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2022年高考數(shù)學 第八篇 第8講 立體幾何中的向量方法(二)限時訓練 新人教A版

上傳人:xt****7 文檔編號:105293258 上傳時間:2022-06-11 格式:DOC 頁數(shù):8 大?。?06.02KB
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1、2022年高考數(shù)學 第八篇 第8講 立體幾何中的向量方法(二)限時訓練 新人教A版 一、選擇題(每小題5分,共20分) 1.已知向量m,n分別是直線l和平面α的方向向量、法向量,若cos〈m,n〉=-,則l與α所成的角為 (  ). A.30° B.60° C.120° D.150° 解析 設l與α所成的角為θ,則sin θ=|cos〈m,n〉|=,∴θ=30°. 答案 A 2.正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱BB1中點,G是DD1中點,F(xiàn)是BC上一點且FB=BC,則GB與EF所成的角為 (  ). A.3

2、0° B.120° C.60° D.90° 解析 如圖建立直角坐標系D-xyz, 設DA=1,由已知條件,得 G,B,E,F(xiàn),=, = cos〈,〉==0,則⊥. 答案 D 3.長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,AD=1,E為CC1的中點,則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為 (  ). A. B. C. D. 解析 建立坐標系如圖, 則A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0),C1(0,2,2). =(-1,0,2),=(-1,2,1), cos〈,〉==. 所以異

3、面直線BC1與AE所成角的余弦值為. 答案 B 4.(xx·杭州月考)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M、N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin〈,〉的值為 (  ). A. B. C. D. 解析 設正方體的棱長為2,以D為坐標原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標系(如圖),可知=(2,-2,1),=(2,2,-1), cos〈,〉=-,sin〈,〉=, 答案 B 二、填空題(每小題5分,共10分) 5.(xx·連云港模擬)若平面α的一個法向量為n=(4,1,1),直線l的一個方向向量為a=(-2,-3

4、,3),則l與α所成角的正弦值為________. 解析 cos〈n,a〉===-. 又l與α所成角記為θ,即sin θ=|cos〈n,a〉|=. 答案 . 6.如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB=BC=AA1,∠ABC=90°,點E、F分別是棱AB、BB1的中點,則直線EF和BC1所成的角是________. 解析 建立如圖所示的空間直角坐標系. 設AB=BC=AA1=2, 則C1(2,0,2),E(0,1,0),F(xiàn)(0,0,1), 則=(0,-1,1),=(2,0,2), ∴·=2, ∴cos〈,〉==, ∴EF和BC1所成角為60°.

5、 答案 60° 三、解答題(共25分) 7.(12分)如圖,四面體ABCD中,AB、BC、BD兩兩垂直,AB=BC=BD=4,E、F分別為棱BC、AD的中點. (1)求異面直線AB與EF所成角的余弦值; (2)求E到平面ACD的距離; (3)求EF與平面ACD所成角的正弦值. 解 如圖,分別以直線BC、BD、BA為x、y、z軸建立空間直角坐標系,則各相關點的坐標為A(0,0,4)、C(4,0,0)、D(0,4,0),E(2,0,0)、F(0,2,2). (1)∵=(0,0,-4),=(-2,2,2), ∴|cos〈,〉|==, ∴異面直線AB與EF所成角的余弦值為. (2

6、)設平面ACD的一個法向量為n=(x,y,1), 則∵=(4,0,-4),=(-4,4,0), ∴ ∴x=y(tǒng)=1,∴n=(1,1,1,). ∵F∈平面ACD,=(-2,2,2), ∴E到平面ACD的距離為d===. (3)EF與平面ACD所成角的正弦值為|cos〈n,〉|== 8.(13分)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,PA⊥平面ABCD,PA=3,AD=2,AB=2,BC=6. (1)求證:BD⊥平面PAC; (2)求二面角P-BD-A的大?。? (1)證明 如圖,建立空間直角坐標系, 則A(0,0,0),B(2,0,0),

7、 C(2,6,0),D(0,2,0),P(0,0,3), ∴=(0,0,3),=(2,6,0), =(-2,2,0). ∴·=0,·=0.∴BD⊥AP,BD⊥AC. 又∵PA∩AC=A,∴BD⊥面PAC. (2)解 設平面ABD的法向量為m=(0,0,1), 設平面PBD的法向量為n=(x,y,z), 則n·=0,n·=0.∵=(-2,0,3), ∴解得 令x=,則n=(,3,2),∴cos〈m,n〉==. ∴二面角P-BD-A的大小為60°. B級 能力突破(時間:30分鐘 滿分:45分) 一、選擇題(每小題5分,共10分) 1.如圖,在四面體ABCD中,AB=

8、1,AD=2,BC=3,CD=2.∠ABC=∠DCB=,則二面角A-BC-D的大小為 (  ). A.    B.    C.    D. 解析 二面角A-BC-D的大小等于AB與CD所成角的大小.=++.而2=2+2+2-2||·||·cos 〈,〉,即12=1+4+9-2×2cos〈,〉,∴cos〈,〉=,∴AB與CD所成角為,即二面角A-BC-D的大小為.故選B. 答案 B 2.如圖,設動點P在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1的對角線BD1上,記=λ.當∠APC為鈍角時,則λ的取值范圍是 (  ). A.     B.

9、 C.     D. 解析 由題設可知,以、、為單位正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標系D -xyz,則有A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1). 由=(1,1,-1),得 =λ=(λ,λ,-λ),所以=+=(-λ,-λ,λ)+(1,0,-1)=(1-λ,-λ,λ-1),=+=(-λ,-λ,λ)+(0,1,-1)=(-λ,1-λ,λ-1). 顯然∠APC不是平角,所以∠APC為鈍角等價于cos ∠APC=cos〈,〉=<0,這等價于·<0, 即(1-λ)(-λ)+(-λ)(1-λ)+(λ-1)2=(λ-1)(3λ-1)<0,得<λ< 1.因

10、此,λ的取值范圍為. 答案 D 二、填空題(每小題5分,共10分) 3.(xx·全國)已知點E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1,CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值為________. 解析 如圖,建立直角坐標系D-xyz,設DA=1由已知條件A(1,0,0),E,F(xiàn), =,=, 設平面AEF的法向量為n=(x,y,z), 面AEF與面ABC所成的二面角為θ, 由得 令y=1,z=-3,x=-1,則n=(-1,1,-3) 平面ABC的法向量為m=(0,0,-1) cos θ=cos〈n,m〉=,tan θ

11、=. 答案  4.在三棱錐O-ABC中,三條棱OA,OB,OC兩兩垂直,且OA=OB=OC,M是AB邊的中點,則OM與平面ABC所成角的正切值是________. 解析 如圖所示建立空間直角坐標系,設OA=OB=OC=1,則A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),M,故=(-1,1,0),=(-1,0,1),=. 設平面ABC的法向量為n=(x,y,z), 則由得 令x=1,得n=(1,1,1).故cos〈n,〉==, 所以OM與平面ABC所成角的正弦值為,其正切值為. 答案  三、解答題(共25分) 5.(12分)(xx·新課標全國)如圖,直三棱柱ABC

12、-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中點,DC1⊥BD. (1)證明:DC1⊥BC. (2)求二面角A1-BD-C1的大?。? (1)證明 由題設知,三棱柱的側(cè)面為矩形.由于D為AA1的中點, 故DC=DC1. 又AC=AA1,可得DC+DC2=CC,所以DC1⊥DC. 而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD. 因為BC?平面BCD,所以DC1⊥BC. (2)解 由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,則BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1兩兩相互垂直.以C為坐標原點,的方向為x軸的正方向,||為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系 C-

13、xyz.由題意知A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2). 則=(0,0,-1),= (1,-1,1),=(-1,0,1). 設n=(x,y,z)是平面A1B1BD的法向量,則 即可取n=(1,1,0). 同理,設m=(x,y,z)是平面C1BD的法向量,則 即可取m=(1,2,1). 從而cos〈n,m〉==. 故二面角A1-BD-C1的大小為30°. 6.(13分)(xx·全國)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,PA⊥底面ABCD,AC=2,PA=2,E是PC上的一點,PE=2EC. (1)證明:PC⊥平面BED; (2

14、)設二面角A-PB-C為90°,求PD與平面PBC所成角的大?。? (1)證明 以A為坐標原點,射線AC為x軸的正半軸,建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz. 設C(2,0,0),D(,b,0),其中b>0,則P(0,0,2),E, B.于是=(2,0,-2),=,=, 從而·=0,·=0, 故PC⊥BE,PC⊥DE. 又BE∩DE=E,所以PC⊥平面BDE. (2)解?。?0,0,2),=(,-b,0). 設m=(x,y,z)為平面PAB的法向量,則m·=0,且 m·=0,即2z=0且x-by=0,令x=b,則m=(b,,0). 設n=(p,q,r)為平面PBC的法向量, 則n·=0,且n·=0, 即2p-2r=0且+bq+r=0, 令p=1,則r=,q=-,n=. 因為面PAB⊥面PBC,故m·n=0,即b-=0,故b=,于是n=(1,-1,),=(-,-,2), cos〈n,〉==,〈n,〉=60°. 因為PD與平面PBC所成角和〈n,〉互余, 故PD與平面PBC所成的角為30°. 特別提醒:教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.

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