2022年高考數(shù)學復習 導數(shù)應(yīng)用的題型與方法教案 蘇教版
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1、2022年高考數(shù)學復習 導數(shù)應(yīng)用的題型與方法教案 蘇教版 一.復習目標: 1.了解導數(shù)的概念,能利用導數(shù)定義求導數(shù).掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義,理解導函數(shù)的概念.了解曲線的切線的概念.在了解瞬時速度的基礎(chǔ)上抽象出變化率的概念. 2.熟記基本導數(shù)公式(c,x (m為有理數(shù)),sin x, cos x, e, a, lnx, logx的導數(shù))。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則和復合函數(shù)的求導法則,會求某些簡單函數(shù)的導數(shù),利能夠用導數(shù)求單調(diào)區(qū)間,求一個函數(shù)的最大(小)值的問題,掌握導數(shù)的基本應(yīng)用. 3.了解函數(shù)的和、差、積的求導法則的推導,掌握兩個函數(shù)的商的
2、求導法則。能正確運用函數(shù)的和、差、積的求導法則及已有的導數(shù)公式求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。 4.了解復合函數(shù)的概念。會將一個函數(shù)的復合過程進行分解或?qū)讉€函數(shù)進行復合。掌握復合函數(shù)的求導法則,并會用法則解決一些簡單問題。 二.考試要求: ⑴了解導數(shù)概念的某些實際背景(如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等),掌握函數(shù)在一點處的導數(shù)的定義和導數(shù)的幾何意義,理解導函數(shù)的概念。 ⑵熟記基本導數(shù)公式(c,x (m為有理數(shù)),sin x, cos x, e, a,lnx, logx的導數(shù))。掌握兩個函數(shù)四則運算的求導法則和復合函數(shù)的求導法則,會求某些簡單函數(shù)的導數(shù)。
3、⑶了解可導函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的關(guān)系,了解可導函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件(導數(shù)要極值點兩側(cè)異號),會求一些實際問題(一般指單峰函數(shù))的最大值和最小值。 三.教學過程: (Ⅰ)基礎(chǔ)知識詳析 導數(shù)是微積分的初步知識,是研究函數(shù),解決實際問題的有力工具。在高中階段對于導數(shù)的學習,主要是以下幾個方面: 1.導數(shù)的常規(guī)問題: (1)刻畫函數(shù)(比初等方法精確細微); (2)同幾何中切線聯(lián)系(導數(shù)方法可用于研究平面曲線的切線); (3)應(yīng)用問題(初等方法往往技巧性要求較高,而導數(shù)方法顯得簡便)等關(guān)于次多項式的導數(shù)問題屬于較難類型。 2.關(guān)于函數(shù)特征,最值問題較多,所以有必要專項討
4、論,導數(shù)法求最值要比初等方法快捷簡便。 3.導數(shù)與解析幾何或函數(shù)圖象的混合問題是一種重要類型,也是高考中考察綜合能力的一個方向,應(yīng)引起注意。 4.曲線的切線 在初中學過圓的切線,直線和圓有惟一公共點時,叫做直線和圓相切,這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點叫做切點.圓是一種特殊的曲線,能不能將圓的切線的概念推廣為一段曲線的切線,即直線和曲線有惟一公共點時,直線叫做曲線過該點的切線,顯然這種推廣是不妥當?shù)模鐖D3—1中的曲線C是我們熟知的正弦曲線y=sinx.直線與曲線C有惟一公共點M,但我們不能說直線與曲線C相切;而直線盡管與曲線C有不止一個公共點,我們還是說直線是曲線C在點N處
5、的切線.因此,對于一般的曲線,須重新尋求曲線的切線的定義.所以課本利用割線的極限位置來定義了曲線的切線. 5.瞬時速度 在高一物理學習直線運動的速度時,涉及過瞬時速度的一些知識,物理教科書中首先指出:運動物體經(jīng)過某一時刻(或某一位置)的速度叫做瞬時速度,然后從實際測量速度出發(fā),結(jié)合汽車速度儀的使用,對瞬時速度作了說明.物理課上對瞬時速度只給出了直觀的描述,有了極限工具后,本節(jié)教材中是用物體在一段時間運動的平均速度的極限來定義瞬時速度. 6.導數(shù)的定義 導數(shù)定義與求導數(shù)的方法是本節(jié)的重點,推導導數(shù)運算法則與某些導數(shù)公式時,都是以此為依據(jù).
6、 對導數(shù)的定義,我們應(yīng)注意以下三點: (1)△x是自變量x在 處的增量(或改變量). (2)導數(shù)定義中還包含了可導或可微的概念,如果△x→0時,有極限,那么函數(shù)y=f(x)在點處可導或可微,才能得到f(x)在點處的導數(shù). (3)如果函數(shù)y=f(x)在點處可導,那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù)(由連續(xù)函數(shù)定義可知).反之不一定成立.例如函數(shù)y=|x|在點x=0處連續(xù),但不可導. 由導數(shù)定義求導數(shù),是求導數(shù)的基本方法,必須嚴格按以下三個步驟進行: (1)求函數(shù)的增量; (2)求平均變化率; (3)取極限,得導數(shù)。 7
7、.導數(shù)的幾何意義 函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù),就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率.由此,可以利用導數(shù)求曲線的切線方程.具體求法分兩步: (1)求出函數(shù)y=f(x)在點處的導數(shù),即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率; (2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下,求得切線方程為 特別地,如果曲線y=f(x)在點處的切線平行于y軸,這時導數(shù)不存,根據(jù)切線定義,可得切線方程為 8.和(或差)的導數(shù) 對于函數(shù)的導數(shù),如何求呢?我們不妨先利用導數(shù)的定義來求。 我們不難發(fā)現(xiàn),即
8、兩函數(shù)和的導數(shù)等于這兩函數(shù)的導數(shù)的和。 由此我們猜測在一般情況下結(jié)論成立。事實上教材中證明了我們的猜想,這就是兩個函數(shù)的和(或差)的求導法則。 9.積的導數(shù) 兩個函數(shù)的積的求導法則的證明是本節(jié)的一個難點,證明過程中變形的關(guān)鍵是依據(jù)導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。(具體過程見課本P120) 說明: (1); (2)若c為常數(shù),則(cu) ′=cu′。 10.商的導數(shù) 兩個函數(shù)的商的求導法則,課本中未加證明,只要求記住并能運用就可以?,F(xiàn)補充證明如下: 設(shè) 因為v(x)在點x處可導
9、,所以它在點x處連續(xù),于是△x→0時,v(x+△x)→v(x),從而 即。 說明:(1); (2) 學習了函數(shù)的和、差、積、商的求導法則后,由常函數(shù)、冪函數(shù)及正、余弦函數(shù)經(jīng)加、減、乘、除運算得到的簡單的函數(shù),均可利用求導法則與導數(shù)公式求導,而不需要回到導數(shù)的定義去求。 11. 導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系 ㈠與為增函數(shù)的關(guān)系。 能推出為增函數(shù),但反之不一定。如函數(shù)在上單調(diào)遞增,但,∴是為增函數(shù)的充分不必要條件。 ㈡時,與為增函數(shù)的關(guān)系。 若將的根作為分界點,因為規(guī)定,即摳去了分界點,此時為增函數(shù),就一定有?!喈敃r,是為增函數(shù)的充分必要條
10、件。 ㈢與為增函數(shù)的關(guān)系。 為增函數(shù),一定可以推出,但反之不一定,因為,即為或。當函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有,則為常數(shù),函數(shù)不具有單調(diào)性。∴是為增函數(shù)的必要不充分條件。 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)一條重要性質(zhì),也是高中階段研究的重點,我們一定要把握好以上三個關(guān)系,用導數(shù)判斷好函數(shù)的單調(diào)性。因此新教材為解決單調(diào)區(qū)間的端點問題,都一律用開區(qū)間作為單調(diào)區(qū)間,避免討論以上問題,也簡化了問題。但在實際應(yīng)用中還會遇到端點的討論問題,要謹慎處理。 ㈣單調(diào)區(qū)間的求解過程,已知 (1)分析 的定義域; (2)求導數(shù) (3)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間 (4)解不等式,解集在定義域內(nèi)的部分為減
11、區(qū)間 我們在應(yīng)用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性時一定要搞清以下三個關(guān)系,才能準確無誤地判斷函數(shù)的單調(diào)性。以下以增函數(shù)為例作簡單的分析,前提條件都是函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導。 ㈤函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并 函數(shù)單調(diào)區(qū)間的合并主要依據(jù)是函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞增,又知函數(shù)在處連續(xù),因此在單調(diào)遞增。同理減區(qū)間的合并也是如此,即相鄰區(qū)間的單調(diào)性相同,且在公共點處函數(shù)連續(xù),則二區(qū)間就可以合并為以個區(qū)間。 (1)恒成立 ∴為上 ∴ 對任意 不等式 恒成立 (2)恒成立 ∴ 在上 ∴ 對任意不等式 恒成立 ㈥注意事項 1.導數(shù)概念的理解. 2.利用導數(shù)判別可導函數(shù)的極
12、值的方法及求一些實際問題的最大值與最小值. 復合函數(shù)的求導法則是微積分中的重點與難點內(nèi)容。課本中先通過實例,引出復合函數(shù)的求導法則,接下來對法則進行了證明。 對于復合函數(shù),以前我們只是見過,沒有專門定義和介紹過它,課本中以描述性的方式對復合函數(shù)加以直觀定義,使我們對復合函數(shù)的的概念有一個初步的認識,再結(jié)合以后的例題、習題就可以逐步了解復合函數(shù)的概念。 3.要能正確求導,必須做到以下兩點: (1)熟練掌握各基本初等函數(shù)的求導公式以及和、差、積、商的求導法則,復合函數(shù)的求導法則。 (2)對于一個復合函數(shù),一定要理清中間的復合關(guān)系,弄清各分解函數(shù)中應(yīng)對哪個變
13、量求導。 4.求復合函數(shù)的導數(shù),一般按以下三個步驟進行: (1)適當選定中間變量,正確分解復合關(guān)系; (2)分步求導(弄清每一步求導是哪個變量對哪個變量求導); (3)把中間變量代回原自變量(一般是x)的函數(shù)。 也就是說,首先,選定中間變量,分解復合關(guān)系,說明函數(shù)關(guān)系y=f(μ),μ=f(x);然后將已知函數(shù)對中間變量求導,中間變量對自變量求導;最后求,并將中間變量代回為自變量的函數(shù)。整個過程可簡記為分解——求導——回代。熟練以后,可以省略中間過程。若遇多重復合,可以相應(yīng)地多次用中間變量。 (Ⅱ) 范例分析 例1. 在處可導,則
14、 思路: 在處可導,必連續(xù) ∴ ∴ 例2.已知f(x)在x=a處可導,且f′(a)=b,求下列極限: (1); (2) 分析:在導數(shù)定義中,增量△x的形式是多種多樣,但不論△x選擇哪種形式,△y也必須選擇相對應(yīng)的形式。利用函數(shù)f(x)在處可導的條件,可以將已給定的極限式恒等變形轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 解:(1) (2) 說明:只有深刻理解概念的本質(zhì),才能靈活應(yīng)用概念解題。解決這類問題的關(guān)鍵是等價
15、變形,使極限式轉(zhuǎn)化為導數(shù)定義的結(jié)構(gòu)形式。 例3.觀察,,,是否可判斷,可導的奇函數(shù)的導函數(shù)是偶函數(shù),可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù)。 解:若為偶函數(shù) 令 ∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù) 另證: ∴ 可導的偶函數(shù)的導函數(shù)是奇函數(shù) 例4.(1)求曲線在點(1,1)處的切線方程; (2)運動曲線方程為,求t=3時的速度。 分析:根據(jù)導數(shù)的幾何意義及導數(shù)的物理意義可知,函數(shù)y=f(x)在處的導數(shù)就是曲線y=f(x)在點處的切線的斜率。瞬時速度是位移函數(shù)S(t)對時間的導數(shù)。
16、 解:(1), ,即曲線在點(1,1)處的切線斜率k=0 因此曲線在(1,1)處的切線方程為y=1 (2) 。 例5. 求下列函數(shù)單調(diào)區(qū)間 (1) (2) (3) (4) 解:(1) 時 ∴ , (2) ∴ , (3) ∴ ∴ , , (4) 定義域為 例6.求證下列不等式 (1) (2) (3) 證:(1) ∴ 為上 ∴
17、 恒成立 ∴ ∴ 在上 ∴ 恒成立 (2)原式 令 ∴ ∴ ∴ (3)令 ∴ ∴ 例7.利用導數(shù)求和: (1); (2)。 分析:這兩個問題可分別通過錯位相減法及利用二項式定理來解決。轉(zhuǎn)換思維角度,由求導公式,可聯(lián)想到它們是另外一個和式的導數(shù),利用導數(shù)運算可使問題的解決更加簡捷。 解:(1)當x=1時, ; 當x≠1時, ∵, 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù),求導得 即
18、 (2)∵, 兩邊都是關(guān)于x的函數(shù),求導得。 令x=1得 , 即。 例8.求滿足條件的 (1)使為上增函數(shù) (2)使為上…… (3)使為上 解:(1) ∴ 時 也成立 ∴ (2) 時 也成立 ∴ (3) 例9.(1)求證 (2) 求證 (1)證:令 ∴ 原不等式 令 ∴ ∴ ∴ ∴ 令 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ (2)令 上式也成立 將各式相加 即 例10.
19、 設(shè),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間. 分析:本小題主要考查導數(shù)的概念和計算,應(yīng)用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運算能力. 解:. 當時 . (i)當時,對所有,有. 即,此時在內(nèi)單調(diào)遞增. (ii)當時,對,有, 即,此時在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,又知函數(shù)在x=1處連續(xù),因此, 函數(shù)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增 (iii)當時,令,即. 解得. 因此,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間 內(nèi)也單調(diào)遞增. 令, 解得. 因此,函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. 說明:本題用傳統(tǒng)作差比較法無法劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,只有用導數(shù)才行,這是教材新增的內(nèi)容。其理論依據(jù)如下(人教版試驗本第三冊P148
20、): 設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導,如果,則為增函數(shù);如果,則為減函數(shù)。如果,則為常數(shù)。 例11.已知拋物線與直線y=x+2相交于A、B兩點,過A、B兩點的切線分別為和。 (1)求A、B兩點的坐標; (2)求直線與的夾角。 分析:理解導數(shù)的幾何意義是解決本例的關(guān)鍵。 解 (1)由方程組 解得 A(-2,0),B(3,5) (2)由y′=2x,則,。設(shè)兩直線的夾角為θ,根據(jù)兩直線的夾角公式, 所以 說明:本例中直線與拋物線的交點處的切線,就是該點處拋物線的切線。注意兩條直
21、線的夾角公式有絕對值符號。 例12.設(shè),是上的偶函數(shù)。 (I)求的值; (II)證明在上是增函數(shù)。 解:(I)依題意,對一切有,即, ∴對一切成立, 由此得到,, 又∵,∴。 (II)證明:由,得, 當時,有,此時。 ∴在上是增函數(shù)。 例13.設(shè)函數(shù),其中。 (I)解不等式; (II)證明:當時,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)。 解1:(I)分類討論解無理不等式(略)。 (II)作差比較(略)。 解2: (i)當時,有,此時,函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。但,因此,當且僅當時,。 (ii)當時,解不等式,得,在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)。 解方程,得或, ∵,
22、 ∴當且僅當時,, 綜上,(I)當時,所給不等式的解集為:; 當時,所給不等式的解集為:。 (II)當且僅當時,函數(shù)在區(qū)間上時單調(diào)函數(shù)。 例14. 已知,函數(shù)設(shè),記曲線在點處的切線為。 (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)設(shè)與軸的交點為,證明:①②若,則 解:(1)的導數(shù),由此得切線的方程 , (2)依題得,切線方程中令,得 ,其中, (?。┯?,,有,及, ∴,當且僅當時,。 (ⅱ)當時,,因此,,且由(?。?,, 所以。 例15. 已知為正整數(shù). (Ⅰ)設(shè); (Ⅱ)設(shè) 分析:本題主要考查導數(shù)、不等式證明等知識,考查綜合運用所數(shù)學知
23、識解決問題的能力。 證明:(Ⅰ)因為, 所以 (Ⅱ)對函數(shù)求導數(shù): ∴ 即對任意 (Ⅲ)、強化訓練 1.設(shè)函數(shù)f(x)在處可導,則等于 ( ) A. B. C. D. 2.若,則等于 ( ) A. B. C.3 D.2 3.曲線上切線平行于x軸的點的坐標是 ( ) A.(-1,2) B.(1,-2) C.(1,2) D.(-1,2)或(1,-2) 4.若函數(shù)f(x)
24、的導數(shù)為f′(x)=-sinx,則函數(shù)圖像在點(4,f(4))處的切線的傾斜角為( ) A.90° B.0° C.銳角 D.鈍角 5.函數(shù)在[0,3]上的最大值、最小值分別是 ( ) A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16 6.一直線運動的物體,從時間t到t+△t時,物體的位移為△s,那么為( ) A.從時間t到t+△t時,物體的平均速度 B.時間t時該物體的瞬時速度 C.當時間為△t 時該物體的速度 D.從時間t到t+△t時位移的平均變化率 7.關(guān)于函數(shù),下列說法不正確
25、的是 ( ) A.在區(qū)間(,0)內(nèi),為增函數(shù) B.在區(qū)間(0,2)內(nèi),為減函數(shù) C.在區(qū)間(2,)內(nèi),為增函數(shù) D.在區(qū)間(,0)內(nèi),為增函數(shù) 8.對任意x,有,f(1)=-1,則此函數(shù)為 ( ) A. B. C. D. 9.函數(shù)y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值與最小值分別是 ( ) A.5 , -15 B.5 , 4 C.-4 , -15 D.5 , -16 10.設(shè)f(x)在處可導,下列式子中與相等的是
26、( ) (1); (2); (3) (4)。 A.(1)(2) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)(4) 11.f()是定義在區(qū)間[-c,c]上的奇函數(shù),其圖象如圖所示:令g()=af()+b,則下 列關(guān)于函數(shù)g()的敘述正確的是( ) A.若a<0,則函數(shù)g()的圖象關(guān)于原點對稱. B.若a=-1,-2
27、函數(shù)f(x)在點處的導數(shù)存在,則它所對應(yīng)的曲線在點處的切線方程是_____________。 13.設(shè),則它與x軸交點處的切線的方程為______________。 14.設(shè),則_____________。 15.垂直于直線2x-6y+1=0,且與曲線相切的直線的方程是________.? 16.已知曲線,則_____________。 17.y=x2ex的單調(diào)遞增區(qū)間是 18.曲線在點處的切線方程為____________。 19.P是拋物線上的點,若過點P的切線方程與直線垂直,則過P點處的切線方程是____________。 20.在拋物線上依
28、次取兩點,它們的橫坐標分別為,,若拋物線上過點P的切線與過這兩點的割線平行,則P點的坐標為_____________。 21.曲線在點A處的切線的斜率為3,求該曲線在A點處的切線方程。 22.在拋物線上求一點P,使過點P的切線和直線3x-y+1=0的夾角為。 23.判斷函數(shù)在x=0處是否可導。 24.求經(jīng)過點(2,0)且與曲線相切的直線方程。 25.求曲線y=xcosx在處的切線方程。 26.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d. 若f(2x+1)=4g(x),且f'x=g'(x),f(5)=30,求g(4). 27.已知曲線與。直線l與、都相切,求
29、直線l的方程。 28.設(shè)f(x)=(x-1)(x-2)…(x-100),求f′(1)。 29.求曲線在點處的切線方程。 30.求證方程在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個實根 31. 、、、均為正數(shù) 且 求證: 32.(1)求函數(shù)在x=1處的導數(shù); (2)求函數(shù)(a、b為常數(shù))的導數(shù)。 33.證明:如果函數(shù)y=f(x)在點處可導,那么函數(shù)y=f(x)在點處連續(xù)。 34. 已知函數(shù),設(shè),記曲線在點處的切線為。 (Ⅰ)求的方程; (Ⅱ)設(shè)與軸的交點為,證明:①;②若,則。 (Ⅳ)、參考答案 1-5 CBDCA; 6-10 BDB
30、AB; 11 B 12. 13.y=2(x-1)或y=2(x+1) 14.-6 15.3x+y+6=0 16. 17.(-∞,-2)與(0,+ ∞) 18. 19.2x-y-1=0 20.(2,4) 21.由導數(shù)定義求得, 令,則x=±1。 當x=1時,切點為(1,1),所以該曲線在(1,1)處的切線方程為y-1=3(x-1)即3x-y-2=0; 當x=-1時,則切點坐標為(-1,-1),所
31、以該曲線在(-1,-1)處的切線方程為y+1=3(x+1)即3x-y+2=0。 22.由導數(shù)定義得f′(x)=2x,設(shè)曲線上P點的坐標為,則該點處切線的斜率為,根據(jù)夾角公式有 解得或, 由,得; 由,得; 則P(-1,1)或。 23., , ∵, ∴不存在。 ∴函數(shù)f(x)在x=0處不可導。 24.可以驗證點(2,0)不在曲線上,故設(shè)切點為。 由 , 得所求直線方程為
32、 。 由點(2,0)在直線上,得, 再由在曲線上,得, 聯(lián)立可解得,。所求直線方程為x+y-2=0。 25.Y’=x'cosx+x·(cosx)'=cosx-xsinx ,切點為, ∴切線方程為: 即。 26解:由已知(2x+1)2+a(2x+1)+b=4(x2+cx+d) ∴ =2x+a =2x+c ∴a=c ③ 又知52+5a+b=30
33、 ∴5a+b=5 ④ 由①③知a=c=2. 依次代入④、②知b=-5, d=-g(4)=42+2×4-=23 27.解:設(shè)l與相切于點,與相切于。對,則與相切于點P的切線方程為,即。 ① 對,則與相切于點Q的切線方程為 ,即。 ② ∵ 兩切線重合,∴, 解得或, ∴直線方程為y=0或y=4x-4。 28.解: ∴ 令x=1得
34、 29.解:,則 。 ∴切線方程為 即5x+32y-7=0。 30解: 在 ∴ 在內(nèi)與軸有且僅有一個交點 ∴ 方程 在內(nèi)僅有一解 31.證:由對稱性不妨設(shè) (1)若 顯然成立 (2)若 設(shè) ∴ ∵ ∴ ∴ 時 ∴ ∴ 32.分析:根據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù),是求導數(shù)的基本方法。 解(1) , , ∴。 (2)
35、 , 。 ∴y′=2x+a 說明 應(yīng)熟練掌握依據(jù)導數(shù)的定義求函數(shù)的導數(shù)的三個步驟。 33.分析:從已知和要證明的問題中去尋找轉(zhuǎn)化的方法和策略,要證明f(x)在點處連續(xù),必須證明,由于函數(shù)f(x)在點處可導,因此根據(jù)函數(shù)在點處可導的定義,逐步實現(xiàn)這個轉(zhuǎn)化。 已知: 求證: 證明:考慮,令,則,等價于△x→0,于是 ∴函數(shù)f(x)在點處連續(xù)。 說明:函數(shù)f(x)在點處連續(xù)、有極限以及導數(shù)存在這三者之間的關(guān)系是:導數(shù)存在連續(xù)有極限。反之則不一定成立,例如y=|x|在點x=0處有極限且連續(xù),但導數(shù)不存在。 34.解:(1)的導數(shù),由此得切線的方程 , (2)依題意,在切線方程中令,得, (?。?, ∴,當且僅當時取等成立。 (ⅱ)若,則,,且由(?。? 所以。
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