《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題探究課三習(xí)題 理 新人教A版》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題探究課三習(xí)題 理 新人教A版(4頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 專題探究課三習(xí)題 理 新人教A版
1.(xx·山西質(zhì)量監(jiān)測)在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1·an=an-an+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若bn=lg,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.
解 (1)由題意得-=1,又因為a1=1,所以=1.
所以數(shù)列是首項為1,公差為1的等差數(shù)列,所以=n,即an=.
所以數(shù)列{an}的通項公式為an=.
(2)由(1)得bn=lg n-lg(n+2),
所以Sn=lg 1-lg 3+lg 2-lg 4+lg 3-lg 5+…+
lg(n-2)-lg n+lg(n-1)-lg(n+1)+lg n
2、-lg(n+2)
=lg 1+lg 2-lg(n+1)-lg(n+2)=lg.
2.(xx·安徽卷)設(shè)n∈N*,xn是曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線與x軸交點的橫坐標.
(1)求數(shù)列{xn}的通項公式;
(2)記Tn=xx…x,證明:Tn≥.
(1)解 y′=(x2n+2+1)′=(2n+2)x2n+1,曲線y=x2n+2+1在點(1,2)處的切線斜率為2n+2,
從而切線方程為y-2=(2n+2)(x-1).
令y=0,解得切線與x軸交點的橫坐標xn=1-=.所以數(shù)列{xn}的通項公式為xn=.
(2)證明 由題設(shè)和(1)中的計算結(jié)果知
Tn=xx…x=….
3、
當(dāng)n=1時,T1=.
當(dāng)n≥2時,因為x==>==.
所以Tn>×××…×=.
綜上可得對任意的n∈N*,均有Tn≥.
3.(xx·石家莊一模)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*,且λ≠-1),且a1,2a2,a3+3為等差數(shù)列{bn}的前三項.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)求數(shù)列{anbn}的前n項和.
解 (1)法一 ∵an+1=λSn+1(n∈N*),
∴an=λSn-1+1(n≥2).
∴an+1-an=λan,即an+1=(λ+1)an(n≥2),λ+1≠0,
又a1=1,a2=λS1+1=λ+1,
4、∴數(shù)列{an}為以1為首項,公比為λ+1的等比數(shù)列,
∴a3=(λ+1)2,∴4(λ+1)=1+(λ+1)2+3,
整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1.
∴an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.
法二 ∵a1=1,an+1=λSn+1(n∈N*),
∴a2=λS1+1=λ+1,a3=λS2+1=λ(1+λ+1)+1=λ2+2λ+1.∴4(λ+1)=1+λ2+2λ+1+3,
整理得λ2-2λ+1=0,得λ=1.
∴an+1=Sn+1(n∈N*),∴an=Sn-1+1(n≥2),
∴an+1-an=an,即an+1=2an(n≥2),又a1=1,a2=2,
∴數(shù)列{a
5、n}為以1為首項,公比為2的等比數(shù)列,
∴an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.
(2)設(shè)數(shù)列{anbn}的前n項和為Tn,anbn=(3n-2)·2n-1,
∴Tn=1·1+4·21+7·22+…+(3n-2)·2n-1.①
∴2Tn=1·21+4·22+7·23+…+(3n-5)·2n-1+(3n-2)·2n.②
①-②得-Tn=1·1+3·21+3·22+…+3·2n-1-(3n-2)·2n=1+3·-(3n-2)·2n.
整理得Tn=(3n-5)·2n+5.
4.(xx·南昌模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,S3=6,正項數(shù)列{bn}滿足b
6、1·b2·b3·…·bn=2Sn.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)若λbn>an,對n∈N*均成立,求實數(shù)λ的取值范圍.
解 (1)∵等差數(shù)列{an}中,a1=1,S3=6,
∴d=1,故an=n.
由
①÷②得bn=2Sn-Sn-1=2an=2n(n≥2),
b1=2S1=21=2,滿足通項公式,故bn=2n.
(2)λbn>an恒成立,即λ>恒成立,
設(shè)cn=,則=,
當(dāng)n≥1時,cn+1≤cn,{cn}單調(diào)遞減,
∴(cn)max=c1=,故λ>,
∴λ的取值范圍是.
5.(xx·廣東六校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=1-,數(shù)
7、列{bn}滿足bn=(n∈N*).
(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;
(2)證明:++…+<7.
(1)解 由題意得an+1+1=2-=,
bn+1====+=bn+.
又b1=,∴數(shù)列{bn}是首項為,公差為的等差數(shù)列,
∴bn=.
(2)證明 當(dāng)n=1時,左邊==4<7不等式成立;
當(dāng)n=2時,左邊=+=4+1=5<7不等式成立;
當(dāng)n≥3時,=<=4,
左邊=++…+<4+1+4
=5+4=7-<7.
∴++…+<7.
6.(xx·湖北八校聯(lián)考二)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,數(shù)列{bn}是等比數(shù)列,滿足a1=3,b1=1,b2+S2=10,a5-2b2=a3.
(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式;
(2)令cn=設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn,求T2n.
解 (1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d,
數(shù)列{bn}的公比為q,則
即解得
所以an=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.
(2)由a1=3,an=2n+1得Sn==n(n+2),
則cn=即cn=
∴T2n=(c1+c3+…+c2n-1)+(c2+c4+…+c2n)
=
+(2+23+…+22n-1)
=1-+=+(4n-1).