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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專項(xiàng)訓(xùn)練 等差、等比綜合問(wèn)題(含解析)
1、 已知等差數(shù)列{an}的公差不為零,a1=25,且a1,a11,a13成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求a1+a4+a7+…+a3n-2.
解 (1)設(shè){an}的公差為d.由題意,得a=a1a13,
即(a1+10d)2=a1(a1+12d).
于是d(2a1+25d)=0.
又a1=25,所以d=-2或0(舍去).
故an=-2n+27.
(2)令Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2.
由(1)知a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首項(xiàng)為25,公差為-6的等差數(shù)列.
從而
2、Sn=(a1+a3n-2)=(-6n+56)=-3n2+28n.
2、已知數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列,它的前n項(xiàng)和為Sn,且a1+1,a3+1,a7+1成等比數(shù)列.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式;
(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn.
解 (1)由題意,得a3+1=a1+5,a7+1=a1+13,
所以由(a3+1)2=(a1+1)·(a7+1)
得(a1+5)2=(a1+1)·(a1+13)
解得a1=3,所以an=3+2(n-1),即an=2n+1.
(2)由(1)知an=2n+1,則Sn=n(n+2),
=,
Tn=
=
=-.
考點(diǎn)二:數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合應(yīng)用
3、
1、設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=2,a2+a4=8,且對(duì)任意n∈N*,函數(shù)f(x)=(an-an+1+an+2)x+an+1cos x-an+2sin x滿足f′=0.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn.
解 (1)由題設(shè)可得,對(duì)任意n∈N*,f′(x)=an-an+1+an+2-an+1sin x-an+2cos x.
f′=an-an+1+an+2-an+1=0,
即an+1-an=an+2-an+1,故{an}為等差數(shù)列.
由a1=2,a2+a4=8,解得數(shù)列{an}的公差d=1,
所以an=2+1·(n-1)=n+1.
(2
4、)由bn==2=2n++2,
知Sn=b1+b2+…+bn=2n+2·+=n2+3n+1-.
2、已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=1,前n項(xiàng)和Sn滿足an=+(n≥2).
(1)求證:{}為等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn,若對(duì)任意的n∈N*,不等式4Tn<a2-a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解 (1)因?yàn)閍n=+,所以Sn-Sn-1=+,
即-=1,所以數(shù)列{}是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,得=n,
所以an=+=n+(n-1)=2n-1(n≥2),當(dāng)n=1時(shí),a1=1也適合,所以an=2n-1.
(2)因?yàn)椋剑剑?
所以,Tn==.∴
5、Tn<,
要使不等式4Tn<a2-a恒成立,只需2≤a2-a恒成立,解得a≤-1或a≥2,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-1]∪[2,+∞).
考點(diǎn):數(shù)列綜合練習(xí)題
1.公比不為1的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且-3a1,-a2,a3成等差數(shù)列,若a1=1,則S4=( ).
A.-20 B.0 C.7 D.40
解析 記等比數(shù)列{an}的公比為q(q≠1),依題意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=-3a1+a1q2,即q2+2q-3=0,(q+3)(q-1)=0,又q≠1,因此有q=-3,則S4==-20.
答案 A
2.若-9,
6、a,-1成等差數(shù)列,-9,m,b,n,-1成等比數(shù)列,則ab=( ).
A.15 B.-15 C.±15 D.10
解析 由已知得a==-5,b2=(-9)×(-1)=9且b<0,∴b=-3,∴ab=(-5)×(-3)=15.
答案 A
3.?dāng)?shù)列{an}滿足a1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),它的前n項(xiàng)和為Sn,則滿足Sn>1 025的最小n值是( ).
A.9 B.10 C.11 D.12
解析 因?yàn)閍1=1,log2an+1=log2an+1(n∈N*),所以an+1=
7、2an,an=2n-1,Sn=2n-1,則滿足Sn>1 025的最小n值是11.
答案 C
4.已知{an}為等比數(shù)列,Sn是它的前n項(xiàng)和.若a2·a3=2a1,且a4與2a7的等差中項(xiàng)為,則S5=( ).
A.35 B.33 C.31 D.29
解析 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q,則由等比數(shù)列的性質(zhì)知,
a2·a3=a1·a4=2a1,即a4=2.
由a4與2a7的等差中項(xiàng)為知,a4+2a7=2×,
∴a7==.∴q3==,即q=.
∴a4=a1q3=a1×=2,∴a1=16,∴S5==31.
答案 C
5.設(shè)y=f(x)是一次函數(shù),若f(0
8、)=1,且f(1),f(4),f(13)成等比數(shù)列,則f(2)+f(4)+…+f(2n)等于( ).
A.n(2n+3) B.n(n+4) C.2n(2n+3) D.2n(n+4)
解析 由題意可設(shè)f(x)=kx+1(k≠0),則(4k+1)2=(k+1)×(13k+1),解得k=2,f(2)+f(4)+…+f(2n)=(2×2+1)+(2×4+1)+…+(2×2n+1)=2n2+3n.
答案 A
6.已知實(shí)數(shù)a1,a2,a3,a4構(gòu)成公差不為零的等差數(shù)列,且a1,a3,a4構(gòu)成等比數(shù)列,則此等比數(shù)列的公比等于________.
解析 設(shè)公差為d,公比為q.
則a=a1·a4,即(a1+2d)2=a1(a1+3d),
解得a1=-4d,所以q===.
答案
7.某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍,則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________.
解析 每天植樹棵數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列{an},
其中a1=2,q=2.則Sn==2(2n-1)≥100,即2n+1≥102.∴n≥6,∴最少天數(shù)n=6.
答案 6