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1、2022年高考數(shù)學 中等生百日捷進提升系列 專題10 圓錐曲線（含解析） 橢圓的定義與標準方程、幾何性質(zhì) 【背一背重點知識】 1.橢圓的定義： （1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點的軌跡. （2）第二定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（00) 3. 幾何性質(zhì)： 　（1）范圍　 ?。?）中心　坐標原點 ?。?）頂點　 ?。?）對稱軸　軸，軸，長軸長，短軸長 　（5）焦點　　　　焦距　，（） ?。?）離心率　，（） 　（

2、7）準線　 ?。?）焦半徑　 ?。?）通徑　 ?。?0）焦參數(shù)　 【講一講提高技能】 1. 必備技能： （1）要能夠靈活應用圓錐曲線的兩個定義（及其“括號”內(nèi)的限制條件）解決有關問題，如果涉及到其兩焦點(或兩相異定點)，那么優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到焦點三角形的問題，也要重視第一定義和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應用，尤其注意圓錐曲線第一定義與配方法的綜合運用。 （2）橢圓的定義中應注意常數(shù)大于|F1F2|.因為當平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和等于|F1F2|時，其動點軌跡就是線段F1F2；當平面內(nèi)的動點與定點F1、F2的距離之和小于|F1F2|時，其軌跡不存

3、在． （3）求橢圓的標準方程 ①定義法：根據(jù)橢圓定義，確定的值，再結合焦點位置，直接寫出橢圓方程． ②待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于的方程組，解出，從而寫出橢圓的標準方程． （4）橢圓中有一個十分重要的△OF1B2(如圖)，它的三邊長分別為.易見，且若記，則. （5）在掌握橢圓簡單幾何性質(zhì)的基礎上，能對橢圓性質(zhì)有更多的了解，如： ①與分別為橢圓上點到焦點距離的最大值和最小值； ②橢圓的通徑(過焦點垂直于長軸的弦)長，過橢圓焦點的直線被橢圓所截得的弦長的最小值． （6）共離心率的橢圓系的方程：橢圓的離心率是，方程是大

4、于0的參數(shù)，的離心率也是 我們稱此方程為共離心率的橢圓系方程. 2. 典型例題： 例1已知橢圓C：的左右焦點為F1,F2離心率為，過F2的直線l交C與A,B兩點，若△AF1B的周長為，則C的方程為（ ） A. B. C. D. 分析：直線過橢圓的焦點，因此可聯(lián)想橢圓的定義，確定長軸長、焦距，進一步確定橢圓方程. 例2設為橢圓的兩個焦點，為橢圓上的點，且，則橢圓的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 試題分析：根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)，由得中利用三角函數(shù)的定義算出，利用勾股定理算出，進而

5、得到長軸，即可算出該橢圓的離心率． ， ， ，故選D 【練一練提升能力】 1.設，是橢圓：=1（＞＞0）的左、右焦點，為直線上一點，△是底角為的 等腰三角形，則的離心率為 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 2. 過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為 . 【答案】 【解析】設，則由兩式相減變形得：即，從而 雙曲線的定義與標準方程、幾何性質(zhì) 【背一背重點知識】 1.雙曲線的定義： （1）第一定義：平面內(nèi)到兩定點F1,F2的距離之差的絕對值為定值2a(0<2a<

6、|F1F2|)的點的軌跡. ?。?）第二定義：平面內(nèi)與定點和直線的距離之比為定值e的點的軌跡.（）. 2.圖形與方程（以一個為例） 圖形 　 　標準方程：(a>0,b>0) 3. 幾何性質(zhì)： 　（1）范圍　 ?。?）中心　坐標原點 　（3）頂點　 ?。?）對稱軸　軸，軸，實軸長，虛軸長 ?。?）焦點　　　　焦距　，（） ?。?）離心率　，（） ?。?）準線　 ?。?）漸近線： ?。?）焦半徑　 ?。?0）通徑　 　（11）焦參數(shù)　 【講一講提高技能】 1.必備技能： A．求雙曲線標準方程的方法 (1)定義法，根據(jù)題目的條件，判斷是否滿足雙曲線的定義，若

7、滿足，求出相應的a、b、c即可求得方程． (2)待定系數(shù)法，其步驟是： ①定位：確定雙曲線的焦點在哪個坐標軸上； ②設方程：根據(jù)焦點的位置設出相應的雙曲線方程； ③定值：根據(jù)題目條件確定相關的系數(shù)． B．幾種特殊情況的標準方程的設法 (1)與雙曲線共漸近線的雙曲線方程為． (2)漸近線為的雙曲線方程為． (3)與雙曲線共焦點的雙曲線方程為． (4)與橢圓有共同焦點的雙曲線方程為． C．雙曲線漸近線的斜率與離心率的互化 漸近線的斜率為或，它與離心率可通過以下關系聯(lián)系起來：. D．直線與雙曲線的位置關系問題，通常涉及雙曲線的性質(zhì)、最值、弦長、垂直、中點等問題．解決的方法通常

8、是把雙曲線方程C：與直線方程l：y＝kx＋m(m≠0)聯(lián)立消去y，可整理成的形式，當，即時，直線l與雙曲線C的漸近線平行，直線l與雙曲線C只有一個交點，也就是說“直線l與雙曲線C有一個交點”是“直線與雙曲線相切”的必要而不充分條件．當，即時，再通過研究整理出來的一元二次方程去解決有關弦長、最值等問題． 2.典型例題： 例1已知為雙曲線:的一個焦點，則點到的一條漸近線的距離為（ ） A. B. 3 C. D. 分析：要求點到的一條漸近線的距離，一是要明確漸近線的方程；二是明確的坐標，而這些當轉(zhuǎn)化得到雙曲線的標準方程后，不難得到． 例2

9、雙曲線的兩個頂點三等分焦距，則雙曲線的離心率為（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】 試題分析：因為雙曲線的兩個頂點三等分焦距，，，故選B 【練一練提升能力】 1. 已知雙曲線的一條漸近線平行于直線：，雙曲線的一個焦點在直線上，則雙曲線的方程為 （　?。? （A）　　 （B） （C）　 ?。―） 【答案】A． 【解析】由已知得在方程中令，得所求雙

10、曲線的方程為，故選A． 2.已知點是雙曲線右支上一點，分別是雙曲線的左、右焦點，為的內(nèi)心，若成立，則雙曲線的離心率為（ ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【解析】 拋物線的定義與標準方程、幾何性質(zhì) 【背一背重點知識】 1. 拋物線的定義： 平面內(nèi)與定點和直線的距離相等的點的軌跡. （e=1） 2.圖形與方程（以一個為例） 圖形 標準方程： 3. 幾何性質(zhì)： 　（1）范圍　經(jīng)， 　（2）中心　無 ?。?）頂點　 ?。?）對稱軸　軸 ?。?）焦點　　　　焦距　無

11、?。?）離心率　 　（7）準線　 ?。?）焦半徑　 ?。?）通徑　 　（10）焦參數(shù)　 【講一講提高技能】 1必備技能： A．對于拋物線的標準方程與，重點把握以下兩點： (1)是焦點到準線的距離，恒為正數(shù)； (2)方程形式有四種，要搞清方程與圖形的對應性，其規(guī)律是“對稱軸看一次項，符號決定開口方向”． B．拋物線的幾何性質(zhì)以考查焦點與準線為主．根據(jù)定義，拋物線上一點到焦點的距離和到準線的距離相等，可得以下規(guī)律： (1)拋物線上一點到焦點的距離； (2)拋物線上一點到焦點F的距離； (3)拋物線上一點到焦點F的距離； (4)拋物線上一點到焦點F的距離. C．直線與

12、拋物線的位置關系類似于前面所講直線與橢圓、雙曲線的位置關系． 特別地，已知拋物線，過其焦點的直線交拋物線于兩點，設． 則有以下結論： (1)，或 (為所在直線的傾斜角)； (2)； (3). 過拋物線焦點且與對稱軸垂直的弦稱為拋物線的通徑，拋物線的通徑長為. 2典型例題： 例1設為拋物線的焦點，過且傾斜角為的直線交于,兩點，則 （ ） （A） （B） （C） （D） 分析：要求，須將拋物線方程與直線方程聯(lián)立，確定交點坐標關系，以應用焦半徑公式. 例2直線過拋物線的焦點，且與拋物線交于、兩點，若線段的長是6

13、，的中點到軸的距離是1，則此拋物線方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題分析：直線經(jīng)過焦點，所以（為兩點的縱坐標），故．依題意中點的縱坐標為，即，解得，所以此拋物線的方程為，故選B． 【練一練提升能力】 1. 已知拋物線的頂點在坐標原點，準線方程為，直線與拋物線相交于兩點．若線段的中點為，則直線的方程為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 2. 已知點在拋物線C：的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【

14、解析】由已知得，拋物線的準線方程為，且過點，故，則，，則直線AF的斜率，選C． （一） 選擇題（12*5=60分） 1. 已知橢圓的焦點是，是橢圓上的一個動點，如果延長到，使得，那么動點的軌跡是（ ） A．圓 B．橢圓 C．雙曲線的一支 D．拋物線 【答案】A 【解析】 試題分析：根據(jù)橢圓的定義可知，，因為，所以，即，根據(jù)圓的定義，點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，故選A． 2. 雙曲線的頂點到漸進線的距離等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由于對稱性，我們

15、不妨取頂點，取漸近線為，所以由點到直線的距離公式可得. 3. 橢圓的一個焦點為，點在橢圓上．如果線段的中點在軸上，那么點的縱坐標是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 4.橢圓的一個焦點為，點在橢圓上．如果線段的中點在軸上，那么點的縱坐標是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 試題分析：設為橢圓的另一焦點，則由題易知軸，即為通徑的一半，所以＝，所以點的縱坐標為，故選A． 5. 若實數(shù)滿足，則曲線與

16、曲線的（ ） A.實半軸長相等 B.虛半軸長相等 C.離心率相等 D.焦距相等 【答案】D 6.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為Fl,F2,以為直徑的圓與雙曲線漸近線的一個交點為(3,4),則此雙曲線的方程為 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知，，∴，則①，由條件得，在上，即②，由①②得，∴雙曲線為.選C. 7.設為坐標原點，為拋物線的焦點，為拋物線上一點，若則點的坐標為（ ） （A） （B） （C） （D

17、） 【答案】B 【解析】 8.已知分別是雙曲線的左右焦點,若關于漸近線的對稱點為,且有,則此雙曲線的離心率為 （　　） A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】 如圖，作出雙曲線的兩條漸近線，兩焦點為交漸近線于，則是的中點，而又是的中點，故有∥，從而，在中，，則，于是，所以，從而． 9. 已知是橢圓和雙曲線的公共焦點，是他們的一個公共點，且,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ） A. B. C.3 D.2 【答案】A 10.設拋物線的焦點為,點在上,,若以為直徑的圓

18、過點,則的方程為（ ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】 試題分析：因為拋物線方程為，所以焦點，設，由拋物線性質(zhì)，可得，因為圓心是的中點，所以根據(jù)中點坐標公式可得，圓心橫坐標為，由已知圓半徑也為，據(jù)此可知該圓與軸相切于點，故圓心縱坐標為，則點縱坐標為，即，代入拋物線的方程得，所以或．所以拋物線的方程為或． 11.已知斜率為2的直線雙曲線交兩點，若點是的中點，則的離心率等于（ ） （A) (B) 2 (C) (D) 【答案】D 12. 已知點是拋物線的對稱軸與準線的交點，點為該拋物線的焦點，點在

19、拋物線上且滿足，當取最小值時，點恰好在以，為焦點的雙曲線上，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】C． 【解析】 試題分析：如下圖所示，，，過作準線的垂線，垂足是，由對稱性，不妨令在第一象限，∴，∴問題等價于求的最小值， 而，當且僅當時等號成立， 此時，∴，故選C． （二） 填空題（4*5=20分） 13. 在中，．若以為焦點的橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的離心率 ． 【答案】 【解析】 14. 已知橢圓的中心在原點，一個焦點與拋物線的焦點重合，一個頂點的坐標為，則此橢圓方程為

20、 ． 【答案】 【解析】此橢圓的方程是標準方程，拋物線的焦點為，說明橢圓的焦點在軸上，且，又頂點的坐標為說明，從而，故橢圓方程為． 15.已知橢圓：的離心率為，過右焦點且斜率為（）的直線與橢圓相交于兩點．若，則＝________． 【答案】 【解析】 16.在平面直角坐標系中，橢圓的標準方程為，右焦點為，右準線為，短軸的一個端點. 設原點到直線的距離為，點到的距離為. 若，則橢圓的離心率為 . 【答案】 【解析】依題意，作于，則，又，解得，而橢圓準線的方程為， ，設直線與軸交于，則點到直線的距離， ∵，∴，整理的，兩邊平方，， ∴，又，解得.