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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第七章 第4課時 直線、平面的平行和垂直課時作業(yè) 理 新人教版
考綱索引
1. 直線與平面平行、垂直.
2. 平面與平面平行、垂直.
課標要求
1. 以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點,認識和理解空間中線面平行、垂直的有關性質和判定定理.
2. 能運用公理、定理和已獲得的結論證明一些有關空間圖形的平行、垂直關系的簡單命題.
判定
性質
定義
定理
圖形
a ?
b ?
a ?
條件
?
?
?
?
結論
?
?
a∩α= ?
?
2. 面面平行的判定
2、與性質
判定
性質
定義
定理
圖形
條件
?
?
?
?
結論
α∥β
α∥β
a∥b
a∥α
3. 直線與平面垂直
定義:如果直線l與平面α的 直線都垂直,則直線l與此平面α垂直.?
(1)判定直線和平面垂直的方法:
①定義法.
②利用判定定理:如果一條直線與平面內的兩條 直線垂直,則這條直線與這個平面垂直.?
③推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也 這個平面.?
(2)直線和平面垂直的性質:
①直線垂直于平面,則垂直于平面內 直線.?
②垂直于同一
3、個平面的兩條直線 .?
③垂直于同一直線的兩平面 .?
4. 平面與平面垂直
(1)平面與平面垂直的判定方法:
①定義法.
②利用判定定理:如果一個平面過另一個平面的 ,則這兩個平面互相垂直.?
(2)平面與平面垂直的性質:
如果兩平面互相垂直,那么在一個平面內垂直于它們 的直線垂直于另一個平面.?
基礎自測
1. (教材改編)下列條件中,能判定直線l⊥平面α的是( ).
A. l與平面α內的兩條直線垂直
B. l與平面α內無數(shù)條直線垂直
C. l與平面α內的某一條直線垂直
D. l與平面α內任意一條直線垂直
2. 設a,b,c是三條不同的
4、直線,α,β是兩個不同的平面,則a⊥b的一個充分條件是( ).
A. a⊥c,b⊥c B. α⊥β,b?β
C. α⊥a,b∥α D. a⊥α,b⊥α
3. (教材改編)給出下列四個命題:
①垂直于同一平面的兩條直線相互平行;
②垂直于同一平面的兩個平面相互平行;
③若一個平面內有無數(shù)條直線與另一個平面都平行,那么這兩個平面相互平行;
④若一條直線垂直于一個平面內的任一直線,那么這條直線垂直于這個平面.
其中真命題的個數(shù)是( ).
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. (課本精選題)已知不重合的直線a,b和平面α.
①若a∥α,b
5、?α,則a∥b;②若a∥α,b∥α,則a∥b;③若a∥b,b?α,則a∥α;④若a∥b,a∥α,則b∥α或b?α.
上面命題中正確的是 .(填序號)?
5. (課本改編)過△ABC所在平面α外一點P,作PO⊥α,垂足為O,連接PA,PB,PC.
(1)若PA=PB=PC,∠C=90°,則點O是邊AB的 點.?
(2)若PA=PB=PC,則點O是△ABC的 心.?
(3)若PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA,則點O是△ABC的 心.?
指 點 迷 津
1. 判定定理或性質定理使用時,條件要完備.如:證明b∥α時,不要忽略b?α;用線面平行的性質定理時,不要
6、忽略α∩β=b等.
2. 六個平行轉化關系:
3. 六種轉化關系:
考點透析
考向一 直線與平面平行的判定與性質
例1 (xx·安徽)如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為8的正方形,四條側棱長均為.點G,E,F,H分別是棱PB,AB,CD,PC上共面的四點,平面GEFH⊥平面ABCD,BC∥平面GEFH.
(1)求證:GH∥EF;
(2)若EB=2,求四邊形GEFH的面積.
【審題視點】 利用BC∥平面GEFH,可證得GH∥BC,即可證出GH∥BC.再由PO∥平面GEFH,可證得GK是梯形GEFH的高,由此可求得四邊形GEFH的面積.
變式訓
7、練
1. 如圖,在四面體PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,點D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點.求證:
(1)DE∥平面BCP;
(2)四邊形DEFG為矩形.
(第1題)
考向二 平面與平面平行的判定與性質
例2 (xx·山東高考名校聯(lián)考信息優(yōu)化卷)如圖,沿等腰直角三角形ABC的中位線DE,將平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱錐A-BCDE.
(1)求證:平面ABC⊥平面ACD;
(2)過CD的中點M的平面α與平面ABC平行,試求平行α與四棱錐A-BCDE各個面的交線所圍成的多邊形的面積與△ABC的面積之比.
【審題
8、視點】 平面翻折后可得AD⊥平面BCDE.依據(jù)α∥平面ABC得出交線位置,可求面積之比.
變式訓練
2. 如圖所示,已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體,點E在AA1上,點F在CC1上,G在BB1上,且AE=FC1=B1G=1,H是B1C1的中點.求證:
(1)E,B,F,D1四點共面;
(2)平面A1GH∥平面BED1F.
(第2題)
考向三 直線與平面垂直的判定與性質
例3 (xx·東北三校聯(lián)考)如圖,在四面體ABCD中,O,E分別是BD,BC的中點,AB=AD=,CA=CB=CD=BD=2.
(1)求證:BD⊥AC;
(2)求三棱錐E-AD
9、C的體積.
【審題視點】 BD⊥AO,BD⊥CO?BD⊥平面AOC?BD⊥AC,AO⊥CO,AO⊥BD?AO⊥平面BDC?VE-ADC.
變式訓練
3. (xx·重慶)在如圖所示四棱錐P-ABCD中,底面是以O為中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M為BC上一點,且BM=.
(1)求證:BC⊥平面POM;
(2)若MP⊥AP,求四棱錐P-ABMO的體積.
(第3題)
考向四 平面與平面垂直的判定與性質
例4 (xx·煙臺四校達標檢測)如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,點P為DD1的
10、中點.
(1)求證:平面PAC⊥平面BDD1;
(2)求證:PB1⊥平面PAC.
【審題視點】 (1)利用AC⊥面BDD1;
(2)利用計算關系PB1⊥PC,PB1⊥PA.
【方法總結】 面面垂直的關鍵是線面垂直.兩平面垂直的性質定理是把面面垂直轉化為線面垂直的依據(jù),運用時要注意“平面內的直線”.
變式訓練
4. (xx·海濱區(qū)期末練習)在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是菱形,AC∩BD=O.
(1)若AC⊥PD,求證:AC⊥平面PBD;
(2)若平面PAC⊥平面ABCD,求證:PB=PD.
(第4題)
考向五 平行與垂直的綜
11、合應用
例5 (xx·濟南兩所名校模擬)如圖(1),在梯形BCDE中,BC∥DE,BA⊥DE,且EA=DA=AB=2CB=2,如圖(2),沿AB將四邊形AB-CD折起,使得平面AB-CD與平面ABE垂直,M為CE的中點.
(1)
(2)
(1)求證:AM⊥BE;
(2)求三棱錐C -BED的體積.
【審題視點】 取BE中點N,MN∥BC∥DA?MN⊥平面ABE?BE⊥平面AMN?AM⊥BE.
【方法總結】 平行與垂直之間的轉化常用結論:
①a⊥α,b∥α?a⊥b;
②a∥b,a∥α?b⊥a;
③a∥β,a∥α?a⊥β;
④a⊥α,b∥α?a
12、∥b.
變式訓練
5. 如圖,在四面體ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,點E,F分別是AB、BD的中點.求證:
(1)直線EF∥平面ACD;
(2)平面EFC⊥平面BCD.
(第5題)
經典考題
典例 (xx·北京)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E,F分別是A1C1,BC的中點.
(1)求證:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求證:C1F∥平面ABE;
(3)求三棱錐E-ABC的體積.
【解題指南】 (1)證明BB1⊥AB,從而證得平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)
13、證明四邊形FGEC1為平行四邊形,進而可證得C1F∥平面ABE.
(3)先計算AB,再求得三棱錐E -ABC的體積.
【解】 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
BB1⊥底面ABC,
所以BB1⊥AB.
又AB⊥BC,
所以AB⊥平面B1BCC1.
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)如圖,取AB的中點G,連接EG,FG.
因為E,F,G分別是A1C1,BC,AB的中點,
所以FG∥AC,且.
因為AC∥A1C1,且AC=A1C1,
所以FG∥EC1,且FG=EC1,
所以四邊形FGEC1為平行四邊形.
真題體驗
1. (xx·湖北)如圖,在
14、正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分別是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中點.求證:
(1)直線BC1∥平面EFPQ;
(2)直線AC1⊥平面PQMN.
(第1題)
2. (xx·江蘇)如圖所示,在三棱錐P-ABC中,D,E,F分別為棱PC,AC,AB的中點.已知PA⊥AC,PA=6,BC=8,DF=5.求證:
(1)直線PA∥平面DEF;
(2)平面BDE⊥平面ABC.
(第2題)
參考答案與解析
知識梳理
3. 任一 (1)相交 垂直于 (2)所有 平行 平行
4. 垂線 交線
基礎自測
1
15、. D 2. C 3. B 4.④ 5.(1)中 (2)外 (3)垂
考點透析
【例1】 (1)因為BC∥平面GEFH,BC?平面PBC,且平面PBC∩平面GEFH=GH,所以GH∥BC.
同理可證EF∥BC,因此GH∥EF.
(2)連接AC,BD交于點O,BD交EF于點K,連接OP,GK.
因為PA=PC,O是AC的中點,
所以PO⊥AC,同理可得PO⊥BD.
又BD∩AC=O,且AC,BD都在平面ABCD內,
所以PO⊥平面ABCD.
又平面GEFH⊥平面ABCD,且PO?平面GEFH,
所以PO∥平面GEFH.
因為平面PBD∩平面GEFH=GK,
所以PO∥GK
16、.所以GK⊥平面ABCD.
又EF?平面ABCD,所以GK⊥EF.
變式訓練
經典考題
真題體驗
1. (1)如圖,連接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方體,
知AD1∥BC1.
因為F,P分別是AD,DD1的中點,所以FP∥AD1.
從而BC1∥FP.
而FP?平面EFPQ,且BC1?平面EFPQ,
故直線BC1∥平面EFPQ.
(第1題)
(2)如圖,連接AC,BD,A1C1,則AC⊥BD.
由CC1⊥平面ABCD,BD?平面ABCD,
可得CC1⊥BD.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.
而AC1?平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.
因為M,N分別是A1B1,A1D1的中點,
所以MN∥BD,從而MN⊥AC1.
同理可證PN⊥AC1.
又PN∩MN=N,所以直線AC1⊥平面PQMN.