《2018-2019學年高中數學 第四講 用數學歸納法證明不等式 二 用數學歸納法證明不等式舉例學案 新人教A版選修4-5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數學 第四講 用數學歸納法證明不等式 二 用數學歸納法證明不等式舉例學案 新人教A版選修4-5（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、二　用數學歸納法證明不等式舉例 　1.掌握用數學歸納法證明不等式的常用方法與技巧．　2.理解貝努利不等式． 3．能綜合運用數學歸納法與數列、三角函數等知識進行不等式的證明． ,　　　　　　　　[學生用書P57]) 1．數學歸納法證明不等式 (1)用數學歸納法證明一個與正整數有關的不等式的步驟 ①證明：當n取第一個值n0時結論成立； ②假設當n＝k(k∈N＋，且k≥n0)時結論成立，證明當n＝k＋1時結論也成立． 由①②可知命題對從n0開始的所有正整數n都成立． (2)用數學歸納法證明不等式的重點 用數學歸納法證明不等式的重點在第二步(同時也是難點所在)，即假設f(k

2、)>g(k)成立，證明f(k＋1)>g(k＋1)成立． 2．貝努利不等式 (1)定義：如果x是實數，且x>－1，x≠0，n為大于1的自然數，那么有(1＋x)n>1＋nx． (2)貝努利不等式的一般形式 ①當α是實數，并且滿足α>1或α<0時，有(1＋x)α≥1＋αx(x>－1)； ②當α是實數，并且滿足0<α<1時，有(1＋x)α≤1＋αx(x>－1)． 1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)用數學歸納法證明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N＋)”，第一步的驗證為21＋1≥12＋1＋2.(　　) (2)設x>－1，且x≠0，n為大于1的自然數，則(1＋x)n<1＋

3、nx.(　　) (3)用數學歸納法證明不等式“＋＋＋…＋>”，當n＝1時，不等式左邊的項為＋＋.(　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)√ 2．用數學歸納法證明不等式＋＋…＋>的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時不等式左邊應(　　) A．增加了一項 B．增加了兩項＋ C．增加了B中兩項但減少了一項 D．以上各種情況均不對 答案：C 3．用數學歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)時第一步需要證明(　　) A．1<2－ B．1＋<2－ C．1＋＋<2－ D．1＋＋＋<2－ 答案：C 4．用數學歸納法證明“1＋＋＋…＋1)”時，由n＝

4、k(k>1)不等式成立，推證n＝k＋1時，左邊應增加的項數是________． 解析：左邊的特點：分母逐項增加1，末項為； 由n＝k，末項為到n＝k＋1，末項為＝， 所以應增加的項數為2k. 答案：2k 　用數學歸納法證明有關函數中的不等關系[學生用書P58] 　已知f(x)＝.對于n∈N＋，試比較f()與的大小并說明理由． 【解】　據題意f(x)＝ ＝＝1－， 所以f()＝1－， 又＝1－， 所以要比較f()與的大小，只需比較2n與n2的大小即可， 當n＝1時，21＝2>12＝1， 當n＝2時，22＝4＝22， 當n＝3時，23＝8<32＝9， 當n＝4時，

5、24＝16＝42， 當n＝5時，25＝32>52＝25， 當n＝6時，26＝64>62＝36. 故猜測當n≥5(n∈N＋)時， 2n>n2，下面用數學歸納法加以證明． (1)當n＝5時，命題顯然成立． (2)假設n＝k(k≥5，且k∈N＋)時，不等式成立． 即2k>k2(k≥5)，則當n＝k＋1時， 2k＋1＝2·2k>2·k2 ＝k2＋k2＋2k＋1－2k－1 ＝(k＋1)2＋(k－1)2－2>(k＋1)2，((k－1)2>2) 由(1)(2)可知，對一切n≥5，n∈N＋，2n>n2成立． 綜上所述，當n＝1或n≥5時， f()>； 當n＝2或4時，f()＝；

6、當n＝3時，f()<. 利用數學歸納法解決比較大小問題的方法 利用數學歸納法比較大小，關鍵是先用不完全歸納法歸納出兩個量的大小關系，猜測出證明的方向，再用數學歸納法證明結論成立．　 　已知函數f(x)＝x3－x，數列{an}滿足條件：a1≥1，an＋1≥f′(an＋1)．試比較＋＋＋…＋與1的大小，并說明理由． 解：＋＋＋…＋<1. 理由如下： 因為f′(x)＝x2－1，an＋1≥f′(an＋1)， 所以an＋1≥(an＋1)2－1. 因為函數g(x)＝(x＋1)2－1＝x2＋2x在區(qū)間[－1，＋∞)上單調遞增， 所以由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，

7、 進而得a3≥(a2＋1)2－1≥24－1>23－1， 由此猜想：an≥2n－1. 下面用數學歸納法證明這個猜想： ①當n＝1時，a1≥21－1＝1，猜想成立； ②假設當n＝k(k≥1，k∈N＋)時猜想成立， 即ak≥2k－1，則當n＝k＋1時， 由g(x)＝(x＋1)2－1在區(qū)間[－1，＋∞)上單調遞增知， ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， 即n＝k＋1時，猜想也成立． 由①，②知，對任意n∈N*，都有an≥2n－1， 即1＋an≥2n. 所以≤. 所以＋＋＋…＋≤＋＋＋…＋＝1－<1. 　用數學歸納法證明數列不等式[學生用書P59] 　已

8、知{an}是等差數列，首項a1＝3，前n項和為Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20項和T20＝330.數列{bn}是公比為q的等比數列，前n項和為Wn，且b1＝2，q3＝a9. (1)求數列{an}、{bn}的通項公式； (2)證明：(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N＋)． 【解】　(1)設等差數列{an}的公差為d， 因為cn＝(－1)nSn， 所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4－…＋S20＝330. 則a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330. 則10(3＋d)＋×2d＝330， 解得d＝3， 所以an＝3＋3(n－1)＝3n， 所以q3＝a9＝2

9、7，q＝3， 所以bn＝2×3n－1. (2)證明：由(1)知，Wn＝＝3n－1， 要證(3n＋1)Wn≥nWn＋1， 只需證(3n＋1)(3n－1)≥n(3n＋1－1)， 即證3n≥2n＋1. 當n＝1時，3n＝2n＋1. 下面用數學歸納法證明：當n≥2時，3n>2n＋1. ①當n＝2時，左邊＝9，右邊＝5，左邊>右邊，不等式成立． ②假設n＝k(k≥2，k∈N＋)時，3k>2k＋1， 則n＝k＋1時， 3k＋1＝3×3k>3(2k＋1)＝6k＋3>2(k＋1)＋1， 所以n＝k＋1時不等式成立． 根據①②可知：當n≥2時，3n>2n＋1. 綜上可知，3n≥2n＋

10、1對于n∈N*成立， 所以(3n＋1)Wn≥nWn＋1(n∈N*)． 利用數學歸納法證明數列型不等式的關鍵是由n＝k到n＝k＋1的變形．為了滿足題目的要求，常常要采用“放”與“縮”等手段，但是放縮要有度，這是一個難點，解決這個難點一是要仔細觀察題目結構，二是要用分析法找到放縮的結果，才能順利地證題．　 　已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足a1＝，an＋2SnSn－1＝0(n≥2)． (1)判斷是否為等差數列，并證明你的結論； (2)證明S＋S＋…＋S≤－(n≥1且n∈N＋)． 解：(1)是等差數列，證明如下： S1＝a1＝，所以＝2. 當n≥2時，an＝Sn－Sn－

11、1， 即Sn－Sn－1＝－2SnSn－1. 所以－＝2. 故是以2為首項，2為公差的等差數列． (2)證明：①當n＝1時，S＝＝－， 不等式成立． ②假設n＝k(k≥1，k∈N＋)時，不等式成立， 即S＋S＋…＋S≤－成立， 則當n＝k＋1時， S＋S＋…＋S＋S≤－＋ ＝－ ＝－· <－·＝－. 即當n＝k＋1時，不等式成立． 由①，②可知對任意n∈N＋不等式都成立． 1．關于用數學歸納法證明不等式的四點注意 (1)在從n＝k到n＝k＋1的過程中，應分析清楚不等式兩端(一般是左端)項數的變化，也就是要認清不等式的結構特征． (2)瞄準當n＝k＋1時的

12、遞推目標，從中分離出n＝k時的相應式子，借助不等式性質用上歸納假設． (3)明確用上歸納假設后要證明的不等式應是怎樣的，然后通過運用放縮法、分析法、比較法、綜合法等方法進行證明． (4)有些不等式先用分析法轉化為另一個較為簡單的不等式然后再用數學歸納法證明． 2．關于貝努利不等式 (1)(1＋x)n>1＋nx成立的兩個條件：①n∈N＋且n≥2；②x的取值范圍是x>－1且x≠0. 于是有命題：當n∈N＋且n≥2時不等式(1＋x)n>1＋nx對一切x∈(－1，0)∪(0，＋∞)恒成立． (2)常用特例：①當x>－1且x≠0時，(1＋x)2>1＋2x； ②當x>－1且x≠0時，(1＋x

13、)3>1＋3x. 【規(guī)范解答】　歸納——猜想——證明 　(本題滿分12分)設f(n)＝nn＋1，g(n)＝(n＋1)n，n∈N＋. (1)當n＝1，2，3，4時，比較f(n)與g(n)的大?。? (2)根據(1)的結果猜測一個一般性結論，并加以證明． 【解】　(1)當n＝1時，nn＋1＝1，(n＋1)n＝2，此時，nn＋1<(n＋1)n， 當n＝2時，nn＋1＝8，(n＋1)n＝9，此時，nn＋1<(n＋1)n， 當n＝3時，nn＋1＝81，(n＋1)n＝64，此時，nn＋1>(n＋1)n， 當n＝4時，nn＋1＝1 024，(n＋1)n＝625，此時，nn＋1>(n＋1)n.(

14、2分) (2)根據上述結論，我們猜想：當n≥3時，nn＋1>(n＋1)n(n∈N*)恒成立．(4分) 證明如下： ①當n＝3時，nn＋1＝34＝81>(n＋1)n＝43＝64， 即nn＋1>(n＋1)n成立．(5分) ②假設當n＝k(k≥3，k∈N＋)時，kk＋1>(k＋1)k成立，即>1，(6分) 則當n＝k＋1時，＝(k＋1)·>(k＋1)·＝>1，(10分) 即(k＋1)k＋2>(k＋2)k＋1成立，即當n＝k＋1時不等式也成立，(11分) 所以當n≥3時，nn＋1>(n＋1)n(n∈N＋)恒成立．(12分) 歸納—猜想—證明的思想方法 數學歸納法作為一種重要的證

15、明方法，常常體現在“歸納—猜想—證明”這一基本思想方法中．一方面可用數學歸納法證明已有的與自然數有關的結論；更重要的是，要用不完全歸納法去發(fā)現某些結論、規(guī)律并用數學歸納法證明其正確性，形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思想方法． 1．用數學歸納法證明： 1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N)． 證明：①當n＝2時，1＋＝<2－＝，不等式成立． ②假設當n＝k(k≥2，且k∈N＋)時不等式成立， 即1＋＋＋…＋<2－， 當n＝k＋1時， 1＋＋＋…＋＋ <2－＋<2－＋ ＝2－＋－ ＝2－，即當n＝k＋1時，不等式也成立． 由①②知原不等式在n≥2且n∈N時均成立． 2．已知m，n為正整數，對于n≥6，已知<，利用貝努利不等式求證：<，m＝1，2，…，n. 證明：當n≥6，m≤n時，由貝努利不等式得≥1－>0， 于是≤＝<，m＝1，2，…，n. 9