《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.12 函數(shù)的綜合問題教案》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.12 函數(shù)的綜合問題教案(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 2.12 函數(shù)的綜合問題教案
●知識梳理
函數(shù)的綜合應(yīng)用主要體現(xiàn)在以下幾方面:
1.函數(shù)內(nèi)容本身的相互綜合,如函數(shù)概念、性質(zhì)、圖象等方面知識的綜合.
2.函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識點的綜合,如方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等方面的內(nèi)容與函數(shù)的綜合.這是高考主要考查的內(nèi)容.
3.函數(shù)與實際應(yīng)用問題的綜合.
●點擊雙基
1.已知函數(shù)f(x)=lg(2x-b)(b為常數(shù)),若x∈[1,+∞)時,f(x)≥0恒成立,則
A.b≤1 B.b<1 C.b≥1 D.b=1
解析:當(dāng)x∈[1,+∞)時,f(x)≥0,從而2x-b≥1,即b≤
2、2x-1.而x∈[1,+∞)時,2x-1單調(diào)增加,∴b≤2-1=1.
答案:A
2.(xx年鄭州市質(zhì)檢題)若f(x)是R上的減函數(shù),且f(x)的圖象經(jīng)過點A(0,3)和B(3,-1),則不等式|f(x+1)-1|<2的解集是___________________.
解析:由|f(x+1)-1|<2得-2<f(x+1)-1<2,即-1<f(x+1)<3.
又f(x)是R上的減函數(shù),且f(x)的圖象過點A(0,3),B(3,-1),
∴f(3)<f(x+1)<f(0).∴0<x+1<3,-1<x<2.
答案:(-1,2)
●典例剖析
【例1】 取第一象限內(nèi)的點P1(x1,y1),P
3、2(x2,y2),使1,x1,x2,2依次成等差數(shù)列,1,y1,y2,2依次成等比數(shù)列,則點P1、P2與射線l:y=x(x>0)的關(guān)系為
A.點P1、P2都在l的上方 B.點P1、P2都在l上
C.點P1在l的下方,P2在l的上方 D.點P1、P2都在l的下方
剖析:x1=+1=,x2=1+=,y1=1×=,y2=,∵y1<x1,y2<x2,
∴P1、P2都在l的下方.
答案:D
【例2】 已知f(x)是R上的偶函數(shù),且f(2)=0,g(x)是R上的奇函數(shù),且對于x∈R,都有g(shù)(x)=f(x-1),求f(xx)的值.
解:由g(x)=f(x-1),x∈R,得f(x)=
4、g(x+1).又f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x),
故有f(x)=f(-x)=g(-x+1)=-g(x-1)=-f(x-2)=-f(2-x)=-g(3-x)=
g(x-3)=f(x-4),也即f(x+4)=f(x),x∈R.
∴f(x)為周期函數(shù),其周期T=4.∴f(xx)=f(4×500+2)=f(2)=0.
評述:應(yīng)靈活掌握和運用函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì).
【例3】 函數(shù)f(x)=(m>0),x1、x2∈R,當(dāng)x1+x2=1時,f(x1)+f(x2)=.
(1)求m的值;
(2)數(shù)列{an},已知an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1),求an.
5、解:(1)由f(x1)+f(x2)=,得+=,
∴4+4+2m=[4+m(4+4)+m2].
∵x1+x2=1,∴(2-m)(4+4)=(m-2)2.∴4+4=2-m或2-m=0.
∵4+4≥2=2=4,而m>0時2-m<2,∴4+4≠2-m.
∴m=2.
(2)∵an=f(0)+f()+f()+…+f()+f(1),∴an=f(1)+f()+ f()+…+f()+f(0).
∴2an=[f(0)+f(1)]+[f()+f()]+…+[f(1)+f(0)]=++…+=.
∴an=.
深化拓展
用函數(shù)的思想處理方程、不等式、數(shù)列等問題是一重要的思想方法.
【例4】 函數(shù)f(x
6、)的定義域為R,且對任意x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),且當(dāng)x>0時,f(x)<0,f(1)=-2.
(1)證明f(x)是奇函數(shù);
(2)證明f(x)在R上是減函數(shù);
(3)求f(x)在區(qū)間[-3,3]上的最大值和最小值.
(1)證明:由f(x+y)=f(x)+f(y),得f[x+(-x)]=f(x)+f(-x),∴f(x)+ f(-x)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.從而有f(x)+f(-x)=0.
∴f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函數(shù).
(2)證明:任取x1、x2∈R,且x1<x2,則f(x1)-f(x2)=f(x1)-f
7、[x1+(x2-x1)]=f(x1)-[f(x1)+f(x2-x1)]=-f(x2-x1).由x1<x2,∴x2-x1>0.∴f(x2-x1)<0.
∴-f(x2-x1)>0,即f(x1)>f(x2),從而f(x)在R上是減函數(shù).
(3)解:由于f(x)在R上是減函數(shù),故f(x)在[-3,3]上的最大值是f(-3),最小值是f(3).由f(1)=-2,得f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=3×(-2)=-6,f(-3)=-f(3)=6.從而最大值是6,最小值是-6.
深化拓展
對于任意實數(shù)x、y,定義運算x*y=
8、ax+by+cxy,其中a、b、c是常數(shù),等式右邊的運算是通常的加法和乘法運算.現(xiàn)已知1*2=3,2*3=4,并且有一個非零實數(shù)m,使得對于任意實數(shù)x,都有x*m=x,試求m的值.
提示:由1*2=3,2*3=4,得
∴b=2+2c,a=-1-6c.
又由x*m=ax+bm+cmx=x對于任意實數(shù)x恒成立,
∴∴b=0=2+2c.
∴c=-1.∴(-1-6c)+cm=1.
∴-1+6-m=1.∴m=4.
答案:4.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實基礎(chǔ)
1.已知y=f(x)在定義域[1,3]上為單調(diào)減函數(shù),值域為[4,7],若它存在反函數(shù),則反函數(shù)在其定義域上
A.單調(diào)遞減且最大值為
9、7 B.單調(diào)遞增且最大值為7
C.單調(diào)遞減且最大值為3 D.單調(diào)遞增且最大值為3
解析:互為反函數(shù)的兩個函數(shù)在各自定義區(qū)間上有相同的增減性,f-1(x)的值域是[1,3].
答案:C
2.(xx年鄭州市質(zhì)檢題)關(guān)于x的方程|x2-4x+3|-a=0有三個不相等的實數(shù)根,則實數(shù)a的值是___________________.
解析:作函數(shù)y=|x2-4x+3|的圖象,如下圖.
由圖象知直線y=1與y=|x2-4x+3|的圖象有三個交點,即方程|x2-4x+3|=1也就是方程|x2-4x+3|-1=0有三個不相等的實數(shù)根,因此a=1.
答案:1
3.(xx年春季
10、北京)若存在常數(shù)p>0,使得函數(shù)f(x)滿足f(px)=f(px-)(x∈R),則f(x)的一個正周期為__________.
解析:由f(px)=f(px-),令px=u,f(u)=f(u-)=f[(u+)-],∴T=或的整數(shù)倍.
答案:(或的整數(shù)倍)
4.已知關(guān)于x的方程sin2x-2sinx-a=0有實數(shù)解,求a的取值范圍.
解:a=sin2x-2sinx=(sinx-1)2-1.∵-1≤sinx≤1,∴0≤(sinx-1)2≤4.
∴a的范圍是[-1,3].
5.(xx年上海,19)記函數(shù)f(x)=的定義域為A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定義域
11、為B.
(1)求A;
(2)若BA,求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)由2-≥0,得≥0,
∴x<-1或x≥1,即A=(-∞,-1)∪[1,+∞).
(2)由(x-a-1)(2a-x)>0,得(x-a-1)(x-2a)<0.
∵a<1,∴a+1>2a.∴B=(2a,a+1).
∵BA,∴2a≥1或a+1≤-1,即a≥或a≤-2.
而a<1,∴≤a<1或a≤-2.
故當(dāng)BA時,實數(shù)a的取值范圍是(-∞,-2]∪[,1).
培養(yǎng)能力
6.(理)已知二次函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b≥0,c∈R).
若f(x)的定義域為[-1,0]時,值域也是[-1,0],符合上述條件的函數(shù)
12、f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表達式;若不存在,請說明理由.
解:設(shè)符合條件的f(x)存在,∵函數(shù)圖象的對稱軸是x=-,
又b≥0,∴-≤0.
①當(dāng)-<-≤0,即0≤b<1時,
函數(shù)x=-有最小值-1,則
或(舍去).
②當(dāng)-1<-≤-,即1≤b<2時,則
(舍去)或(舍去).
③當(dāng)-≤-1,即b≥2時,函數(shù)在[-1,0]上單調(diào)遞增,則解得
綜上所述,符合條件的函數(shù)有兩個,f(x)=x2-1或f(x)=x2+2x.
(文)已知二次函數(shù)f(x)=x2+(b+1)x+c(b≥0,c∈R).
若f(x)的定義域為[-1,0]時,值域也是[-1,0],符合上述條件的函
13、數(shù)f(x)是否存在?若存在,求出f(x)的表達式;若不存在,請說明理由.
解:∵函數(shù)圖象的對稱軸是
x=-,又b≥0,∴-≤-.
設(shè)符合條件的f(x)存在,
①當(dāng)-≤-1時,即b≥1時,函數(shù)f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞增,則
②當(dāng)-1<-≤-,即0≤b<1時,則
(舍去).
綜上所述,符合條件的函數(shù)為f(x)=x2+2x.
7.(xx年春季上海,21)已知函數(shù)f(x)=x+的定義域為(0,+∞),且f(2)=2+.設(shè)點P是函數(shù)圖象上的任意一點,過點P分別作直線y=x和y軸的垂線,垂足分別為M、N.
(1)求a的值.
(2)問:|PM|·|PN|是否為定值?若是,
14、則求出該定值;若不是,請說明理由.
(3)設(shè)O為坐標原點,求四邊形OMPN面積的最小值.
解:(1)∵f(2)=2+=2+,∴a=.
(2)設(shè)點P的坐標為(x0,y0),則有y0=x0+,x0>0,由點到直線的距離公式可知,|PM|==,|PN|=x0,∴有|PM|·|PN|=1,即|PM|·|PN|為定值,這個值為1.
(3)由題意可設(shè)M(t,t),可知N(0,y0).
∵PM與直線y=x垂直,∴kPM·1=-1,即=-1.解得t=(x0+y0).
又y0=x0+,∴t=x0+.
∴S△OPM=+,S△OPN=x02+.
∴S四邊形OMPN=S△OPM+S△OPN=(x02+
15、)+≥1+.
當(dāng)且僅當(dāng)x0=1時,等號成立.
此時四邊形OMPN的面積有最小值1+.
探究創(chuàng)新
8.有一塊邊長為4的正方形鋼板,現(xiàn)對其進行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計).有人應(yīng)用數(shù)學(xué)知識作了如下設(shè)計:如圖(a),在鋼板的四個角處各切去一個小正方形,剩余部分圍成一個長方體,該長方體的高為小正方形邊長,如圖(b).
(1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V1;
(2)由于上述設(shè)計存在缺陷(材料有所浪費),請你重新設(shè)計切、焊方法,使材料浪費減少,而且所得長方體容器的容積V2>V1.
解:(1)設(shè)切去正方形邊長為x,則焊接成的長方體的底面邊長為4-
16、2x,高為x,
∴V1=(4-2x)2·x=4(x3-4x2+4x)(0<x<2).∴V1′=4(3x2-8x+4).
令V1′=0,得x1=,x2=2(舍去).
而V1′=12(x-)(x-2),又當(dāng)x<時,V1′>0;當(dāng)<x<2時,V1′<0,
∴當(dāng)x=時,V1取最大值.
(2)重新設(shè)計方案如下:
如圖①,在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形;如圖②,將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間;如圖③,將圖②焊成長方體容器.
新焊長方體容器底面是一長方形,長為3,寬為2,此長方體容積V2=3×2×1=6,顯然V2>V1.
故第二種方案符合要求.
●思悟小結(jié)
17、
1.函數(shù)知識可深可淺,復(fù)習(xí)時應(yīng)掌握好分寸,如二次函數(shù)問題應(yīng)高度重視,其他如分類討論、探索性問題屬熱點內(nèi)容,應(yīng)適當(dāng)加強.
2.數(shù)形結(jié)合思想貫穿于函數(shù)研究的各個領(lǐng)域的全部過程中,掌握了這一點,將會體會到函數(shù)問題既千姿百態(tài),又有章可循.
●教師下載中心
教學(xué)點睛
數(shù)形結(jié)合和數(shù)形轉(zhuǎn)化是解決本章問題的重要思想方法,應(yīng)要求學(xué)生熟練掌握用函數(shù)的圖象及方程的曲線去處理函數(shù)、方程、不等式等問題.
拓展題例
【例1】 設(shè)f(x)是定義在[-1,1]上的奇函數(shù),且對任意a、b∈[-1,1],當(dāng)a+b≠0時,都有>0.
(1)若a>b,比較f(a)與f(b)的大??;
(2)解不等式f(x-)<f(
18、x-);
(3)記P={x|y=f(x-c)},Q={x|y=f(x-c2)},且P∩Q=,求c的取值范圍.
解:設(shè)-1≤x1<x2≤1,則x1-x2≠0,∴>0.
∵x1-x2<0,∴f(x1)+f(-x2)<0.∴f(x1)<-f(-x2).
又f(x)是奇函數(shù),∴f(-x2)=-f(x2).
∴f(x1)<f(x2).∴f(x)是增函數(shù).
(1)∵a>b,∴f(a)>f(b).
(2)由f(x-)<f(x-),得 ∴-≤x≤.
∴不等式的解集為{x|-≤x≤}.
(3)由-1≤x-c≤1,得-1+c≤x≤1+c,∴P={x|-1+c≤x≤1+c}.
由-1≤x-c2
19、≤1,得-1+c2≤x≤1+c2,∴Q={x|-1+c2≤x≤1+c2}.
∵P∩Q=,∴1+c<-1+c2或-1+c>1+c2,
解得c>2或c<-1.
【例2】 (xx年南昌市高三第一次質(zhì)量調(diào)研測試題)已知函數(shù)f(x)的圖象與函數(shù)h(x)=x++2的圖象關(guān)于點A(0,1)對稱.
(1)求f(x)的解析式;
(2)(文)若g(x)=f(x)·x+ax,且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
(理)若g(x)=f(x)+,且g(x)在區(qū)間(0,2]上為減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍.
解:(1)設(shè)f(x)圖象上任一點坐標為(x,y),點(x,y)關(guān)于點A(0,1)
20、的對稱點(-x,2-y)在h(x)的圖象上.
∴2-y=-x++2.∴y=x+,即f(x)=x+.
(2)(文)g(x)=(x+)·x+ax,
即g(x)=x2+ax+1.g(x)在(0,2]上遞減-≥2,
∴a≤-4.
(理)g(x)=x+.∵g′(x)=1-,g(x)在(0,2]上遞減,
∴1-≤0在x∈(0,2]時恒成立,即a≥x2-1在x∈(0,2]時恒成立.
∵x∈(0,2]時,(x2-1)max=3,
∴a≥3.
【例3】 (xx年山東濰坊市第二次模擬考試題)在4月份(共30天),有一新款服裝投放某專賣店銷售,日銷售量(單位:件)f(n)關(guān)于時間n(1≤n≤30,
21、n∈N*)的函數(shù)關(guān)系如下圖所示,其中函數(shù)f(n)圖象中的點位于斜率為5和-3的兩條直線上,兩直線的交點的橫坐標為m,且第m天日銷售量最大.
(1)求f(n)的表達式,及前m天的銷售總數(shù);
(2)按規(guī)律,當(dāng)該專賣店銷售總數(shù)超過400件時,社會上流行該服裝,而日銷售量連續(xù)下降并低于30件時,該服裝的流行會消失.試問該服裝在社會上流行的天數(shù)是否會超過10天?并說明理由.
解:(1)由圖形知,當(dāng)1≤n≤m且n∈N*時,f(n)=5n-3.
由f(m)=57,得m=12.
∴f(n)=
前12天的銷售總量為5(1+2+3+…+12)-3×12=354件.
(2)第13天的銷售量為f(13)=-3×13+93=54件,而354+54>400,
∴從第14天開始銷售總量超過400件,即開始流行.
設(shè)第n天的日銷售量開始低于30件(12<n≤30),即f(n)=-3n+93<30,解得n>21.
∴從第22天開始日銷售量低于30件,
即流行時間為14號至21號.
∴該服裝流行時間不超過10天.