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1、2022年高考數(shù)學(xué) 第七篇 第4講 基本不等式限時(shí)訓(xùn)練 新人教A版
一、選擇題(每小題5分,共20分)
1.(xx·寧波模擬)若a>0,b>0,且a+2b-2=0,則ab的最大值為 ( ).
A. B.1 C.2 D.4
解析 ∵a>0,b>0,a+2b=2,∴a+2b=2≥2,即ab≤.當(dāng)且僅當(dāng)a=1,b=時(shí)等號(hào)成立.
答案 A
2.函數(shù)y=(x>1)的最小值是 ( ).
A.2+2 B.2-2
C.2 D.2
解析 ∵x>1,∴x-1>0,
∴y==
==(x-1)++2≥2+2.
當(dāng)且
2、僅當(dāng)x-1=,即x=+1時(shí)取等號(hào).
答案 A
3.(xx·陜西)小王從甲地到乙地的時(shí)速分別為a和b(a=0,∴v>a.
答案 A
4.(xx·杭州模擬)設(shè)a>b>c>0,則2a2++-10ac+25c2的最小值是
( ).
A.2 B.4 C.2 D.5
解析 2a2++-10ac+25c2
=2a2+-10ac+25
3、c2
=2a2+-10ac+25c2
≥2a2+-10ac+25c2(b=a-b時(shí)取“=”)
=2a2+-10ac+25c2=+(a-5c)2≥4
,故選B.
答案 B
二、填空題(每小題5分,共10分)
5.(xx·浙江)設(shè)x,y為實(shí)數(shù).若4x2+y2+xy=1,則2x+y的最大值是________.
解析 依題意有(2x+y)2=1+3xy=1+×2x×y≤1+·2,得(2x+y)2≤1,即|2x+y|≤.當(dāng)且僅當(dāng)2x=y(tǒng)=時(shí),2x+y取最大值.
答案
6.(xx·北京朝陽期末)某公司購(gòu)買一批機(jī)器投入生產(chǎn),據(jù)市場(chǎng)分析,每臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤(rùn)y(單位:萬元)與
4、機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)間x(單位:年)的關(guān)系為y=-x2+18x-25(x∈N*),則當(dāng)每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)________年時(shí),年平均利潤(rùn)最大,最大值是________萬元.
解析 每臺(tái)機(jī)器運(yùn)轉(zhuǎn)x年的年平均利潤(rùn)為=18-,而x>0,故≤18-2=8,當(dāng)且僅當(dāng)x=5時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)年平均利潤(rùn)最大,最大值為8萬元.
答案 5 8
三、解答題(共25分)
7.(12分)已知x>0,y>0,且2x+8y-xy=0,
求:(1)xy的最小值; (2)x+y的最小值.
解 ∵x>0,y>0,2x+8y-xy=0,
(1)xy=2x+8y≥2,∴≥8,∴xy≥64.
故xy的最小值為64.
(2)由2x+8
5、y=xy,得:+=1,
∴x+y=(x+y)·1=(x+y)
=10++≥10+8=18.
故x+y的最小值為18.
8.(13分)已知x>0,y>0,且2x+5y=20.
(1)求u=lg x+lg y的最大值;
(2)求+的最小值.
解 (1)∵x>0,y>0,
∴由基本不等式,得2x+5y≥2.
∵2x+5y=20,∴2≤20,xy≤10,當(dāng)且僅當(dāng)2x=5y時(shí),等號(hào)成立.
因此有解得
此時(shí)xy有最大值10.
∴u=lg x+lg y=lg(xy)≤lg 10=1.
∴當(dāng)x=5,y=2時(shí),u=lg x+lg y有最大值1.
(2)∵x>0,y>0,∴+=·=
6、≥=,當(dāng)且僅當(dāng)=時(shí),等號(hào)成立.
由解得
∴+的最小值為.
B級(jí) 能力突破(時(shí)間:30分鐘 滿分:45分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.已知x>0,y>0,且+=1,若x+2y>m2+2m恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ( ).
A.(-∞,-2]∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)
C.(-2,4) D.(-4,2)
解析 ∵x>0,y>0且+=1,
∴x+2y=(x+2y)=4++
≥4+2 =8,當(dāng)且僅當(dāng)=,
即x=4,y=2時(shí)取等號(hào),
∴(x+2y)min=8,要使x+2y>m2+
7、2m恒成立,
只需(x+2y)min>m2+2m恒成立,
即8>m2+2m,解得-40),l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)A,B,l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左至右相交于點(diǎn)C,D.記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b.當(dāng)m變化時(shí),的最小值為 ( ).
A.16 B.8 C.8 D.4
解析 如圖,作出y=|log2x|的圖象,由圖可知A,C點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(0,1)內(nèi),B,D點(diǎn)的橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi),
8、而且xC-xA與xB-xD同號(hào),所以=,根據(jù)已知|log2xA|=m,即-log2xA=m,所以xA=2-m.同理可得xC=2-,xB=2m,xD=2,所以====2+m,由于+m=+-≥4-=,當(dāng)且僅當(dāng)=,即2m+1=4,即m=時(shí)等號(hào)成立,故的最小值為2=8.
答案 B
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.若正數(shù)a,b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是________.
解析 由a,b∈R+,由基本不等式得a+b≥2,
則ab=a+b+3≥2+3,
即ab-2-3≥0?(-3)(+1)≥0? ≥3,
∴ab≥9.
答案 [9,+∞)
4.已知兩正數(shù)x,y滿足x+y
9、=1,則z=的最小值為________。
解析 z==xy+++=xy++=+xy-2,令t=xy,則00).
(1)求f(x)的最大值;
(2)證明:對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,恒有f(a)
10、值2,
∴對(duì)任意實(shí)數(shù)a,b,恒有f(a)