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1、2022年高二數(shù)學(xué) 8.5拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(第一課時(shí))大綱人教版必修 課時(shí)安排 2課時(shí) 從容說課 拋物線是繼橢圓、雙曲線之后的第三種圓錐曲線，與前兩者不同的是學(xué)生在初中己學(xué)過“二次函數(shù)的圖象是拋物線”，在物理上也研究過“拋物線是拋體的運(yùn)動(dòng)軌跡”，這些足以說明拋物線在實(shí)際生活中應(yīng)用的廣泛性，在這節(jié)內(nèi)容里我們將更深入地研究拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程。 通過類比的思想，可根據(jù)橢圓與雙曲線的第二定義順利得出拋物線及其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的定義，接下來用同樣的思想建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一共有四種（開口向上、向下、向左或向右），值得一提的是標(biāo)準(zhǔn)方程中的“P”P的幾何意義以及焦點(diǎn)坐標(biāo)

2、、準(zhǔn)線方程與P的關(guān)系都是本節(jié)重點(diǎn).學(xué)生應(yīng)掌握如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求P、焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，或根據(jù)后三者求標(biāo)準(zhǔn)方程，特別是對(duì)于一些有關(guān)距離的最值問題，學(xué)生必須靈活運(yùn)用拋物線定義給予解決，讓其從中體會(huì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的重要. ●課 題 §8.5.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（一） ●教學(xué)目標(biāo) （一）教學(xué)知識(shí)點(diǎn) 1.拋物線的定義. 2.拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式及其對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線. （二）能力訓(xùn)練要求 1.掌握拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.掌握拋物線的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線及方程與焦點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系. （三）德育滲透目標(biāo) 1.訓(xùn)練學(xué)生化簡方程的運(yùn)算能力. 2.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、分類討論的思

3、想. 3.根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義，可以對(duì)學(xué)生進(jìn)行運(yùn)動(dòng)、變化、對(duì)立、統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育. ●教學(xué)重點(diǎn) 1.拋物線的定義及焦點(diǎn)與準(zhǔn)線. 2.拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式，以及p的意義. ●教學(xué)難點(diǎn) 1.拋物線的四種圖形及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo) 2．拋物線定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線等知識(shí)的靈活運(yùn)用. ●教學(xué)方法 啟發(fā)引導(dǎo)式 通過回憶橢圓與雙曲線的第二定義可引入拋物線的定義，從而推出拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程. ●教具準(zhǔn)備 投影片兩張 第一張：拋物線的四種形式（記作§8.5.1 A） 第二張：例題與課時(shí)小結(jié)（記作§8.5.1 B） ●教學(xué)過程 Ⅰ.課題導(dǎo)入 ［師］我們知道，到一個(gè)

4、定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離的比是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)常數(shù)在（0，1）內(nèi)變化時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)常數(shù)大于1時(shí)，軌跡是雙曲線；那么當(dāng)常數(shù)等于1時(shí)軌跡是什么曲線呢？這就是今天我們要學(xué)習(xí)的第三種圓錐曲線——拋物線，以及它的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程. 板書課題“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（1）”. ［師］現(xiàn)在，同學(xué)們思考兩個(gè)問題： 1.對(duì)拋物線大家已有了哪些認(rèn)識(shí)？ ［生］在物理學(xué)中，拋物線被認(rèn)為是拋體運(yùn)動(dòng)的軌跡；在數(shù)學(xué)中，拋物線是二次函數(shù)的圖象. ［師］2.二次函數(shù)中拋物線的圖象特征是什么？ ［生］在二次函數(shù)中研究的拋物線，它的對(duì)稱軸平行于y軸，開口向上或開口向下兩種情形 ［師］如果拋物線的對(duì)稱軸不平行于y

5、軸，那么就不能作為二次函數(shù)的圖象來研究了.今天我們突破函數(shù)研究中的限制，從一般意義上來研究拋物線. Ⅱ.講授新課 ［師］如圖所示，把一根直尺固定在圖上直線l的位置，把一塊三角尺的一條直角邊緊靠著直尺的邊緣，再把一條細(xì)繩的一端固定在三角尺的另一條直角邊的一點(diǎn)A，取繩長等于點(diǎn)A到直角頂點(diǎn)C的長（即點(diǎn)A到直線l的距離），并且把繩子的另一端固定在圖板上的一點(diǎn)F，用鉛筆尖扣著繩子，使點(diǎn)A到筆尖的一段繩子緊靠著三角尺，然后將三角尺沿著直尺上下滑動(dòng)，筆尖就在圖板上描出了一條曲線.請(qǐng)同學(xué)們說出這條曲線有什么特征？ ［生］這條曲線上任意一點(diǎn)P到F的距離與它到直線l的距離相等.再把圖板繞點(diǎn)F旋轉(zhuǎn)90°，曲線

6、即為初中見過的拋物線. ［師］現(xiàn)在我們一起歸納拋物線的定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線.下面根據(jù)拋物線的定義來求其方程，大家先想想一般求曲線方程的步驟. ［生］首先建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，然后在曲線上任取一點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為（x,y)，再根據(jù)題意找出x與y的關(guān)系即為所求方程. ［師］現(xiàn)在大家自己求拋物線方程，根據(jù)拋物線定義，知道F是定點(diǎn)，l是定直線，從而F到l的距離為定值，設(shè)為p，則p是大于0的數(shù). 以下是學(xué)生的幾種不同求法： 解法一：以l為y軸，過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如右圖所示），則定點(diǎn)F（p,

7、0) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y)，由拋物線定義得： 化簡得： y2=2px-p2(p＞0) 解法二：以定點(diǎn)F為原點(diǎn)，過點(diǎn)F垂直于l的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系（如右圖所示），則定點(diǎn)F（0，0），l的方程為x=-p. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y)，由拋物線定義得： =|x+p| 化簡得： y2=2px+p2(p＞0) 解法三：取過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸建立直角坐標(biāo)系，如右圖所示，則有F（,0）,l的方程為x=-. 設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（x,y），由拋物線定義得： 化簡得 y2=2px(p＞0) ［師］通過比較可以看出，第三種解法的答案不僅

8、具有較簡的形式，而且方程中一次項(xiàng)的系數(shù)是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的2倍.我們把這個(gè)方程叫做拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示拋物線的焦點(diǎn)在x軸的正半軸上，坐標(biāo)是（,0），準(zhǔn)線方程是x=-.現(xiàn)在大家開始做課本P118上的練習(xí)第1題. 學(xué)生們經(jīng)過一番運(yùn)算，得出當(dāng)坐標(biāo)系變?yōu)橐赃^焦點(diǎn)且垂直于直線l的直線作為y軸，原點(diǎn)和拋物線都不變時(shí)，拋物線方程為x2=2py. ［師］一條拋物線，由于它在坐標(biāo)系的位置不同，方程也不同，有四種不同的情況，如下表所示：（打出投影片§8.5.1 A） 圖形 標(biāo)準(zhǔn)方程 焦點(diǎn)坐標(biāo) 準(zhǔn)線方程 y2=2px(p＞0) （,0） x=- y2=-2px(p＞0)

9、 （-,0） x= x2=2py(p＞0) （0,） y=- x2=-2py(p＞0) （0,-） y= ［師］下面結(jié)合表格，看下列例題：（打開§8.5.1 B) 1.已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 2.已知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程. 分析：1.先根據(jù)拋物線方程確定拋物線是四種中哪一種，求出p，再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程. 2.先根據(jù)焦點(diǎn)位置確定拋物線類型，設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程，求出p，再寫出標(biāo)準(zhǔn)方程. 解：1.∵拋物線方程為y2=6x ∴p=3 則焦點(diǎn)坐標(biāo)是（，0） 準(zhǔn)線方程

10、是x=- 2.∵焦點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，且=2 ∴p=4 則所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x2=-8y Ⅲ.課堂練習(xí) 請(qǐng)學(xué)生板演 （1）根據(jù)下列條件寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程： ①焦點(diǎn)是F(0,3)， ②準(zhǔn)線方程是x=-， ③焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2. 解：①∵焦點(diǎn)是F（0，3） ∴拋物線開口向上，且=3 則p=6 ∴所求拋物線方程是 x2=12y ②∵準(zhǔn)線方程是x=- ∴拋物線開口向右，且= 則p= ∴所求拋物線方程是y2=x ③∵焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離是2, ∴p=2 ∴所求拋物線方程是 y2=4x、y2=-4x、x2=4y、x2=-4y (2)求下列拋物線的焦點(diǎn)坐

11、標(biāo)和準(zhǔn)線方程： ①y2=20x, ②x2+8y=0, ③2y2+5x=0. 解：①∵拋物線方程為y2=20x, ∴p=10 則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(5,0) 準(zhǔn)線方程是x=-5 ②∵拋物線方程是x2+8y=0,即x2=-8y ∴p=4 則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F（0，-2） 準(zhǔn)線方程是y=2 ③∵拋物線方程是2y2+5x=0，即y2=-x ∴p= 則焦點(diǎn)坐標(biāo)是F(-,0) 準(zhǔn)線方程是x=. Ⅳ.課時(shí)小結(jié) 由于拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式，且每一種形式都只含有一個(gè)參數(shù)p，因此只要給出確定p的一個(gè)條件就可以求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.當(dāng)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程給定以后，它的標(biāo)準(zhǔn)方程就惟一確定. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P119習(xí)題8.5 2、4 （二）預(yù)習(xí)內(nèi)容：該小節(jié)剩下的兩道例題. ●板書設(shè)計(jì) §8.5.1 拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程(一) 拋物線 定義 標(biāo)準(zhǔn)方程 推導(dǎo) 例題 練習(xí)題 課時(shí)小結(jié)