《2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第三講 平面向量 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第三講 平面向量 理(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學二輪復習 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第三講 平面向量 理
1.向量的加法運算符合平行四邊形法則和三角形法則;向量的減法運算符合三角形法則.
1.如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中不共線向量e1,e2叫做基底.
2.平面向量數(shù)量積的定義.
已知兩非零向量a,b,則a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)為_|a||b|cos_θ,記作a·b= |a||b|cos_θ,其中θ=〈a,b〉,|b|cos_θ叫做向量b在向量a方向上的投影.
3.
2、兩非零向量平行、垂直的充要條件.
若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則
(1)a∥b?a=λb(λ≠0)?x1y2-x2y1=0.
(2)a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.
4.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),a,b的夾角為θ,則cos θ== .
判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).
(1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段來表示向量.(×)
(2)|a|與|b|是否相等與a,b的方向無關.(√)
(3)已知兩向量a,b,若|a|=1,|b|=1,則|a+b|=2.(×)
(4)△ABC中,D是BC中
3、點,則=(+).(√)
(5)向量與向量是共線向量,則A,B,C,D四點在一條直線上.(×)
(6)當兩個非零向量a,b共線時,一定有b=λa,反之成立.(√)
1.設P是△ABC所在平面內(nèi)的一點,+=2,則(B)
A.+=0 B.+=0
C.+=0 D.++=0
解析:因為+=2,所以點P為線段AC的中點,所以應該選B.
2.(xx·新課標Ⅱ卷)設向量a,b滿足|a+b|=,|a-b|=,則a·b=(A)
A.1 B.2 C.3 D.4
解析:由已知得,a2+2a·b+b2=10,a2-2a·b+b2=6,兩式相減得,4a·b=4,故a·b=1.
3.(
4、xx·北京卷)設a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a∥b”的(A)
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:因為a·b=|a||b|cos〈a,b〉,所以當a·b=|a||b|時,有cos〈a,b〉=1,即〈a,b〉=0°,此時a,b同向,所以a∥b.反過來,當a∥b時,若a,b反向,則〈a,b〉=180°,a·b=-|a||b|;若a,b同向,則〈a,b〉=0°,a·b=|a||b|,故“a·b=|a||b|”是“a∥b”的充分而不必要條件.
4.(xx·廣東卷)在平面直角坐標系xOy中,已知四邊形ABCD是平行四
5、邊形,=(1,-2),=(2,1),則·=(D)
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:試題分析:因為四邊形ABCD是平行四邊形,所以=+=(1,-2)+(2,1)=(3,-1)所以·=2×3+1×(-1)=5,故選D.
一、選擇題
1.已知兩個非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,則下面結論正確的是(B)
A.a(chǎn)∥b B.a(chǎn)⊥b
C.|a|=|b| D.a(chǎn)+b=a-b
解析:解法一 由|a+b|=|a-b|,平方可得a·b=0, 所以a⊥b.故選B.
解法二 根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|a-b|分別為以向量a,b為鄰邊的平
6、行四邊形的兩條對角線的長,因為|a+b|=|a-b|,所以該平行四邊形為矩形,所以a⊥b.故選B.
2. (xx·北京卷)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a-b=(A)
A.(5,7) B.(5,9)
C.(3,7) D.(3,9)
解析:因為2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故選A.
3.設向量a、b滿足:|a|=1,|b|=2,a·(a-b)=0,則a與b的夾角是(B)
A.30° B.60°
C.90° D.120°
4.(xx·福建卷)設a=(1,2),b
7、=(1,1),c=a+kb.若b⊥c,則實數(shù)k的值等于(A)
A.- B.-
C. D.
解析:c=a+kb=(1+k,2+k),又b⊥c,所以1×(1+k)+1×(2+k)=0,解得k=-.
5.已知:=(-3,1),=(0,5),且∥,⊥,則點C的坐標為(B)
A. B.
C. D.
解析:設點C(x,y),
=-=(x+3,y-1),
∵∥,∴x+3=0.∴x=-3.
又=-=(x,y-5),=(3,4),
又∵⊥,
∴3x+4(y-5)=0.
∴y=.∴C.
6.(xx·福建卷)已知⊥,||=,
8、||=t,若P點是ΔABC所在平面內(nèi)一點,且=+,·的最大值等于(A)
A.13 B.15 C.19 D.21
解析:以A為坐標原點,建立平面直角坐標系,如圖所示,
則B,C,=(1,0)+4(0,1)=(1,4),即P(1,4),所以=,=(-1,t-4),因此·=1--4t+16=17-,因為+4t≥2=4, 所以·的最大值等于13,當=4t,即t=時取等號.
二、填空題
7.(xx·北京卷)在△ABC中,點M,N滿足=2,=.若=x+y,則x=;y=-.
解析:∵ =2,∴ =.
∵ =,∴ =(+),
∴ =-=(+)-=-.
又=x+y,∴ x=,y=
9、-.
8.如圖,兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起,若=x+y,則x=________,y=________.
解析:如圖,作DF⊥AB交AB延長線于D,設AB=AC=1?BC=DE=,
∵∠DEB=60°,∴BD=.由∠DBF=45°,
得DF=BF=×=,故x=1+,y=.
答案:1+
9.在平面直角坐標系xOy中,四邊形ABCD的邊AB∥DC,AD∥BC,已知點A(-2,0),B(6,8),C(8,6),則點D的坐標為(0,-2).
解析:平行四邊形ABCD中,==-=-?+=+,
∴=+-=(-2,0)+(8,6)-(6,8)=(0,-2),即點D坐標為(
10、0,-2).
三、解答題
10.已知向量=(cos x,sin x), =,定義函數(shù)f(x)=·.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)當⊥時,求銳角x的值.
解析:(1)f(x)=-sin xcos x+sin 2x
=-
=-sin,
∴2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∈Z,
即kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
∴f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(k∈Z).
(2)當⊥時,f(x)=0,
即-sin=0,
sin=,
又<2x+<,故2x+=,故x=.
11.已知向量a=(sin θ,-2)與b=(1,cos θ)互相垂直,其中θ∈.
(1)求sin θ和cos θ的值;
(2)若sin(θ-φ)=,0<φ<,求cos φ的值.
解析:(1)∵a與b互相垂直,則a·b=sin θ-2cos θ=0,即sin θ=2cos θ,代入sin2 θ+cos2 θ=1得sin θ=±,cos θ=±,
又θ∈,∴sin θ=,cos θ=.
(2)∵0<φ<,0<θ<,∴-<θ-φ<.
∴cos(θ-φ)==.
∴cos φ=cos[θ-(θ-φ)]=cos θcos(θ-φ)+sin θsin(θ-φ)=×+×=.