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1、中考數(shù)學(xué) 考前小題狂做 專題13 二次函數(shù)（含解析） 1. 如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖像與x軸正半軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，對稱軸為直線x=2，且OA=OC. 則下列結(jié)論： ①abc＞0 ②9a+3b+c＜0 ③c＞－1 ④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一個根為－ 其中正確的結(jié)論個數(shù)有（ ） A. 1個 B. 2個 C.3個 D. 4個 2. 已知二次函數(shù)y=x2+bx+c與x軸只有一個交點，且圖象過A（x1，m）、B（x1+n，m）兩點，則m、n的關(guān)系為（　　） A．m=n B

2、．m=n C．m=n2D．m=n2 3. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，反比例函數(shù)y=與正比例函數(shù)y=bx在同一坐標(biāo)系內(nèi)的大致圖象是（　?。? A． B． C． D． 4. 二次函數(shù)y=2x2﹣3的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說法，正確的是（　?。? A．拋物線開口向下 B．拋物線經(jīng)過點（2，3） C．拋物線的對稱軸是直線x=1 D．拋物線與x軸有兩個交點 5. 如圖，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于點A（﹣1，0），與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間（不包括這兩點），對稱軸為直線x=1．下列結(jié)論： ①abc＞0 ②

3、4a+2b+c＞0 ③4ac﹣b2＜8a ④＜a＜ ⑤b＞c． 其中含所有正確結(jié)論的選項是（　?。? A．①③ B．①③④ C．②④⑤ D．①③④⑤ 6. 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，并且關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根，下列結(jié)論： ①b2﹣4ac＜0；②abc＞0；③a﹣b+c＜0；④m＞﹣2， 其中，正確的個數(shù)有（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 7. 二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)y=bx﹣c在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致是（　?。? A． B． C

4、． D． 8. 一次函數(shù)y=ax+b和反比例函數(shù)y=在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象大致為（　?。? A．B．C．D． 9. 如圖是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的部分圖象，其頂點坐標(biāo)為（1，n），且與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間．則下列結(jié)論： ①a﹣b+c＞0； ②3a+b=0； ③b2=4a（c﹣n）； ④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根． 其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 10. 對于二次函數(shù),下列說法正確的是（ ） A、當(dāng)x>0，y隨

5、x的增大而增大 B、當(dāng)x=2時，y有最大值－3 C、圖像的頂點坐標(biāo)為（－2，－7） D、圖像與x軸有兩個交點 參考答案 1.【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合思想． 【分析】①由拋物線開口方向得a＜0，由拋物線的對稱軸位置可得b＞0，由拋物線與y軸的交點位置可得c＜0，則可對①進行判斷；②當(dāng)x=3時，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0，則可對②進行判斷；③ 【解答】①解：∵拋物線開口向下， ∴a＜0， ∵拋物線的對稱軸在y軸的右側(cè)， ∴b＞0， ∵拋物線與y軸的交點在x軸下方， ∴c＜0， ∴abc＞0， ∴

6、①正確； ②當(dāng)x=3時，y=ax2+bx+c=9a+3b+c＞0， ∴②9a+3b+c＜0錯誤； ③∵C（0，c），OA=OC， ∴A（﹣c，0）， 由圖知，A在1的左邊 ∴﹣c＜1 ，即c＞－1 ∴③正確； ④把－代入方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，得 ac﹣b+1=0， 把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0， 即ac﹣b+1=0， ∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)有一個根為－. 綜上，正確的答案為：C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c

7、（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右．（簡稱：左同右異）；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點：拋物線與y軸交于（0，c）；拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． 2.【考點】拋物線與x軸的交點． 【分析】由“拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點”推知

8、x=﹣時，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c，其次，根據(jù)拋物線對稱軸的定義知點A、B關(guān)于對稱軸對稱，故A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）；最后，根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵拋物線y=x2+bx+c與x軸只有一個交點， ∴當(dāng)x=﹣時，y=0．且b2﹣4c=0，即b2=4c． 又∵點A（x1，m），B（x1+n，m）， ∴點A、B關(guān)于直線x=﹣對稱， ∴A（﹣﹣，m），B（﹣+，m）， 將A點坐標(biāo)代入拋物線解析式，得m=（﹣﹣）2+（﹣﹣）b+c，即m=﹣+c， ∵b2=4c， ∴m=n2， 故選D． 3.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)；正比例函數(shù)的圖象

9、；反比例函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，可得a、b的值，根據(jù)a、b的值，可得相應(yīng)的函數(shù)圖象． 【解答】解：由y=ax2+bx+c的圖象開口向下，得a＜0． 由圖象，得﹣＞0． 由不等式的性質(zhì)，得b＞0． a＜0，y=圖象位于二四象限， b＞0，y=bx圖象位于一三象限， 故選：C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸得出a、b的值是解題關(guān)鍵． 4.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)對A、C進行判斷；根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征對B進行判斷；利用方程2x2﹣3=0解的情況對D進行判斷． 【解答】解：A、

10、a=2，則拋物線y=2x2﹣3的開口向上，所以A選項錯誤； B、當(dāng)x=2時，y=2×4﹣3=5，則拋物線不經(jīng)過點（2，3），所以B選項錯誤； C、拋物線的對稱軸為直線x=0，所以C選項錯誤； D、當(dāng)y=0時，2x2﹣3=0，此方程有兩個不相等的實數(shù)解，所以D選項正確． 故選D． 5.【考點】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)對稱軸為直線x=1及圖象開口向下可判斷出a、b、c的符號，從而判斷①；根據(jù)對稱軸得到函數(shù)圖象經(jīng)過（3，0），則得②的判斷；根據(jù)圖象經(jīng)過（﹣1，0）可得到a、b、c之間的關(guān)系，從而對②⑤作判斷；從圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間可以判斷c的大小得出④

11、的正誤． 【解答】解：①∵函數(shù)開口方向向上， ∴a＞0； ∵對稱軸在原點左側(cè) ∴ab異號， ∵拋物線與y軸交點在y軸負半軸， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正確； ②∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0），對稱軸為直線x=﹣1， ∴圖象與x軸的另一個交點為（3，0）， ∴當(dāng)x=2時，y＜0， ∴4a+2b+c＜0， 故②錯誤； ③∵圖象與x軸交于點A（﹣1，0）， ∴當(dāng)x=﹣1時，y=（﹣1）2a+b×（﹣1）+c=0， ∴a﹣b+c=0，即a=b﹣c，c=b﹣a， ∵對稱軸為直線x=1 ∴=1，即b=﹣2a， ∴c=b﹣a=（﹣2a）﹣a=﹣3a， ∴4a

12、c﹣b2=4?a?（﹣3a）﹣（﹣2a）2=﹣16a2＜0 ∵8a＞0 ∴4ac﹣b2＜8a 故③正確 ④∵圖象與y軸的交點B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之間， ∴﹣2＜c＜﹣1 ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴＞a＞； 故④正確 ⑤∵a＞0， ∴b﹣c＞0，即b＞c； 故⑤正確； 故選：D． 6.【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【分析】直接利用拋物線與x軸交點個數(shù)以及拋物線與方程之間的關(guān)系、函數(shù)圖象與各系數(shù)之間關(guān)系分析得出答案． 【解答】解：如圖所示：圖象與x軸有兩個交點，則b2﹣4ac＞0，故①錯誤； ∵圖象開口向上，∴a＞0， ∵對稱軸在y軸右側(cè)， ∴a

13、，b異號， ∴b＜0， ∵圖象與y軸交于x軸下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②正確； 當(dāng)x=﹣1時，a﹣b+c＞0，故此選項錯誤； ∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點坐標(biāo)縱坐標(biāo)為：﹣2， ∴關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0有兩個不相等的實數(shù)根，則m＞﹣2， 故④正確． 故選：B． 　 7. 【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象找出a、b、c的正負，再結(jié)合反比例函數(shù)、一次函數(shù)系數(shù)與圖象的關(guān)系即可得出結(jié)論． 【解答】解：觀察二次函數(shù)圖象可知： 開口向上，a＞0；對稱軸大于0，﹣＞0，b＜0；二次函數(shù)

14、圖象與y軸交點在y軸的正半軸，c＞0． ∵反比例函數(shù)中k=﹣a＜0， ∴反比例函數(shù)圖象在第二、四象限內(nèi)； ∵一次函數(shù)y=bx﹣c中，b＜0，﹣c＜0， ∴一次函數(shù)圖象經(jīng)過第二、三、四象限． 故選C． 8.【考點】反比例函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象；二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)先確定出a、b的取值范圍，然后根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定出c的取值范圍，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可做出判斷． 【解答】解：∵一次函數(shù)y=ax+b經(jīng)過一、二、四象限， ∴a＜0，b＞0， ∵反比例函數(shù)y=的圖象在一、三象限， ∴c＞0， ∵a＜0， ∴二次函數(shù)y=ax2+bx+c的

15、圖象的開口向下， ∵b＞0， ∴＞0， ∵c＞0， ∴與y軸的正半軸相交， 故選C． 【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)、一次函數(shù)和反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 9.【考點】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】數(shù)形結(jié)合． 【分析】利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣2，0）和（﹣1，0）之間，則當(dāng)x=﹣1時，y＞0，于是可對①進行判斷；利用拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，即b=﹣2a，則可對②進行判斷；利用拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為n得到=n，則可對③進行判斷；由于拋物線與直線y=n有一個公共點，則拋物線與直線y=n﹣1有2個公共點，于是可對④進行

16、判斷． 【解答】解：∵拋物線與x軸的一個交點在點（3，0）和（4，0）之間，而拋物線的對稱軸為直線x=1， ∴拋物線與x軸的另一個交點在點（﹣2，0）和（﹣1，0）之間． ∴當(dāng)x=﹣1時，y＞0， 即a﹣b+c＞0，所以①正確； ∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=1，即b=﹣2a， ∴3a+b=3a﹣2a=a，所以②錯誤； ∵拋物線的頂點坐標(biāo)為（1，n）， ∴=n， ∴b2=4ac﹣4an=4a（c﹣n），所以③正確； ∵拋物線與直線y=n有一個公共點， ∴拋物線與直線y=n﹣1有2個公共點， ∴一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有兩個不相等的實數(shù)根，所以④正確． 故選

17、C． 【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小：當(dāng)a＞0時，拋物線向上開口；當(dāng)a＜0時，拋物線向下開口；一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置：當(dāng)a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左； 當(dāng)a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右；常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點位置：拋物線與y軸交于（0，c）：拋物線與x軸交點個數(shù)由△決定：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點． 10.［難易］ 中等 ［考點］ 二次函數(shù)的性質(zhì) ［解析］ 二次函數(shù),所以二次函數(shù)的開口向下，當(dāng)時，取得最大值，最大值為－3,所以B正確。 ［參考答案］ B