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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 向量的概念教案 理 教材分析 向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本概念之一，它集“大小”與“方向”于一身，融“數(shù)”、“形”于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，是高中數(shù)學(xué)重要的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯點(diǎn)，也是數(shù)形結(jié)合思想的重要載體．這節(jié)通過對(duì)物理中的位移和力的歸納，抽象、概括出向量的概念、有向線段、向量的表示、零向量、單位向量、平行向量、相等向量、共線向量的準(zhǔn)確含義．與數(shù)學(xué)中的許多概念一樣，都可以追溯它的實(shí)際背景．這節(jié)的重點(diǎn)是向量的概念、相等向量的概念和向量的幾何表示等．難點(diǎn)是向量的概念． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過對(duì)平面向量概念的抽象概括，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過程，培養(yǎng)學(xué)生的抽

2、象概括能力和科學(xué)的思維方法，使學(xué)生逐步由感性思維上升為理性思維． 2. 理解向量的概念，會(huì)用有向線段表示向量，會(huì)判斷零向量，單位向量，平行的、相等的、共線的向量． 任務(wù)分析 在這之前，學(xué)生接觸較多的是只有大小的量（數(shù)量）．其實(shí)生活中還有一種不同于數(shù)量的量———向量．剛一開始，學(xué)生很不習(xí)慣，但可適時(shí)地結(jié)合實(shí)例，逐步讓學(xué)生理解向量的兩個(gè)基本要素———大小和方向，再讓學(xué)生于實(shí)際問題中識(shí)別哪些是向量，哪些是數(shù)量．這樣由具體到抽象，再由抽象到具體；由實(shí)踐到理論，再由理論到實(shí)踐，可使學(xué)生比較容易地理解．緊緊抓住向量的大小和方向，便于理解兩個(gè)向量沒有大小之分，只有相等與不相等、平行與共線等．要結(jié)合例、

3、習(xí)題讓學(xué)生很好地理解相等向量（向量可以平移）．這些均可為以后用向量處理幾何等問題帶來方便． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問題情景 數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)．思考以下問題： 1. 在數(shù)學(xué)或其他學(xué)科中，你接觸過哪些類型的量？這些量本質(zhì)上有何區(qū)別？試描述這些量的本質(zhì)區(qū)別． 2. 既有大小又有方向的量應(yīng)如何表示？ 二、建立模型 1. 學(xué)生分析討論 學(xué)生回答：人的身高，年齡，體重；……圖形的面積，體積；物體的密度，質(zhì)量；……物理學(xué)中的重力、彈力、拉力，速度、加速度，位移…… 引導(dǎo)學(xué)生慢慢抽象出數(shù)量（只有大小）和向量（既有大小又有方向）的概念． 2. 教師明晰 人們?cè)陂L期生產(chǎn)生活實(shí)踐中，

4、會(huì)遇到兩種不同類型的量，如身高、體重、面積、體積等，在規(guī)定的單位下，都可以用一個(gè)實(shí)數(shù)表示它們的大小，我們稱之為數(shù)量；另一類，如力、速度、位移等，它們不僅有大小，而且有方向．作用于某物體上的力，它不僅有大小，而且有作用方向；物體運(yùn)動(dòng)的速度既有快慢之分，又有方向的區(qū)別．這類既有數(shù)量特性又有方向特性的量，就是我們要研究的向量． 在數(shù)學(xué)上，往往用一條有方向的線段，即有向線段來表示向量．有向線段的長度表示向量的大小，有向線段的方向表示向量的方向．向量不僅可以用有向線段表示，也可用a，b，c，…表示，還可用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母表示，如，向量的大小就是向量的長度（模），記作.長度為零的向量叫

5、零向量，記作0或.長度等于1的向量叫作單位向量． 方向相同或相反的非零向量叫平行向量，記作a∥b，規(guī)定0∥a（a為任一向量） 長度相等且方向相同的向量叫作相等的向量，記作a＝b．任意兩個(gè)相等的非零向量都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān)．在同一平面上，兩個(gè)平行的長度相等且指向一致的有向線段可以表示同一向量．因?yàn)橄蛄客耆伤姆较蚝湍Q定． 任一組平行向量都可以移動(dòng)到同一直線上，因此，平行向量也叫“共線向量”． 3. 提出問題，組織學(xué)生討論 （1）時(shí)間、路程、溫度、角度是向量嗎？速度、加速度、物體所受重力是向量嗎？ （2）兩個(gè)單位向量一定相等嗎？ （3）相等向量是平

6、行向量嗎？ （4）物理學(xué)中的作用力與反作用力是一對(duì)共線向量嗎？ （5）方向?yàn)槟掀?0°的向量與北偏東60°的向量是共線向量嗎？強(qiáng)調(diào)：大小、方向是向量的兩個(gè)基本要素，當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量的大小和方向兩個(gè)要素完全相同時(shí)，兩個(gè)向量才相等．注意：相等向量、平行向量、共線向量之間的異同． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 如圖，邊長為1的正六邊形ABCDEF的中心為O，試分別寫出與相等、平行和共線的向量，以及單位向量． 解：都是單位向量． ［練　習(xí)］ 1. 如圖，D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，試寫出圖中與相等的向量． 2. 如果四邊形ABCD滿足，那么四邊形ABCD的形狀如何？

7、3. 設(shè)E，F(xiàn)，P，Q分別是任意四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，對(duì)于，哪些是相等的向量，哪些方向是相反的向量？ 4. 在平面上任意確定一點(diǎn)O，點(diǎn)P在點(diǎn)O“東偏北60°，3cm”處，點(diǎn)Q在點(diǎn)O“南偏西30°，3cm”處，試畫出點(diǎn)P和Q相對(duì)于點(diǎn)O的向量． 5. 選擇適當(dāng)?shù)谋壤?，用有向線段分別表示下列各向量． （1）在與水平成120°角的方向上，一個(gè)大小為50N的拉力． （2）方向東南，8km／h的風(fēng)的速度． （3）向量 四、拓展延伸 1. 如圖，在ABCD中，E，F(xiàn)分別是CD，AD的中點(diǎn)，在向量中相等的向量是哪些？為什么？ 2. 數(shù)能進(jìn)行運(yùn)算，那么與數(shù)的運(yùn)算類比，向量是否也能進(jìn)行運(yùn)算？ 案例點(diǎn)評(píng) 這篇案例設(shè)計(jì)完整，思路清晰．該案例首先通過實(shí)例闡述了向量產(chǎn)生的背景，然后歸納、抽象了向量、平行向量、相等向量等概念，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是教學(xué)思維過程的教學(xué)，符合新課程標(biāo)準(zhǔn)的精神．例題與練習(xí)由淺入深，完整，全面．“拓展延伸”的設(shè)計(jì)有新意，有深度．為學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、創(chuàng)造能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)．