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1、2022年高三數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 直線方程的概念與直線的斜率教案 理 教材分析 這節(jié)內(nèi)容從一個(gè)具體的一次函數(shù)及其圖像入手，引入直線方程和方程的直線的概念．從研究直線方程的需要出發(fā)，引入直線在平面直角坐標(biāo)系中的傾斜角和斜率的概念．然后建立了過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式．直線方程的概念是通過(guò)初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)的圖像引入的，是將一次函數(shù)與其圖像的關(guān)系轉(zhuǎn)換成直線方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系．對(duì)這種關(guān)系的學(xué)習(xí)，要通過(guò)觀察圖像，研究圖像，利用數(shù)形結(jié)合的思想，歸納和概括出什么是直線的方程和方程的直線，使學(xué)生對(duì)直線和直線方程的關(guān)系有一個(gè)初步了解．傾斜角和斜率公式都是反映直線相對(duì)于ｘ軸正方向的傾斜程度的，確切地說(shuō)，傾斜角是直接反

2、映這種傾斜程度的，斜率公式是利用直線上點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)研究直線的傾斜程度的．解析幾何是用數(shù)來(lái)研究形的，在研究直線時(shí)，使用斜率公式比使用傾斜角更方便，因此正確理解斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，是學(xué)習(xí)這節(jié)內(nèi)容的重點(diǎn)，也是學(xué)好平面解析幾何的關(guān)鍵． 教學(xué)目標(biāo) 1. 通過(guò)對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)，了解直線的方程和方程的直線的概念，理解直線的傾斜角和斜率的概念，會(huì)準(zhǔn)確地表述直線的傾斜角和斜率的意義． 2. 理解并掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線的斜率公式，并能用其解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題． 3. 初步培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，提高學(xué)生聯(lián)系、轉(zhuǎn)化、歸納、概括的思維能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 任務(wù)分

3、析 這節(jié)內(nèi)容是在一次函數(shù)的基礎(chǔ)上，通過(guò)研究一次函數(shù)和它的圖像的關(guān)系，而引入的直線和方程的關(guān)系．對(duì)于直線和方程的關(guān)系，學(xué)生接受起來(lái)可能比較困難，因此在學(xué)習(xí)時(shí)要始終結(jié)合具體的直線方程和它的圖像來(lái)研究，以增強(qiáng)直觀性，便于被學(xué)生理解．直線的傾斜角和斜率是描述直線傾斜程度的，在學(xué)習(xí)過(guò)程中，一方面要注意有關(guān)概念之間的區(qū)別，另一方面要突出它們之間的聯(lián)系，要充分利用圖像進(jìn)行具體分析，讓學(xué)生注意斜率的變化和傾斜角的關(guān)系，特別是當(dāng)直線的傾斜角為直角時(shí)，直線的斜率不存在的情況，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)：有斜率必有傾斜角與之對(duì)應(yīng)；反之，有傾斜角必有斜率與之對(duì)應(yīng)是不夠確切的．在這節(jié)的學(xué)習(xí)中，要讓學(xué)生體會(huì)“形”與“數(shù)”相互轉(zhuǎn)化的思想

4、，培養(yǎng)學(xué)生分析、聯(lián)想、抽象、概括的能力． 教學(xué)設(shè)計(jì) 一、問(wèn)題情境 1. 在初中，我們學(xué)習(xí)過(guò)一次函數(shù)y＝kx＋b，（k≠0），知道它的圖像是一條直線l，那么滿足y＝kx＋b的有序?qū)崝?shù)對(duì)（x，y）與直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)有什么關(guān)系？能否把它推廣到一般的二元一次方程和直線？ 2. 作出函數(shù)y＝2x＋1的圖像，研究滿足y＝2x＋1的有序?qū)崝?shù)對(duì)與y＝2x＋1的圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系． 二、建立模型 1. 學(xué)生分析討論，師生共同總結(jié) （1）有序?qū)崝?shù)對(duì)（0，1）滿足函數(shù)y＝2x＋1，在直線l上就有一點(diǎn)A，它的坐標(biāo)是（0，1）；又如有序?qū)崝?shù)對(duì)（2，5）滿足函數(shù)y＝2x＋1，在直線l上就有一點(diǎn)B，它的坐

5、標(biāo)是（2，5）． （2）在直線l上取一點(diǎn)P（1，3），則有序?qū)崝?shù)對(duì)（1，3）就滿足函數(shù)y＝2x＋1；又如在直線l上取一點(diǎn)Q（－1，－1），則有序?qū)崝?shù)（－1，－1）就滿足函數(shù)y＝2x＋1． 結(jié)論：一般地，滿足函數(shù)式y(tǒng)＝kx＋b的每一對(duì)x，y的值，都是直線l上的點(diǎn)的坐標(biāo)；反之，直線l上每一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都滿足函數(shù)式y(tǒng)＝kx＋b，因此，一次函數(shù)y＝kx＋b的圖像是一條直線，它是以滿足y＝kx＋b的每一對(duì)x，y的值為坐標(biāo)的點(diǎn)構(gòu)成的． 2. 教師明晰 從方程的角度看，函數(shù)y＝kx＋b可以看作二元一次方程y－kx－b＝0，這樣“滿足一次函數(shù)y＝kx＋b的每一對(duì)（x，y）的值”，就是“二元一

6、次方程y－kx－b＝0的解x，y”；以方程y－kx－b＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就在函數(shù)y＝kx＋b的圖像上；反過(guò)來(lái)，函數(shù)y＝kx＋b的圖像上的任一點(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程y－kx－b＝0，這樣直線和方程就建立了聯(lián)系． 一般地，如果以一個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是某條直線上的點(diǎn)；反之，這條直線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解，那么這個(gè)方程叫作這條直線的方程；這條直線叫這個(gè)方程的直線．由于方程y＝kx＋b的圖像是一條直線，因而我們今后就常說(shuō)直線y＝kx＋b． 練習(xí)：已知方程2x＋3y＋6＝0． （1）把這個(gè)方程改寫成一次函數(shù)． （2）畫出這個(gè)方程對(duì)應(yīng)的直線l． （3）判定點(diǎn)（，1），（－3，0）是否在直線ｌ上．

7、 進(jìn)一步思考如下問(wèn)題： 哪些條件可以確定一條直線？在平面直角坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)Ｐ的任何一條直線l，對(duì)x軸的相應(yīng)位置有哪些情形？如何刻畫它們的相對(duì)位置？ 3. 通過(guò)學(xué)生討論，師生共同總結(jié) 直線相對(duì)x軸的情形有四種，如圖所示： 通過(guò)分析四種情形，師生共同得出：直線相對(duì)ｘ軸的位置情形，可用直線l和x軸所成的角來(lái)描述．我們規(guī)定：x軸正向與直線向上的方向所成的角叫作這條直線的傾斜角，與x軸平行或重合的直線的傾斜角為零度角． 問(wèn)題：（1）在直角坐標(biāo)系中，畫出過(guò)點(diǎn)P（－1，2），傾斜角分別為45°，150°，0°，90°的四條直線． （2）直線的傾斜角的取值范圍是怎樣的？ 通過(guò)討論師生共同明

8、確：直線的傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°．在此范圍的直角坐標(biāo)平面上的任何一條直線都有唯一的傾斜角，而每一個(gè)傾斜角確定一條直線的方向．傾斜角直觀地表示了直線相對(duì)x軸正方向的傾斜程度． 從上面的討論可以看出，直線在坐標(biāo)系中的傾斜程度可以用傾斜角直觀地來(lái)表示．我們知道，當(dāng)一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)確定時(shí)，這條直線也就隨之確定了，那么現(xiàn)在的問(wèn)題是：如果已知直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），那么如何用x1，y1，x2，y來(lái)量化直線P1P2的傾斜程度呢？ 在教師的啟發(fā)下，引導(dǎo)學(xué)生作如下探索： 直線y＝kx＋b被其上的任意兩個(gè)不同的點(diǎn)唯一確定（如圖22-3）．因此，由該直線上任意兩點(diǎn)A（

9、x1，y1），B（x2，y2）的坐標(biāo)可以計(jì)算出k的值． 由于x1，y1和x2，y2是直線方程的兩組解，所以 y1＝kx1＋b， y2＝kx2＋b． 兩式相減，得y2－y1＝kx2－kx2＝k（x2－x1）． 所以 由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求該直線的斜率ｋ與這兩點(diǎn)在直線上的順序無(wú)關(guān)，可知 如果令Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1，則Δx表示變量x的改變量，Δy表示相應(yīng)的y的改變量．于是 因此，我們把直線y＝kx＋b中的系數(shù)k叫作該直線的斜率．垂直于x軸的直線不存在斜率． 想想看：（1）在函數(shù)方程y＝kx中，如果ｘ表示某物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間（t），y表示在時(shí)刻x時(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)的距離（m

10、），那么k表示的意義是什么？k＝60，120，…的具體意義是什么？ （2）如果在函數(shù)方程y＝120x中，x表示某商店銷售某個(gè)商品的數(shù)量，y表示銷售所得的總收入（元），那么斜率k＝120表示的意義是什么？ 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生明確下列事實(shí)： 除去垂直于x軸的直線外，只要知道直線上兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)，由（*）式就可以算出這條直線的斜率． 方程y＝kx＋b的圖像是通過(guò)點(diǎn)（0，b）且斜率為k的直線． 對(duì)一次函數(shù)確定的直線，它的斜率等于相應(yīng)函數(shù)值的改變量與自變量改變量的比值．直觀上可使我們感知到斜率k的值決定了這條直線相對(duì)于x軸的傾斜程度． 當(dāng)k＝0時(shí)，直線平行于x軸或與x軸重合，直線的傾斜角等于0

11、°． 當(dāng)k＞0時(shí)，直線的傾斜角為銳角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大．當(dāng)k＜0時(shí)，直線的傾斜角為鈍角；k值增大，直線的傾斜角也隨著增大． 垂直于ｘ軸的直線的傾斜角等于90°． 三、解釋應(yīng)用 ［例　題］ 1. 求經(jīng)過(guò)A（－2，0），B（－5，3）兩點(diǎn)的直線的斜率k． 解：x1＝－2，x2＝－5，y1＝0，y2＝3； Δx＝－2－（－5）＝3，Δy＝0－3＝－3． 故k＝＝－1，即k＝－1． 2. 畫出方程3x＋6y－8＝0的圖像． 解：由已知方程解出y，得y＝ 這是一次函數(shù)的表達(dá)式，它的圖像是一條直線．當(dāng)x＝0時(shí)，y＝；當(dāng)x＝2時(shí)y＝． 在坐標(biāo)平面內(nèi)描出點(diǎn)A（0，）

12、，B（2，），則經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線即為所求一次方程的圖像（如圖22-4）． 3. 若三點(diǎn)A（－2，3），B（3，－2），C（，m）共線，求m的值．解：因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以kAC＝kAB， 即，解得m＝. 思考總結(jié)：研究三點(diǎn)共線的常用方法． ［練　習(xí)］ 1. 經(jīng)過(guò)下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率． （1）（1，－1），（－3，2）．　?。?）（1，－2），（5，－2）． （3）（3，4），（－2，5）．　　?。?）（3，0），（0，）． 2. 已知過(guò)點(diǎn)P（－2，m）和Q（m，4）的直線的斜率等于1，求m的值． 3. 過(guò)點(diǎn)P（－1，2）的直線l與x軸和y

13、軸分別交于A，B兩點(diǎn)．若點(diǎn)P恰為線段AB的中點(diǎn)，求直線l的斜率． 四、拓展延伸 1. 直線的斜率k與直線的傾斜角α之間的關(guān)系怎樣？ 2. 已知點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2），P1P2的斜率為k，求證：｜P1P2｜＝｜x1－x2｜＝｜y1－y2｜． 3. 某城市出租汽車所收租車費(fèi)y（元）與行駛路程x（km）之間的關(guān)系可用下列關(guān)系式表示 你能用斜率來(lái)解釋這一實(shí)際問(wèn)題嗎？ 點(diǎn)　評(píng) 這篇案例首先通過(guò)實(shí)例一次函數(shù)的圖像和一次函數(shù)的解析式的關(guān)系，引入了直線的方程和方程的直線的概念，在概念的建立上充分利用了圖像的直觀性，注重了數(shù)形結(jié)合的思想，注意了概念的嚴(yán)謹(jǐn)性．接著由直線相對(duì)x軸的位置關(guān)系引入了直線的傾斜角和斜率的概念，為了用數(shù)研究形，又引入了過(guò)兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直線的斜率公式k＝，通過(guò)師生共同探索明確了傾斜角和斜率是表現(xiàn)直線在坐標(biāo)系中傾斜程度的．例題與練習(xí)的設(shè)計(jì)由淺入深，有利于鞏固所學(xué)內(nèi)容．拓展延伸的設(shè)計(jì)注意了前瞻性和創(chuàng)新，有利于加深理解所學(xué)內(nèi)容和培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題的能力．總之，這篇案例的設(shè)計(jì)比較好地體現(xiàn)了新課程的理念．