2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末測試B 新人教B版選修1-1
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1、2022年高中數(shù)學(xué) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末測試B 新人教B版選修1-1 一、選擇題(本大題共10個(gè)小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的) 1.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( ) A.x0∈R,f(x0)=0 B.函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形 C.若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則f(x)在區(qū)間(-∞,x0)單調(diào)遞減 D.若x0是f(x)的極值點(diǎn),則f′(x0)=0 2.已知曲線y=x4+ax2+1在點(diǎn)(-1,a+2)處切線的斜率為8,則a=( ) A.9 B.6 C.-9
2、 D.-6 3.已知函數(shù)f(x)=x(ln x-ax)有兩個(gè)極值點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ) A.(-∞,0) B. C.(0,1) D.(0,+∞) 4.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,x0(x0≠0)是f(x)的極大值點(diǎn),以下結(jié)論一定正確的是( ) A.x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0是f(-x)的極小值點(diǎn) C.-x0是-f(x)的極小值點(diǎn) D.-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn) 5.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2.若f(x1)=x1<x2,則關(guān)于x的方程3(f(x))2+2af(x)+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為( )
3、 A.3 B.4 C.5 D.6 6.已知f(x)=x3-6x2+9x-abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.現(xiàn)給出如下結(jié)論: ①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0. 其中正確結(jié)論的序號是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 7.已知函數(shù)y=f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一,且其導(dǎo)函數(shù)y=f′(x)的圖象如下圖所示,則該函數(shù)的圖象是( ) 8.若函數(shù)f(x)=kx-ln x在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是( ) A.(-∞
4、,-2] B.(-∞,-1] C.[2,+∞) D.[1,+∞) 9.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,則函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是( ) 10.若0<x1<x2<1,則( ) A.ex2-ex1>ln x2-ln x1 B.ex2-ex1<ln x2-ln x1 C.x2ex1>x1ex2 D.x2ex1<x1ex2 第Ⅱ卷(非選擇題 共50分) 二、填空題(本大題共5個(gè)小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上) 11.設(shè)函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)可導(dǎo),且f(ex)=x+
5、ex,則f′(1)=________. 12.曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為________. 13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若曲線y=ax2+(a,b為常數(shù))過點(diǎn)P(2,-5),且該曲線在點(diǎn)P處的切線與直線7x+2y+3=0平行,則a+b的值是__________. 14.若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是__________. 15.若函數(shù)f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱,則f(x)的最大值為__________. 三、解答題(本大題共4個(gè)小題,共25分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過
6、程或演算步驟) 16.(6分)已知a∈R,函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若a=1,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程; (2)若|a|>1,求f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值. 17.(6分)某村莊擬修建一個(gè)無蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為r米,高為h米,體積為V立方米.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān),側(cè)面的建造成本為100元/平方米,底面的建造成本為160元/平方米,該蓄水池的總建造成本為12 000π元(π為圓周率). (1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域; (2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性,并
7、確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大. 18.(6分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+ax+2,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2. (1)求a; (2)證明:當(dāng)k<1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn). 19.(7分)(1)證明:當(dāng)x∈[0,1]時(shí),x≤sin x≤x; (2)若不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 參考答案 1. 解析:若x0是f(x)的極小值點(diǎn),則y=f(x)的圖象大致如下圖所示,則在(-∞,x0)上不單調(diào),故C不正確. 答案:C 2
8、. 解析:由題意知y′|x=-1=(4x3+2ax)|x=-1=-4-2a=8, 則a=-6.故選D. 答案:D 3. 解析:f′(x)=ln x-ax+x=ln x-2ax+1,函數(shù)f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn),即ln x-2ax+1=0有兩個(gè)不同的根(在正實(shí)數(shù)集上),即函數(shù)g(x)=與函數(shù)y=2a在(0,+∞)上有兩個(gè)不同交點(diǎn).因?yàn)間′(x)=,所以g(x)在(0,1)上遞增,在(1,+∞)上遞減,所以g(x)max=g(1)=1,如圖. 若g(x)與y=2a有兩個(gè)不同交點(diǎn),須0<2a<1. 即0<a<,故選B. 答案:B 4. 解析:由函數(shù)極大值的概念知A錯(cuò)誤;因?yàn)楹瘮?shù)f(x)
9、的圖象與f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱,所以-x0是f(-x)的極大值點(diǎn).B選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)閒(x)的圖象與-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱,所以x0是-f(x)的極小值點(diǎn).故C選項(xiàng)錯(cuò)誤;因?yàn)閒(x)的圖象與-f(-x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱,所以-x0是-f(-x)的極小值點(diǎn).故D正確. 答案:D 5. 解析:由f′(x)=3x2+2ax+b=0,得 x=x1或x=x2, 即3(f(x))2+2af(x)+b=0的根為f(x)=x1或f(x)=x2的解,由題可知f(x)的草圖為: 由數(shù)形結(jié)合及x1<x2可知滿足f(x)=x1的解有2個(gè),滿足f(x)=x2的解僅有1個(gè),因此3(f(x)
10、)2+2af(x)+b=0的不同實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)為3. 答案:A 6. 解析:設(shè)g(x)=x3-6x2+9x=0,則x1=0,x2=x3=3,其圖象如下圖: 要使f(x)=x3-6x2+9x-abc有3個(gè)零點(diǎn),需將g(x)的圖象向下平移,如圖所示: 又f′(x)=3x2-12x+9=0時(shí),x1=1,x2=3, 即得f(1)是極大值,f(3)是極小值. 故由圖象可知f(0)·f(1)<0,f(0)·f(3)>0. 答案:C 7. 解析:由導(dǎo)函數(shù)圖象知,函數(shù)f(x)在[-1,1]上為增函數(shù).當(dāng)x∈(-1,0)時(shí)f′(x)由小到大,則f(x)圖象的增長趨勢由緩到快,當(dāng)x∈(0,1)
11、時(shí)f′(x)由大到小,則f(x)的圖象增長趨勢由快到緩,故選B. 答案:B 8. 解析:由f′(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增, 則f′(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立, 即k≥在x∈(1,+∞)上恒成立. 又當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),0<<1,故k≥1.故選D. 答案:D 9. 解析:由題意可得f′(-2)=0,而且當(dāng)x∈(-∞,-2)時(shí),f′(x)<0,此時(shí)xf′(x)>0;當(dāng)x∈(-2,+∞)時(shí),f′(x)>0,此時(shí)若x∈(-2,0),xf′(x)<0,若x∈(0,+∞),xf′(x)>0,所以函數(shù)y=xf′(x)的圖象可能是C. 答案:C 10. 解析
12、:設(shè)f(x)=ex-ln x,則f′(x)=.當(dāng)x>0且x趨近于0時(shí),x·ex-1<0; 當(dāng)x=1時(shí),x·ex-1>0,因此在(0,1)上必然存在x1≠x2,使得f(x1)=f(x2),因此A,B不正確;設(shè)g(x)=,當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)=<0,所以g(x)在(0,1)上為減函數(shù).所以g(x1)>g(x2),即>,所以x2ex1>x1ex2.故選C. 答案:C 11. 解析:令ex=t,則x=ln t,所以f(t)=ln t+t, 所以f′(t)=+1,所以f′(1)=2. 答案:2 12. 解析:∵y′=-5ex,∴所求曲線的切線斜率k=y(tǒng)′=-5e0=-5,∴切線方程為y
13、-(-2)=-5(x-0),即5x+y+2=0. 答案:5x+y+2=0 13. 解析:由曲線y=ax2+過點(diǎn)P(2,-5),得4a+=-5.① 又y′=2ax-,所以當(dāng)x=2時(shí),4a-=-,② 由①②得所以a+b=-3. 答案:-3 14. 解析:設(shè)切點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,y0), 由y=xln x,得y′=ln x+1, 則切線的斜率k=ln x0+1. ∵由已知可得ln x0+1=2.∴x0=e. ∴y0=x0ln x0=e.∴切點(diǎn)的坐標(biāo)為(e,e). 答案:(e,e) 15. 解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=-2對稱, 所以f(x)滿足f(0)=f(-4
14、),f(-1)=f(-3), 即解得 所以f(x)=-x4-8x3-14x2+8x+15. 由f′(x)=-4x3-24x2-28x+8=0, 得x1=-2-,x2=-2,x3=-2+. 易知,f(x)在(-∞,-2-)上為增函數(shù),在(-2-,-2)上為減函數(shù),在(-2,-2+)上為增函數(shù),在(-2+,+∞)上為減函數(shù). 所以f(-2-)=[1-(-2-)2][(-2-)2+8(-2-)+15] =(-8-)(8-) =80-64=16. f(-2)=[1-(-2)2][(-2)2+8×(-2)+15] =-3(4-16+15) =-9. f(-2+)=[1-(-2+)
15、2][(-2+)2+8(-2+)+15] =(-8+)(8+) =80-64=16. 故f(x)的最大值為16. 答案:16 16. 解:(1)當(dāng)a=1時(shí),f′(x)=6x2-12x+6, 所以f′(2)=6. 又因?yàn)閒(2)=4,所以切線方程為y=6x-8. (2)記g(a)為f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值. f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a=6(x-1)(x-a). 令f′(x)=0,得到x1=1,x2=a. 當(dāng)a>1時(shí), x 0 (0,1) 1 (1,a) a (a,2a) 2a f′(x) + 0 - 0 +
16、 f(x) 0 單調(diào) 遞增 極大值 3a-1 單調(diào) 遞減 極小值 a2(3-a) 單調(diào) 遞增 4a3 比較f(0)=0和f(a)=a2(3-a)的大小可得g(a)= 當(dāng)a<-1時(shí), x 0 (0,1) 1 (1,-2a) -2a f′(x) - 0 + f(x) 0 單調(diào)遞減 極小值 3a-1 單調(diào)遞增 -28a3-24a2 得g(a)=3a-1. 綜上所述,f(x)在閉區(qū)間[0,2|a|]上的最小值為g(a)= 17. 解:(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100·2πrh=200πrh元,底面的總成本為160
17、πr2元,所以蓄水池的總成本為(200πrh+160πr2)元. 又據(jù)題意200πrh+160πr2=12 000π, 所以h=(300-4r2), 從而V(r)=πr2h=(300r-4r3). 因r>0,又由h>0可得r<, 故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0, ). (2)因V(r)=(300r-4r3), 故V′(r)=(300-12r2). 令V′(r)=0,解得r1=5,r2=-5(因r2=-5不在定義域內(nèi),舍去). 當(dāng)r∈(0,5)時(shí),V′(r)>0,故V(r)在(0,5)上為增函數(shù); 當(dāng)r∈(5, )時(shí),V′(r)<0,故V(r)在(5, )上為減函數(shù). 由此可
18、知,V(r)在r=5處取得最大值,此時(shí)h=8. 即當(dāng)r=5,h=8時(shí),該蓄水池的體積最大. 18. 分析:(1)由條件曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2,這就說明要表示出切線方程,需要求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù),求出f′(0),從而得到切線斜率,表示出切線方程,把點(diǎn)(-2,0)代入可得關(guān)于a的方程,求得a的值.對于(2),欲證曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn),可構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)-kx+2,只需證明函數(shù)g(x)與x軸有唯一的交點(diǎn),這就需要利用函數(shù)的單調(diào)性研究g(x)的圖象來解決. 解:(1)f′(x)=3x2-6x+a,f′(0)=a, 曲線
19、y=f(x)在點(diǎn)(0,2)處的切線方程為y=ax+2, 由題設(shè)得-=-2,所以a=1. (2)由(1)知,f(x)=x3-3x2+x+2, 設(shè)g(x)=f(x)-kx+2=x3-3x2+(1-k)x+4, 由題設(shè)知1-k>0. 當(dāng)x≤0時(shí),g′(x)=3x2-6x+1-k>0,g(x)單調(diào)遞增, g(-1)=k-1<0,g(0)=4, 所以g(x)=0在(-∞,0]有唯一實(shí)根. 當(dāng)x>0時(shí),令h(x)=x3-3x2+4, 則g(x)=h(x)+(1-k)x>h(x). h′(x)=3x2-6x=3x(x-2),h(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增,所以g(x
20、)>h(x)≥h(2)=0, 所以g(x)=0在(0,+∞)沒有實(shí)根. 綜上,g(x)=0在R有唯一實(shí)根,即曲線y=f(x)與直線y=kx-2只有一個(gè)交點(diǎn). 19. (1)證明:記F(x)=sin x-x,則F′(x)=cos x-. 當(dāng)x∈時(shí),F(xiàn)′(x)>0,F(xiàn)(x)在上是增函數(shù); 當(dāng)x∈時(shí),F(xiàn)′(x)<0,F(xiàn)(x)在上是減函數(shù). 又F(0)=0,F(xiàn)(1)>0,所以當(dāng)x∈[0,1]時(shí),F(xiàn)(x)≥0,即sin x≥x. 記H(x)=sin x-x,則當(dāng)x∈(0,1)時(shí),H′(x)=cos x-1<0,所以,H(x)在[0,1]上是減函數(shù),則H(x)≤H(0)=0,即 sin x
21、≤x. 綜上,x≤sin x≤x,x∈[0,1]. (2)解法一:因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí), ax+x2++2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2 ≤(a+2)x+x2+-4(x+2)2 =(a+2)x. 所以,當(dāng)a≤-2時(shí), 不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立. 下面證明,當(dāng)a>-2時(shí), 不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]不恒成立. 因?yàn)楫?dāng)x∈[0,1]時(shí), ax+x2++2(x+2)cos x-4 =(a+2)x+x2+-4(x+2)sin2 ≥(a+2)x+x2+-4
22、(x+2)2 =(a+2)x-x2- ≥(a+2)x-x2 =-x. 所以存在x0∈(0,1) 滿足ax0+++2(x0+2)cos x0-4>0, 即當(dāng)a>-2時(shí), 不等式ax+x2++2(x+2)cos x-4≤0對x∈[0,1]不恒成立. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]. 解法二:記f(x)=ax+x2++2(x+2)cos x-4, 則f′(x)=a+2x++2cos x-2(x+2)sin x. 記G(x)=f′(x), 則G′(x)=2+3x-4sin x-2(x+2)cos x. 當(dāng)x∈(0,1)時(shí),cos x>, 因此G′(x)<2+3x-4·
23、x-(x+2) =(2-)x<0. 于是f′(x)在[0,1]上是減函數(shù),因此,當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)<f′(0)=a+2,故當(dāng)a≤-2時(shí),f′(x)<0,從而f(x)在[0,1]上是減函數(shù),所以f(x)≤f(0)=0,即當(dāng)a≤-2時(shí),不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]恒成立. 下面證明,當(dāng)a>-2時(shí), 不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]不恒成立. 由于f′(x)在[0,1]上是減函數(shù),且f′(0)=a+2>0,f′(1)=a++2cos 1-6sin 1. 當(dāng)a≥6sin 1-2cos 1-時(shí),f′(1)≥0,所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f′(x)>0,因此f(x)在[0,1]上是增函數(shù),故f(1)>f(0)=0; 當(dāng)-2<a<6sin 1-2cos 1-時(shí),f′(1)<0, 又f′(0)>0,故存在x0∈(0,1)使f′(x0)=0, 則當(dāng)0<x<x0時(shí),f′(x)>f′(x0)=0. 所以f(x)在[0,x0]上是增函數(shù),所以當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),f(x)>f(0)=0. 所以,當(dāng)a>-2時(shí), 不等式ax+x2++2(x+2)cos x≤4對x∈[0,1]不恒成立. 綜上,實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2].
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