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1、2022年高考數(shù)學(xué) 中等生百日捷進(jìn)提升系列(綜合提升篇)專題01 三角解答題(含解析)
三角函數(shù)與三角恒等變換綜合題
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.熟悉誘導(dǎo)公式、同角關(guān)系式、兩角和與差、倍角公式是化簡(jiǎn)求值的關(guān)鍵
2.熟悉三角函數(shù)的圖像是解決有關(guān)性質(zhì)問題的前提
3.切化弦、變角處理是三角化簡(jiǎn)與求值的常用手段
【講一講提高技能】
1.必備技能:高考對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查往往滲透在研究三角函數(shù)的性質(zhì)之中.常需要利用這些公式,先把函數(shù)解析式化為的形式,再進(jìn)一步討論其定義域、值域、最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性和對(duì)稱性等性質(zhì).
2.典型例題:
例1已知函數(shù)滿足
2、,且圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為.
(1)求與的值;
(2)若,,求的值.
分析:(1)由可解得,因此根據(jù)輔助角公式可得,再由圖象的相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為可推出的周期為,故;(2)由(1)及條件,從而可得,再由可得,從而,因此,考慮到,因此用兩角和的余弦公式,即可求得.
【解析】(1)∵,∴,∴, 由相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為,
∴,∴,又∵,∴;
(2)∵,∴, 又∵,∴,∴,即,∴.
例2已知函數(shù)的最大值為.(12分)
(Ⅰ)求常數(shù)的值;
(Ⅱ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅲ)若將的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
分析:(1)化簡(jiǎn)
3、,由最大值為,由三角函數(shù)的有界性可求;(2)由正弦函數(shù)的單調(diào)性,解不等式即可;(3)由題意的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象可得的解析式,根據(jù),可求在在區(qū)間上的最大值和最小值.
【解析】
(3)由題意將的圖象向左平移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象,,
當(dāng)時(shí),,取最大值,當(dāng)時(shí),,取最小值-3.
【練一練提升能力】
1.(本小題滿分12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在單位圓上,,且.
(1)若,求的值;
(2)若也是單位圓上的點(diǎn),且.過點(diǎn)分別做軸的垂線,垂足為,記的面積為,的面積為.設(shè),求函數(shù)的最大值.
【答案】(1);(2).
【解析】
(2)由,
4、得.
由定義得,,又,于是,
∴ =
===
,即.
2. 已知函數(shù),.
(1)求的最小正周期;
(2)求在上的最小值和最大值.
【解析】
三角函數(shù)與平面向量綜合題
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.向量是具有大小和方向的量,具有“數(shù)”和“形”的特點(diǎn),向量是數(shù)形結(jié)合的橋梁,在處理向量問題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
2.向量的坐標(biāo)表示實(shí)際上是向量的代數(shù)形式,引入坐標(biāo)表示,可以實(shí)現(xiàn)與三角函數(shù)無縫對(duì)接.
3.兩向量平行與垂直關(guān)系、向量數(shù)量積、向量的模等知識(shí)點(diǎn)是與三角函數(shù)知識(shí)的交匯點(diǎn)
【講一講提高技能】
1必備技能:等價(jià)轉(zhuǎn)化能力,主要是將向量形式的條件等價(jià)轉(zhuǎn)化為三
5、角函數(shù)的等量關(guān)系,再利用三角恒等變換實(shí)現(xiàn)解決問題目的,如
2典型例題:
例1已知向量,,函數(shù),.
(1)求函數(shù)的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo);
(2)將函數(shù)圖像向下平移個(gè)單位,再向左平移個(gè)單位得函數(shù)的圖像,試寫出的解析式并作出它在上的圖像.
【答案】(1);(2).
【解析】
4分
由于得:,所以.
所以的圖像的對(duì)稱中心坐標(biāo)為 6分
(2)=,列表:
描點(diǎn)、連線得函數(shù)在上的圖象如圖所示:
12分
例2已知向量,=,函數(shù),
(1)求函數(shù)的解析式及其單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)的值域.
【答案】(1) ,單調(diào)遞增區(qū)間是
6、;
(2) 函數(shù)的值域是.
【解析】
【練一練提升能力】
1.已知.
(1)若,求的值;
(2)若,且,求的值.
【解析】(1∵,∴
(2)∵∴,,
,==7
2. 如圖,以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的單位圓與軸正半軸相交于點(diǎn),點(diǎn)在單位圓上,且
(1)求的值;
(2)設(shè),四邊形的面積為, ,求的最值及此時(shí)的值.
【答案】(1);(2)當(dāng)時(shí),.
【解析】
三角函數(shù)與三角形綜合題
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.正余弦定理,三角形面積公式
2.根據(jù)已知條件,正確合理選用正余弦定理.一般已知兩角用正弦定理,已知一角求邊用余弦定理
3.關(guān)注三
7、角形中隱含條件,如
【講一講提高技能】
1必備技能:等價(jià)變形是應(yīng)用三角函數(shù)解三角形時(shí)的注意點(diǎn).大邊對(duì)大角,在三角形中等價(jià)為大角對(duì)大正弦值.在解三角形時(shí),由正弦值求角時(shí)一定要注意角的取值范圍,否則易出現(xiàn)增根或失根.在三角形中求三角函數(shù)最值或取值范圍更要挖掘三角形中隱含條件,密切注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值的影響.
2典型例題:
例1 在中,角所對(duì)的邊分別是,已知.
(1)若的面積等于,求;
(2)若,,求的面積.
分析:(Ⅰ)由,運(yùn)用余弦定理可得,由的面積等于,運(yùn)用三角形面積公式可得,,聯(lián)立即可解得;(Ⅱ)利用三角形內(nèi)角和定理先將化為,利用誘導(dǎo)公式及兩角和與差的正弦公式將上式化為,
8、因?yàn)椋?,求出A,B關(guān)系,利用正弦定理求出關(guān)系,結(jié)合(Ⅰ)中結(jié)果求出,從而求出三角形面積.
【解析】
例2在中,角所對(duì)的邊分別為,已知.
(1)求;
(2)若,的面積,求.
【答案】(1);(2)6
【解析】
試題分析:(1)由已知;利用兩角和與差的三角函數(shù),展開整理可得 ,則 可求;(2)由(1).再由,可得,則根據(jù)余弦定理可求的值
【練一練提升能力】
1. 在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為.已知,
(1)求角的大?。?
(2)若,求的面積.
【解析】(1)由題意得,,即,,由得,,又,得,即,所以;(2)由,,得,由,得,從而,故,所以的面積為.
2.在中,角的對(duì)邊分別為,
9、且.
(1)求角的大小;
(2)求函數(shù)的值域.
【答案】(1);(2).
【解析】
三角形與向量 綜合題
【背一背重點(diǎn)知識(shí)】
1.三角形中的邊長(zhǎng)與內(nèi)角和向量的模及夾角的對(duì)應(yīng)關(guān)系
2.向量加法、減法、投影、數(shù)量積、共線等幾何意義在三角形中體現(xiàn)
3.正余弦定理、面積公式中邊長(zhǎng)及角與涉及向量模及夾角關(guān)系
【講一講提高技能】
1必備技能:若分所成比為,則;若,則三點(diǎn)關(guān)線.夾角為鈍角的充要條件是且不反向;同樣夾角為銳角的充要條件是且不同向.
2典型例題:
例1已知中,角的對(duì)邊分別為,且有.
⑴求角的大?。?
⑵設(shè)向量,且,求的值.
分析:⑴由正弦定理
10、已知條件可化為即,從而得 ,故; ⑵由得從而,代入得.
【解析】
例2 設(shè)△的面積為,且.
(1)求角的大??;
(2)若,且角不是最小角,求的取值范圍.
分析:(1)根據(jù)三角形面積公式及向量數(shù)量積得:,即,所以,又,所以.(2)因?yàn)榻遣皇亲钚〗?,所以將面積化為B角函數(shù),利用正弦定理現(xiàn)將邊化為角:由正弦定理,得,所以,因此
,,所以.
【解析】
【練一練提升能力】
1.設(shè)銳角△的三內(nèi)角的對(duì)邊分別為 .
(1)設(shè)向量,,若與共線,求角的大?。?
(2)若,,且△的面積小于,求角的取值范圍.
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:第(1)小題設(shè)計(jì)為綜合平
11、面向量的共線定理,求角A的大小.利用與共線,可得,然后化簡(jiǎn)得,再根據(jù)A的范圍,可求得A的大?。坏冢?)小題設(shè)計(jì)為在面積小于的條件下,求角B的取值范圍.利用面積公式可得,所以解不等式得B的取值范圍.
試題解析:(1)因?yàn)榕c共線,則,
即,
所以,即.
又為銳角,則,所以.
2. 已知函數(shù),其中,
.若函數(shù)相鄰兩對(duì)稱軸的距離等于.
(1)求的值;并求函數(shù)在區(qū)間的值域;
(2)在△中,、、分別是角、、的對(duì)邊,若,求邊、的長(zhǎng).
【答案】(1);(2).
【解析】
試題分析:(1)先把化為的形式,由函數(shù)相鄰兩對(duì)稱軸的距離等于得,進(jìn)一步求函數(shù)在區(qū)間的值域;(2)求出,再根據(jù)余弦定
12、理求出邊、的長(zhǎng).
試題解析:(1).
,.
即的值域是.
(2).
,.
.
解答題(共10題)
1. 已知向量且A、B、C分別為△ABC的三邊a、b、c所對(duì)的角.
(1)求角C的大小;
(2)若成等差數(shù)列,且,求c邊的長(zhǎng).
【答案】(1);(2).
【解析】
(2)由成等差數(shù)列,得,
由正弦定理得,
即由余弦弦定理,
,
2. 已知向量,設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若 ,求的值.
【解析】
3. 在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)在角的終邊上,點(diǎn)在角的終邊上,且.
(1)求的值;(2)求的值.
【解析】(1)因?yàn)椋裕?/p>
13、即:,所以,所以.
(2)因?yàn)?,所以,所以,?
又點(diǎn)在角的終邊上,所以 ,同理 所以:
4. 某同學(xué)用“五點(diǎn)法”畫函數(shù)在某一個(gè)周期內(nèi)的圖象時(shí),列表并填入的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:
(Ⅰ)請(qǐng)求出上表中的,并直接寫出函數(shù)的解析式;
(Ⅱ)將的圖象沿軸向右平移個(gè)單位得到函數(shù),若函數(shù)在(其中)上的值域?yàn)?,且此時(shí)其圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)分別為,求與夾角的大小.
【解析】
5.已知的面積為,且.
(1)求的值;
(2)若,,求的面積.
【答案】(1);(2)
【解析】
試題分析:(1)利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則及面積公式化簡(jiǎn)已知等式,求出的值即可;(2)由與的值,利用兩角和與
14、差的正切函數(shù)公式求出的值,進(jìn)而求出的值,利用正弦定理求出的值,再利用三角形面積公式即可求出.
試題解析:解:(1)設(shè)的角所對(duì)應(yīng)的邊分別為,
∵,∴,∴,∴.
∴.
(2),即,
∵,,∴,.
∴.
由正弦定理知:,
.
6. 已知向量,,.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間及其圖象的對(duì)稱軸方程;
(2)當(dāng)時(shí),若,求的值.
【解析】
7. 如圖,在△中,為鈍角,.為延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求的長(zhǎng)及△的面積.
【解析】
8. 已知函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn).
(1)求的值;
(2)在中,、、所對(duì)的邊分別為、、,若,且.求.
【答案】
15、(1)(2)
【解析】
9. 已知函數(shù).
(1)試將函數(shù)化為的形式,并求該函數(shù)的對(duì)稱中心;
(2)若銳角中角所對(duì)的邊分別為,且,求的取值范圍.
【答案】(1),;(2).
【解析】
試題分析:(1)利用三角函數(shù)的和差公式化簡(jiǎn)得,再由三角函數(shù)的和差公式的逆運(yùn)用得,令,即可求得函數(shù)對(duì)稱中心.
10. 已知向量,,函數(shù)
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(Ⅱ)在中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,若對(duì)任意滿足條件的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).
【解析】
試題分析:(Ⅰ)先利用平面向量的數(shù)量積結(jié)合二倍角與兩角和與差的正弦公式求得,再利用函數(shù)單調(diào)性求得單調(diào)遞增區(qū)間;(Ⅱ)先用正弦定理把進(jìn)行轉(zhuǎn)換,求得角,再利用函數(shù)單調(diào)性求解.