)的概念 (1)對數(shù)的定義 如果ax=N(a>0且a≠1),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作___ x=logaN ___,其中__ a __叫做對數(shù)的底數(shù),__ N __叫做真數(shù).真數(shù)N為正數(shù)(負(fù)
2、數(shù)和零無對數(shù)). 說明:①實質(zhì)上,上述對數(shù)表達(dá)式,不過是指數(shù)函數(shù)的另一種表達(dá)形式,例如:與 這兩個式子表達(dá)是同一關(guān)系,因此,有關(guān)系式 ②“”同“+”“×”“”等符號一樣,表示一種運算,即已知一個數(shù)和它的冪求指數(shù)的運算,這種運算叫對數(shù)運算,不過對數(shù)運算的符號寫在數(shù)的前面。 ③對數(shù)的底數(shù)和真數(shù) 從對數(shù)的實質(zhì)看:如果ab=N(a>0且a≠1),那么b叫做以a為底N的對數(shù),即b=logaN.它是知道底數(shù)和冪求指數(shù)的過程.底數(shù)a從定義中已知其大于0且不等于1;N在對數(shù)式中叫真數(shù),在指數(shù)式中,它就是冪,所以它自然應(yīng)該是大于0的. (2)幾種常見對數(shù) 對數(shù)形式 特點 記法 一般對數(shù)
3、底數(shù)為a(a>0且a≠1) logaN 常用對數(shù) 底數(shù)為__10____ lg_N 自然對數(shù) 底數(shù)為__e__ ln_N 2.對數(shù)的性質(zhì)與運算法則 (1)對數(shù)的性質(zhì)(a>0且a≠1) ①=__ N __; ②=__0__; ③=_ N ___; ④=_1___. (2)對數(shù)的重要公式 ①換底公式:logbN=__________(a,b均大于零且不等于1); ②logab=,推廣ogab·logbc·logcd=_ logad ___. (3)對數(shù)的運算法則 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ① loga(MN)=___ log
4、aM+logaN _____;②loga=___ logaM-logaN ________; ③logaMn=___ nlogaM __ (n∈R);④=logaM. 點評:(1)要熟練掌握公式的運用和逆用。 (2)在使用公式的過程中,要注意公式成立的條件。 例如:真數(shù)為兩負(fù)數(shù)的積,不能寫成= 3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì) ① 對數(shù)函數(shù)定義:函數(shù)稱對數(shù)函數(shù), 說明:(1)一個函數(shù)為對數(shù)函數(shù)的條件是: ①系數(shù)為1; ② 底數(shù)為大于0且不等于1的正常數(shù); ③ 變量為真數(shù). ④ 在對數(shù)式中,真數(shù)必須是大于0的,所以對數(shù)函數(shù)y=logax的定義域應(yīng)為{x|x>0}. ⑤
5、對數(shù)型函數(shù)的定義域:
特別應(yīng)注意的是:真數(shù)大于零、底數(shù)大于零且不等于1。
②函數(shù)圖像:
1)對數(shù)函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(0,1),且圖象都在第一、四象限;
2)對數(shù)函數(shù)都以軸為漸近線(當(dāng)時,圖象向上無限接近軸;當(dāng)時,圖象向下無限接近軸);
3)對于相同的,函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱。
a>1
01時,_ y>0 _______
當(dāng)0 6、
(5)當(dāng)x>1時,__ y<0______
當(dāng)0 7、象關(guān)于直線 ___y=x _____對稱. 由指數(shù)函數(shù)的定義域,值域,容易得到對數(shù)函數(shù)的定義域為,值域為,
題型分析
題型一對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化
[例1](1)下列指數(shù)式改寫成對數(shù)式;
; ; ;
(2)下列對數(shù)式改寫成指數(shù)式;
; ;
(3)求下列各式的
①; ②;
③; ④
[解析]①由,得,即;
②由,得,即,故;
③由,得故;
④由,得故
(4)若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 12 。
[點評]對數(shù)的定義是對數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù),而對數(shù)形式與指數(shù)形式的互化又是解決問題重要手段。
8、
題型二 對數(shù)式的化簡與求值
例2?。?)計算下列各式.
①lg 25+lg 2·lg 50+(lg 2)2;
②;
③(log32+log92)·(log43+log83).
解?、僭剑?lg 2)2+(1+lg 5)lg 2+lg 52=(lg 2+lg 5+1)lg 2+2lg 5
=(1+1)lg 2+2lg 5=2(lg 2+lg 5)=2.
②原式===-.
③原式=·=·=·=.
(2)已知求
解法一:∵,∴
∴
解法二:∵∴
∴
(3)設(shè),求的值.
[解析](1)∵∴
∴,
∴
探究提高 (1)在對數(shù)運算中,先利用冪的運算把底數(shù)或真數(shù) 9、進行變形,化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式,使冪的底數(shù)最簡,然后再運用對數(shù)運算法則化簡合并,在運算中要注意化同底和指數(shù)與對數(shù)互化.
(2)熟練地運用對數(shù)的三個運算性質(zhì)并配以代數(shù)式的恒等變形是對數(shù)計算、化簡、證明常用的技巧.
變式訓(xùn)練2:(1)計算:log2.56.25+lg+ln+= .
(2)求下列各式的值:
①;
[解析]原式
②;
原式===
③
解:∵
∴原式
(3)已知f(3x)=4xlog23+233,求f(2)+f(4)+f(8)+…+f(28)的值.
解析 令3x=t,f(t)=4log2t+233,
∴f( 10、2)+f(4)+f(8)+…+f(28)=4×(1+2+…+8)+8×233=4×36+1 864=2 008.
(4)設(shè)2a=5b=m,且+=2,則m的值為 ( )
A. B.10 C.20 D.100
(5)已知均大于1,,求
[解析]由得由得,
由得,即
∴,解得
∴
題型三 對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)
探究點三 含對數(shù)式的大小比較
例3 (1)比較下列各組數(shù)的大?。?
①log3與log5;②log1.10.7與log1.20.7.
解 (1)①∵log3 11、0.7<1,1.1<1.2,
∴0>log0.71.1>log0.71.2.
∴<,
由換底公式可得log1.10.7 12、c>b C.b>a>c D.b>c>a
解:a=log3π>1,b=log23,則b>c.
(2)設(shè)a、b、c均為正數(shù),且2a=,()b=, ()c=log2c,則 ( )
A.a(chǎn)1,logb=()b∈(0,1),
log2c=()c∈(0,1).∴0
13、且當(dāng)x≥1時,f(x)=ln x,則有 ( )
A.f() 14、_ m>n ____
解析 ∵m<0,n<0,∵=logac·logcb=logab 15、作商法;
(3)利用中間量(0或1); (4)化同真數(shù)后利用圖象比較.
探究點四 對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)
例4?。?)作出函數(shù)y=log2|x+1|的圖象,由圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并說明它的圖象可由函數(shù)y=log2x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.
解 作出函數(shù)y=log2x的圖象,將其關(guān)于y軸對稱得
到函數(shù)y=log2|x|的圖象,再將圖象向左平移1個單位長度
就得到函數(shù)y=log2|x+1|的圖象(如圖所示).
由圖知,函數(shù)y=log2|x+1|的遞減區(qū)間為(-∞,-1),遞
增區(qū)間為(-1,+∞).
探究提高 作一些復(fù)雜函數(shù)的圖象,首先應(yīng)分析它可以從哪一個基本函數(shù)的圖象變換過 16、來.一般是先作出基本函數(shù)的圖象,通過平移、對稱、翻折等方法,得出所求函數(shù)的圖象.
(2)已知y=loga(2-ax)在區(qū)間[0,1]上是x的減函數(shù),求a的取值范圍.
解析:先求函數(shù)定義域:由2-ax>0,得ax<2
又a是對數(shù)的底數(shù),
∴a>0且a≠1,∴x<
由遞減區(qū)間[0,1]應(yīng)在定義域內(nèi)可得>1,∴a<2
又2-ax在x∈[0,1]是減函數(shù)
∴y=loga(2-ax)在區(qū)間[0,1]也是減函數(shù),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知:a>1
∴1<a<2
(3)方程的解 .
[解析]令
∴
∴∴∴ 故應(yīng)填:-1
(4)設(shè)函數(shù)
①若的定義域為R,求的取值范圍;
②若的 17、值域為R,求的取值范圍。
[解析]①因為的定義域為R,所以對一切恒為正數(shù),由此可得,且,解得
②因為的值域為R,所以真數(shù)能取到一切正實數(shù),由此可得,且,解得
變式訓(xùn)練4
(1) 若點(a,b)在y=lg x圖象上,a≠1,則下列點也在此圖象上的是( )
A. B.(10a,1-b) C. D.(a2,2b)
(2)已知函數(shù)f(x)=loga(x+b) (a>0且a≠1)的圖象過兩點(-1,0)和(0,1),則a=__2____,b=__2____.
(3)函數(shù)f(x)=(x2-2x-3)的單調(diào)遞增區(qū)間是_____(-¥,-1)_____
求解與 18、對數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的步驟:
①確定定義域;
②弄清函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的,將復(fù)合函數(shù)分解成基本初等函數(shù)y=f(u),u=g(x);
③分別確定這兩個函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
④若這兩個函數(shù)同增或同減,則y=f(g(x))為增函數(shù),若一增一減,則y=f(g(x))為減函數(shù),即“同增異減”.
(4).函數(shù)y=(-1)的圖象關(guān)于( ?。?
A.y軸對稱 B.x軸對稱 C.原點對稱 D.直線y=x對稱
(5)若函數(shù)是奇函數(shù),則
解:由于是奇函數(shù),∴,
即,
∴,又,∴
(6)已知函數(shù),若,則等于( )
A. B.- 19、C.2 D.-2
題型四 對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用
例5?。?)已知、、為正數(shù),且,求的取值范圍.
[解析]∵∴
∴
∵,∴上式關(guān)于的方程有實根?!?
∴ ∴,或
∴或
(2)已知函數(shù)f(x)=loga(8-2x) (a>0且a≠1).
(1)若f(2)=2,求a的值;
(2)當(dāng)a>1時,求函數(shù)y=f(x)+f(-x)的最大值.
解 (1)f(2)=loga4,
依題意f(2)=2,則loga4=2,∴a=2.
(2)由題意知8-2x>0,解得x<3,
由8-2-x>0知,x>-3,∴函數(shù)y=f(x)+f(-x)的定義域為(-3,3).
又y=f(x)+f 20、(-x)=loga(8-2x)+loga(8-2-x)=loga[65-8(2x+2-x)],
∵>2x+2-x≥2,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時取等號,∴0<65-8(2x+2-x)≤49,
∴當(dāng)a>1時,函數(shù)y=f(x)+f(-x)在x=0處取得最大值loga49.
探究提高 本題的求解體現(xiàn)了方程思想和函數(shù)思想的應(yīng)用,主要涉及對數(shù)式的求值,對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)的綜合運用以及與其他知識的結(jié)合(如不等式、指數(shù)函數(shù)等).
變式訓(xùn)練5
(1)已知函數(shù)f(x)=loga(x+1) (a>1),若函數(shù)y=g(x)圖象上任意一點P關(guān)于原點對稱的點Q的軌跡恰好是函數(shù)f(x)的圖象.
①寫出函數(shù)g( 21、x)的解析式;
②當(dāng)x∈[0,1)時總有f(x)+g(x)≥m成立,求m的取值范圍.
解 (1)設(shè)P(x,y)為g(x)圖象上任意一點,則Q(-x,-y)是點P關(guān)于原點的對稱點,
∵Q(-x,-y)在f(x)的圖象上,∴-y=loga(-x+1),即y=g(x)=-loga(1-x).
(2)f(x)+g(x)≥m,即loga≥m.
設(shè)F(x)=loga,x∈[0,1),由題意知,只要F(x)min≥m即可.
∵F(x)在[0,1)上是增函數(shù),∴F(x)min=F(0)=0. 故m≤0即為所求.
(2)已知函數(shù)f(x)滿足:當(dāng)x≥4時,f(x)=x;當(dāng)x<4時,f(x)=f( 22、x+1).則f(2+log23)的值為 ( )
A. B. C. D.
解:因為3<2+log23<4,故f(2+log23)=f(2+log23+1)=f(3+log23).又3+log23>4,
故f(3+log23)=3+log23=3·=.]
(3)定義在R上的偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)上遞增,f()=0,則滿足>0的x的取值范圍是 ( )
A.(0,+∞) B.(0,)∪(2,+∞) C.(0,)∪(,2) D.(0,)
解:由題意可得:f(x)=f(-x)=f(|x|),f(|logx|)>f(),f(x)在[0,+∞)上遞增,于 23、是|logx|>,解得x的取值范圍是(0,)∪(2,+∞).
(4)函數(shù)y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的圖象恒過定點A,若點A在直線mx+ny+1=0上(其中mn>0),
則+的最小值為_8____.
(5)已知函數(shù)f(x)=|lg x|,若01,
∴l(xiāng)g a<0,lg b>0.由f(a)=f(b),
∴-l 24、g a=lg b ,ab=1.
∴b=,∴a+2b=a+,
又01+=3,即a+2b>3.
(6)已知函數(shù)f(x)=loga(1-ax)(a>0,a≠1).
①解關(guān)于x的不等式:loga(1-ax)>f(1);
②求證:函數(shù)f(x)的圖象總在y軸的一側(cè);
③求證:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是f(x)圖象上的兩點,求證:直線AB的斜率小于0.
①解 ∵f(x)=loga(1-ax),
∴f(1)=loga(1-a).∴1-a>0.∴0loga( 25、1-a).
∴,即∴0 26、為(0,+∞).
當(dāng)0x1>0,∴<.
∴>1.∴<0.
∴f(x2) 27、N=b的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對數(shù)運算法則的關(guān)鍵.
2.指數(shù)運算的實質(zhì)是指數(shù)式的積、商、冪的運算,對于指數(shù)式的和、差應(yīng)充分運用恒等變形和乘法公式;對數(shù)運算的實質(zhì)是把積、商、冪的對數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)的和、差、積.
3.注意對數(shù)恒等式、對數(shù)換底公式及等式logambn=·logab,logab=在解題中的靈活應(yīng)用.
失誤與防范
1.在運算性質(zhì)logaMn=nlogaM時,要特別注意條件,在無M>0的條件下應(yīng)為logaMn=nloga|M|(n∈N*,且n為偶數(shù)).
2.指數(shù)函數(shù)y=ax (a>0,且a≠1)與對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù),應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個方面 28、理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別.
3.明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì),要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象.因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象.
一、選擇題
1.已知函數(shù)f(x)=ax+logax(a>0,a≠1)在[1,2]上的最大值與最小值之和為loga2+6,則a 的值為 ( )
A. B. C.2 D.4
解:當(dāng)x>0時,函數(shù)ax,logax的單調(diào)性相同,因此函數(shù)f(x)=ax+logax是(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),f(x)在[1,2]上的最大值與最小值之和為f(1)+f(2)=a2+a+l 29、oga2,由題意得a2+a+loga2=6+loga2.即a2+a-6=0,解得a=2或a=-3(舍去).
2.已知函數(shù)f(x)=,若a≠b,且f(a)=f(b),則a+b的取值范圍是 ( )
A.(1,+∞) B. C.(2,+∞) D.
3. 設(shè)a=log32,b=ln 2,c=5-,則 ( )
A.a(chǎn)1,=log2e>1,log23>log2e.∴>>1,∴0log3=,∴a>.
b=ln 2>l 30、n =,∴b>. c=5-=<,∴cf(-a),則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)
解:?、佼?dāng)a>0時,f(a)=log2a,f(-a)=,
f(a)>f( 31、-a),即log2a>=log2, ∴a>,解得a>1.
②當(dāng)a<0時,f(a)=,f(-a)=log2(-a),
f(a)>f(-a),即>log2(-a)=,
∴-a<,解得-11.
二、填空題
6若log2a<0,則a的取值范圍是____________.
7.函數(shù)恒過定點 (3,1) .
若函數(shù)f(x)=loga(x2-ax+3) (a>0且a≠1)滿足對任意的x1、x2,當(dāng)x1 32、]上是增函數(shù),則實數(shù)a的取值范圍是__(1,2)__________.
解.析 因為f(x)=lg在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),所以g(x)=a+在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),且g(1)>0,于是a-2<0,且2a-2>0,即10,且a≠1),若f(x1x2…x2 013)=8,則f(
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