《2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版（8頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 理（含解析）新人教A版 【試卷綜析】本試卷是高三理科試卷，考查學(xué)生解決實(shí)際問題的綜合能力，是份較好的試卷. 以基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能為載體，以能力測(cè)試為主導(dǎo)，在注重考查學(xué)科核心知識(shí)的同時(shí)，突出考查考綱要求的基本能力，重視學(xué)生科學(xué)素養(yǎng)的考查.知識(shí)考查注重基礎(chǔ)、注重常規(guī)、注重主干知識(shí)，兼顧覆蓋面.試題重點(diǎn)考查：集合、不等式、復(fù)數(shù)、向量、三視圖、導(dǎo)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用、三角函數(shù)的性質(zhì)、三角恒等變換與解三角形、直線圓的位置關(guān)系，數(shù)列等； 【題文】一、選擇題 【題文】1．全集,集合，則（ ）

2、 A. B. C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1 【答案解析】B A={x，則={x故選B. 【思路點(diǎn)撥】先求出集合A再求。 【題文】2．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位），則的虛部為 （ ） A. B . C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】復(fù)數(shù)的基本概念與運(yùn)算L4 【答案解析】C ∵i4=1，∴ixx=（i4）503?i2=-1．∴z== =--i． ∴=-+i，其虛部為．故選：C． 【思路點(diǎn)撥】利用i4=1，復(fù)數(shù)的運(yùn)

3、算法則、虛部的定義即可得出． 【題文】3．已知等差數(shù)列，若，則 （ ） A. 24 B. 27 C . 15 D. 54 【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列及等差數(shù)列前n項(xiàng)和D2 【答案解析】B 由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a4+a5+a6=3a5=9，解得a5=3， ∴S9===9a5=27故選：B 【思路點(diǎn)撥】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解。 【題文】4若，則

4、（ ） A. B. C . D. 【知識(shí)點(diǎn)】二倍角公式C6 【答案解析】C cos(2x-)=1-=故選C。 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)二倍角公式求解 【題文】5．若的解集為且函數(shù)的最大值為-1，則實(shí)數(shù)的值為 A. 2 B . C. 3 D. （ ） 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)B6 B7 【答案解析】B ：∵ax＞1的解集

5、為{x|x＜0}，∴0＜a＜1， ∵y= (x+)的最大值為-1，x+≥2，∴a-1=2，∴a=，故選：B． 【思路點(diǎn)撥】先確定0＜a＜1，再利用y= (x+)的最大值為-1，x+ ≥2，即可求出實(shí)數(shù)a的值． 【題文】6.若某多面體的三視圖(單位：cm), 如圖所示， 其中正視圖與俯視圖均為等腰三角形，則 此多面體的表面積是（ ） A. B. C. 15 D. 【知識(shí)點(diǎn)】空間幾何體的三視圖和直觀圖G2 【答案解析】B 由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC⊥底面，底面是底邊為

6、6、高為4的等腰三角形．在等腰三角形ABC中，CD⊥AB，CD=4，AB=6，∴AC=BC= =5． ∵PC⊥底面ABC，∴PC⊥AC，PC⊥BC，PC⊥CD． ∴S表面積=2××5×4+×6×4+×6×4=32+12． 故答案為B． 【思路點(diǎn)撥】由三視圖可知：該幾何體是一個(gè)如圖所示的三棱錐，側(cè)棱PC=4且PC⊥底面，底面是底邊為6、高為4的等腰三角形．據(jù)此即可計(jì)算出答案． 【題文】7若函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù) 的圖像在點(diǎn)處的切線方程為 （ ） A . B . C . D. 【知識(shí)點(diǎn)

7、】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析】A 由函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x-2，得 f′（1）=3，f（1）=1．又函數(shù)g（x）=x2+f（x），∴g′（x）=2x+f′（x）， 則g′（1）=2×1+f′（1）=2+3=5．g（1）=12+f（1）=1+1=2． ∴函數(shù)g（x）=x2+f（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1））處的切線方程為y-2=5（x-1）． 即5x-y-3=0．故答案為：A． 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y=3x-2，可得f′（1）=3，f（1）=1，求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)函數(shù)，再求出g（1）和g

8、′（1），則由直線方程的點(diǎn)斜式可求函數(shù)g（x）=x2+f（x）的圖象在點(diǎn)（1，g（1）） 處的切線方程． 【題文】8．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的一個(gè)取值為（ ） A. 0 B. C . D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的圖象與性質(zhì)C4 【答案解析】B f（x）=sin（x+?）+cos（x+?）= sin（x+?+） ∵函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴?+=+kπ（k∈Z）∴?=+kπ（k∈Z）當(dāng)k=0時(shí)，?=． 故

9、選B． 【思路點(diǎn)撥】利用兩角和的正弦公式化成標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)函數(shù)f（x）為偶函數(shù)， 結(jié)合誘導(dǎo)公式得?+=+kπ（k∈Z），進(jìn)而求出?的值． 【題文】9．設(shè)（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則 （ ） A. B . C . D. 【知識(shí)點(diǎn)】指數(shù)對(duì)數(shù)B6 B7 【答案解析】D ∵x=log510=log55+log52＜1+ =1+==z， y= == ＞= ＞z，∴x＜z＜y，故選：D． 【思路點(diǎn)撥】分別利用對(duì)數(shù)

10、函數(shù)的單調(diào)性和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可． 【題文】10．定義在R上的函數(shù)是增函數(shù)，且對(duì)任意的恒有，若實(shí)數(shù) 滿足不等式組，則的范圍為 （ ） A. B . C . D. 【知識(shí)點(diǎn)】函數(shù)的單調(diào)性與最值B3 【答案解析】C ∵f（x）=-f（2-x），∴-f（x）=f（2-x）， ∴f（a2-6a+23）+f（b2-8b）≤0可化為f（a2-6a+23）≤-f（b2-8b）=f（2-b2+8b）， 又∵f（x）在R上單調(diào)遞增，∴a2-6a+23≤2-b2+8b， 即a2-6a+23+b2-8b-2≤0，配方可得（a-3）

11、2+（b-4）2≤4， ∴原不等式組可化為， 如圖，點(diǎn)（a，b）所對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)橐裕?，4）為圓心，2為半徑的右半圓（含邊界）， 易知a2+b2表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（0，0）的距離的平方， 由圖易知：|OA|2≤a2+b2≤|OB|2，可得點(diǎn)A（3，2），B（3，6） ∴|OA|2=32+22=13，|OB|2=32+62=45， ∴13≤m2+n2≤45，即m2+n2的取值范圍為[13，45]．故選：C 【思路點(diǎn)撥】由函數(shù)的性質(zhì)可化原不等式組為，a2+b2表示點(diǎn)（a，b）到點(diǎn)（0，0）的距離的平方，數(shù)相結(jié)合可得答案． 【題文】11．三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在半徑為2的球面上，且,

12、平 面平面，則三棱錐的體積的最大值為 （ ） A. 4 B. 3 C. D. 【知識(shí)點(diǎn)】棱柱與棱錐G7 【答案解析】B 根據(jù)題意：半徑為2的球面上，且AB=BC=CA=2， △ABC為截面為大圓上三角形，設(shè)圓形為O，AB的中點(diǎn)為N，ON═=1 ∵平面PAB⊥平面ABC， ∴三棱錐P-ABC的體積的最大值時(shí)，PN⊥AB，PN⊥平面ABC，PB==， ∴三棱錐P-ABC的體積的最大值為××（2）2×=3，故選：B 【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用題意判斷出三棱錐P-ABC的體積的最大值時(shí)，幾

13、何體的性質(zhì)，在求解體積的值． 【題文】12．在中，是的內(nèi)心，若,其中，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所覆蓋圖形的面積為 （ ） A. B . C . D. 【知識(shí)點(diǎn)】單元綜合F4 【答案解析】B 根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，其面積為△BOC面積的2倍．在△ABC中，由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccosA，代入數(shù)據(jù)，解得BC=7， 設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則bcsinA=(a+b+c)r，解得r=， 所以S△BOC=×BC×r=×

14、7×=， 故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所覆蓋圖形的面積為2S△BOC=．故答案為B. 【思路點(diǎn)撥】根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)B，OC為鄰邊的平行四邊形，其面積為△BOC面積的2倍． 第II卷（非選擇題，共90分） 【題文】二、填空題 【題文】13．已知兩點(diǎn)，向量，若，則實(shí)數(shù)k的值為 【知識(shí)點(diǎn)】平面向量基本定理及向量坐標(biāo)運(yùn)算F2 【答案解析】 兩點(diǎn)A（-1，0），B（1，3），向量=（2k-1，2），=（2，3）， ∥，3（2k-1）=4，解得：k=故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】求出AB向量，然后利用向量的平行，求出k的值即可．

15、 【題文】14．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和是, 用由此可類比得到各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列的前項(xiàng)積 （表示） 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列等差數(shù)列D2 D3 【答案解析】 在等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，因?yàn)榈炔顢?shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積，所以各項(xiàng)均為正的等比數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)積Tn= 故答案為：． 【思路點(diǎn)撥】由等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)和求和公式及類比推理思想可得結(jié)果，在運(yùn)用類比推理時(shí)，通常等差數(shù)列中的求和類比等比數(shù)列中的乘積． 【題文】15．若直線與圓有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4 【答案解析】[-3，1] 由

16、題意可得，圓心到直線的距離小于或等于半徑，，化簡(jiǎn)得|a+1|≤2，故有-2≤a+1≤2，求得-3≤a≤1，故答案為：[-3，1]． 【思路點(diǎn)撥】由題意可得，圓心到直線的距離小于或等于半徑，即 ，解絕對(duì)值不等式求得實(shí)數(shù)a取值范圍． 【題文】16．已知函數(shù)，給出如命題： ①是偶函數(shù)；②在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增； ③函數(shù)在上有3個(gè)零點(diǎn)；④當(dāng)時(shí)，恒成立； 其中正確的命題序號(hào)是 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3 【答案解析】①④ 對(duì)于①，顯然定義域?yàn)镽，f（-x）=-xsin（-x）+cos（-x）=xsinx+cosx=f（x）．所以函數(shù)為偶函數(shù)，所以

17、①為真命題； 對(duì)于②，f′（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，當(dāng)x∈[0，]時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)，故②為假命題；對(duì)于③，令f（x）=0，所以=-tanx，做出y=及y=-tanx在[-，]上的圖象可知，它們?cè)赱-，]上只有兩個(gè)交點(diǎn)，所以原函數(shù)在[-，]有兩個(gè)零點(diǎn)，故③為假命題；對(duì)于④，要使當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤x2+1恒成立，只需當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）-x2-1≤0恒成立，即y=xsinx+cosx-x2-1≤0恒成立，而y′=xcosx-2x=（cosx-2）x顯然小于等于0恒成立，所以該函數(shù)在[0，+∞）上遞減，因此x=0時(shí)ymax=0+cos0-1=0，故

18、當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≤x2+1恒成立，故④為真命題．故答案為①④． 【思路點(diǎn)撥】①利用偶函數(shù)的定義判斷； ②利用導(dǎo)數(shù)求解，導(dǎo)數(shù)大于0求增區(qū)間，導(dǎo)數(shù)小于0求減區(qū)間； ③研究極值、端點(diǎn)處的函數(shù)值的符號(hào)； ④轉(zhuǎn)化為f（x）-（x2+1）≤0恒成立，因此只需求左邊函數(shù)的最大值小于0即可． 【題文】三、解答題 【題文】17．已知集合函數(shù)的定義域?yàn)? 集合B. (1) 若a=1,求集合； (2) 已知a>-1,且是的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 【知識(shí)點(diǎn)】集合及其運(yùn)算A1 【答案解析】（1）{x|1＜x≤2或3≤x＜5}（2）≤a≤1+ （1）若a=1，則A={x

19、|（x-1）（x-5）＜0}={x|1＜x＜5}， 函數(shù)y=lg =lg，由＞0，解得2＜x＜3，即B=（2，3）， 則?RB={x|x≤2或x≥3}，則A∩?RB={x|1＜x≤2或3≤x＜5}， （2）方程（x-1）（x-2a-3）=0的根為x=1或x=2a+3， 若a＞-1，則2a+3＞1，即A={x|（x-1）（x-2a-3）＜0}={x|1＜x＜2a+3} 由＞0得（x-2a）[x-（a2+2）]＜0， ∵a2+2-2a=（a-1）2+1＞0，∴a2+2＞2a ∴（x-2a）[x-（a2+2）]＜0的解為2a＜x＜a2+2，即B={x|2a＜x＜a2+2} 若x∈A”

20、是“x∈B”的必要不充分條件則B?A，即且等號(hào)不能同時(shí)取， 即，則，即≤a≤1+． 【思路點(diǎn)撥】（1）求解集合A．B根據(jù)集合的基本運(yùn)算即可得到結(jié)論． （2）求出集合A，B，根據(jù)充分條件和必要條件的關(guān)系即可得到結(jié)論 【題文】18．?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為，若 （1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和. 【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列前n項(xiàng)和D3 【答案解析】（1）an=（-3）n-1（2）-(+)?(-3)n （1）∵an+1=-4Sn+1，a1=1，∴Sn=， an=Sn-Sn-1=-=，∴4an=an-an+1，∴an+1=-3an，∴=-3，∵a1=1， ∴an=（-3）

21、n-1． （2）∵bn=nan=n（-3）n-1， ∴Tn=1?（-3）0+2?（-3）+3?（-3）2+…+n（-3）n-1，① -3Tn=1?（-3）+2?（-3）2+3?（-3）3+…+n?（-3）n，② ①-②，得： 4Tn=（-3）0+（-3）+（-3）2+…+（-3）n-1-n?（-3）n =-n?（-3）n=-(+n)?(-3)n，∴Tn=-(+)?(-3)n． 【思路點(diǎn)撥】（1）由已知條件得Sn= ，從而得到an=Sn-Sn-1=，所以=-3，再由a1=1，能求出an=（-3）n-1． （2）由bn=nan=n（-3）n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{bn}的前

22、n項(xiàng)和Tn． 【題文】19．已知分別是三角形的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊， . （1）求角A的大小; （2）求函數(shù)的值域. 【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3 【答案解析】（1）（2）（1，2]． （1）由題意得（2b-c）cosA=acosC，由正弦定理得：2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC =sin（A+C）即2sinBcosA=sinB，所以cosA=．A是三角形的內(nèi)角，所以A=． （2）因?yàn)楹瘮?shù)y=sinB+sin(C-)=sinB+cosB=2sin（B+），而＜B+＜，所以函數(shù)y=2sin（B+）的值域（1，2]． 【思路點(diǎn)撥】（1）通過向量的

23、平行，利用共線，通過正弦定理以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)，求出A的余弦值，然后求角A的大??； （2）通過函數(shù)y=sinB+sin(C-)，利用兩角和與差的三角函數(shù)，化為鐵公雞的一個(gè)三角函數(shù)的形式，結(jié)合B的范圍，直接求解函數(shù)的值域． 【題文】20．已知圓C的半徑為2，圓心在x軸正半軸上，直線與圓C相切. （1）求圓C的方程； （2）過點(diǎn)的直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)，且時(shí)，求三角形的面積. 【知識(shí)點(diǎn)】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系H4 【答案解析】（I）（x-2）2+y2=4（II） （I）設(shè)圓心為C（a，0），（a＞0），則圓C的方程為（x-a）2+y2=4． 因?yàn)閳AC與3x-4y+

24、4=0相切，所以=2，解得：a=2或a=-（舍）， 所以圓C的方程為：（x-2）2+y2=4． （II）依題意：設(shè)直線l的方程為：y=kx-3，由得（1+k2）x2-（4+6k）x+9=0， ∵l與圓C相交于不同兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）， ∴△=（4+6k2）-4（1+k2）×9＞0，且x1+x2=，x1x2=， ∴y1y2=(kx1-3)(kx2-3)=k2?x1x2-3k(x1x2)+9=-+9， 又∵x1x2+y1y2=3，∴+-+9=3， 整理得：k2+4k-5=0解得k=1或k=-5（舍）．∴直線l的方程為：y=x-3． 圓心C到l的距離d==，在△A

25、BC中，∵|AB|=2?=14， 原點(diǎn)O到直線l的距離，即△AOB底邊AB邊上的高h(yuǎn)==， ∴S△AOB=|AB|?h=??= 【思路點(diǎn)撥】（I）設(shè)圓心為C（a，0），（a＞0），可得圓C的方程的方程．再根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求得a的值，可得圓C的方程． （II）依題意：設(shè)直線l的方程為：y=kx-3，代入圓的方程化簡(jiǎn)，里哦也難怪根與系數(shù)的關(guān)系 求得x1+x2=，x1x2=，再由x1x2+y1y2=3，求得k的值，可得∴直線l的方程．求得圓心C到l的距離d、以及|AB|的值，再由S△AOB=|AB|?h，計(jì)算求得結(jié)果． 【題文】21.在四棱錐中，平面平面,,在銳角中,并且

26、 , （1）點(diǎn)是上的一點(diǎn)，證明：平面平面； （2）若與平面成角，當(dāng)面面時(shí)，求點(diǎn)到平面的距離. 【知識(shí)點(diǎn)】空間向量及運(yùn)算G9 【答案解析】（1）略（2） 法一（1）∵BD=2AD=8，AB=4，由勾股定理得BD⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD?面ABCD， ∴BD⊥平面PADBD?面MBD，∴平面MBD⊥平面PAD （2）如圖，∵BD⊥平面PAD，∴平面PBD⊥平面PAD，∴∠APD=60°， 做PF⊥AD于F，∴PF⊥面ABCD，PF=2， 設(shè)面PFC∩面MBD=MN，面MBD⊥平面ABCD∴面PF∥面MBD，∴PF∥MN

27、， 取DB中點(diǎn)Q，得CDFQ為平行四邊形，由平面ABCD邊長(zhǎng)得N為FC中點(diǎn)， ∴MN=PF= 法二（1）同一 （2）在平面PAD過D做AD垂線為z軸，由（1），以D為原點(diǎn)，DA，DB為x，y軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)平面PBD法向量為=(x，y，z)，設(shè)P（2，0，a）， 銳角△PAD∴a＞2， 由?=0，?=0， 解得=(-a，0，2)，=(2，0，-a)， |cos＜，＞|==，解得a=2或a=＜2（舍） 設(shè)=λ，解得M(2-4λ，4λ，2-2λ) ∵面MBD⊥平面ABCD，AD⊥BD，∴面MBD法向量為=(0，0，4)，∴?=0， 解得λ=，∴M到平面ABD的距離

28、為豎坐標(biāo)． 【思路點(diǎn)撥】法一：（1）通過證明平面MBD內(nèi)的直線BD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，證明直線與平面垂直然后證明兩個(gè)平面垂直． （2）PA與平面PBD成角60°，面MBD⊥平面ABCD時(shí)，做PF⊥AD于F，PF∥MN，然后求點(diǎn)M到平面ABCD的距離． 法二：（1）同法一； （2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可． 【題文】22.已知函數(shù)，. （1）如果函數(shù)在上是單調(diào)減函數(shù)，求的取值范圍； （2） 是否存在實(shí)數(shù)，使得方程在區(qū)間內(nèi)有且只 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根？若存在，請(qǐng)求出的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由.

29、【知識(shí)點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用B12 【答案解析（1）a≤-2（2）（1，） （1）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意； ②當(dāng)a＞0時(shí)，y=f（x）的對(duì)稱軸方程為x=- ，y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，不符合題意； ③當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y=f（x）在[1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，則- ≤1，解得a≤-2， 綜上，a的取值范圍是a≤-2； （2）把方程=f′（x）-（2a+1）整理為=ax+2-(2a+1)，即方程ax2+（1-2a）x-lnx=0， 設(shè)H（x）=ax2+（1-2a）x-lnx（x＞0），則原問題等價(jià)于函數(shù)H（x）在區(qū)間（，e）內(nèi)有且

30、只有兩個(gè)零點(diǎn)．H′（x）=2ax+（1-2a）-==，令H′（x）=0，因?yàn)閍＞0，解得x=1或x=-（舍），當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，H′（x）＜0，H（x）是減函數(shù)； 當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，H′（x）＞0，H（x）是增函數(shù)．H（x）在（，e）內(nèi)有且只有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，只需，即0