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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分專題五 解析幾何 第1講 直線與圓專題強(qiáng)化精練提能 理 1．(xx·日照一模)設(shè)向量a＝(a，1)，b＝(1，b)(ab≠0)，若a⊥b，則直線b2x＋y＝0與直線x－a2y＝0的位置關(guān)系是(　　) A．平行　　　　　 B．垂直 C．相交但不垂直 D．重合 解析：選B.由題意知兩直線都經(jīng)過點(diǎn)(0，0)，因?yàn)閍⊥b，所以a·b＝a＋b＝0，所以a＝－b，由于直線b2x＋y＝0的斜率為－b2，直線x－a2y＝0的斜率為，則(－b2)·＝－1，故兩直線垂直． 2．直線y－1＝k(x－3)被圓(x－2)2＋(y－2)2＝4所截得的最短弦長(zhǎng)等于(　　)

2、 A. B．2 C．2 D. 解析：選C.設(shè)圓心為C，顯然直線y－1＝k(x－3)過定點(diǎn)P(3，1)，在過P(3，1)的所有直線中，垂直于PC的直線所截得的弦長(zhǎng)最短，而|PC|＝， 所以最短弦長(zhǎng)為2＝2.故選C. 3．已知圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圓C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分別是圓C1，C2上的動(dòng)點(diǎn)，P為x軸上的動(dòng)點(diǎn)，則|PM|＋|PN|的最小值為(　　) A．5－4 B.－1 C．6－2 D. 解析：選A.兩圓的圓心均在第一象限，先求|PC1|＋|PC2|的最小值，作點(diǎn)C1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′1(2，－3)，則(|PC1|＋|PC2

3、|)min＝|C′1C2|＝5，所以(|PM|＋|PN|)min＝5－(1＋3)＝5－4. 4．若實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P(－1，0)在動(dòng)直線ax＋by＋c＝0上的射影為M，點(diǎn)N(3，3)，則|MN|的最大值是(　　) A．5＋ B．5－ C．5＋2 D．5－2 解析：選A.由實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，得2b＝a＋c，與直線方程比較，得動(dòng)直線ax＋by＋c＝0過點(diǎn)Q(1，－2)．因?yàn)镻M⊥QM，故點(diǎn)M在以PQ為直徑的圓上，且圓心為(0，－1)，半徑為，故|MN|的最大值為5＋. 5．(xx·德州模擬)若圓(x－a)2＋(y－a)2＝4上，總存在不同兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1

4、，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C.∪ D. 解析：選C.由于到原點(diǎn)距離等于1的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，方程為x2＋y2＝1，故若圓(x－a)2＋(y－a)2＝4上總存在不同兩點(diǎn)到原點(diǎn)的距離等于1，即轉(zhuǎn)化為兩圓相交，即1<＝|a|<3，解得a的取值范圍是∪. 6．(xx·黃岡模擬)已知直線l：Ax＋By＋C＝0(A，B不全為0)，兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若(Ax1＋By1＋C)·(Ax2＋By2＋C)>0，且|Ax1＋By1＋C|<|Ax2＋By2＋C|，則直線l(　　) A．與直線P1P2不相交 B．與線段P2P1的延長(zhǎng)線相交 C

5、．與線段P1P2的延長(zhǎng)線相交 D．與線段P1P2相交 解析：選B.由(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，得點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直線l：Ax＋By＋C＝0的同側(cè)，由|Ax1＋By1＋C|<|Ax2＋By2＋C|，得d1＝

6、又因?yàn)閳A與直線y＝1相切， 所以＝|1－m|， 所以m2＋4＝m2－2m＋1，解得m＝－， 所以圓的方程為(x－2)2＋＝. 答案：(x－2)2＋＝ 8．過直線l1：x－2y＋3＝0與直線l2：2x＋3y－8＝0的交點(diǎn)，且到點(diǎn)P(0，4)距離為2的直線方程為________． 解析：由得所以l1與l2的交點(diǎn)為(1，2)，直線x＝1顯然不適合． 設(shè)所求直線為y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0， 因?yàn)镻(0，4)到直線的距離為2，所以2＝， 所以k＝0或k＝. 所以直線方程為y＝2或4x－3y＋2＝0. 答案：y＝2或4x－3y＋2＝0 9．設(shè)點(diǎn)M(x0，1)，若

7、在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是________． 解析：如圖，過點(diǎn)M作⊙O的切線，切點(diǎn)為N，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1. 設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45°，即sin θ≥，即≥.而ON＝1，所以O(shè)M≤. 因?yàn)镸為(x0，1)，所以≤，所以x≤1， 所以－1≤x0≤1，所以x0的取值范圍為[－1，1]． 答案：[－1，1] 10．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，到點(diǎn)A(1，2)，B(1，5)，C(3，6)，D(7，－1)的距離之和最小的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 解析：設(shè)平面上任一點(diǎn)M，因?yàn)閨MA|＋|MC|≥|AC|，當(dāng)且僅當(dāng)A，M，C共線時(shí)取等號(hào)，

8、同理|MB|＋|MD|≥|BD|，當(dāng)且僅當(dāng)B，M，D共線時(shí)取等號(hào)，連接AC，BD交于一點(diǎn)M，若|MA|＋|MC|＋|MB|＋|MD|最小，則點(diǎn)M為所求． 又kAC＝＝2，所以直線AC的方程為y－2＝2(x－1)， 即2x－y＝0.① 又kBD＝＝－1， 所以直線BD的方程為y－5＝－(x－1)，即x＋y－6＝0.② 由①②得 所以所以M(2，4)． 答案：(2，4) 11．(xx·廈門模擬)已知點(diǎn)A(3，3)，B(5，2)到直線l的距離相等，且直線l經(jīng)過兩直線l1：3x－y－1＝0和l2：x＋y－3＝0的交點(diǎn)，求直線l的方程． 解：解方程組得交點(diǎn)P(1，2)． (1)若點(diǎn)A

9、，B在直線l的同側(cè)，則l∥AB. 而kAB＝＝－， 由點(diǎn)斜式得直線l的方程為y－2＝－(x－1)， 即x＋2y－5＝0. (2)若點(diǎn)A，B分別在直線l的異側(cè)，則直線l經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)， 由兩點(diǎn)式得直線l的方程為＝， 即x－6y＋11＝0. 綜上所述，直線l的方程為x＋2y－5＝0或x－6y＋11＝0. 12．已知直線l：2x＋y＋2＝0及圓C：x2＋y2＝2y. (1)求垂直于直線l且與圓C相切的直線l′的方程； (2)過直線l上的動(dòng)點(diǎn)P作圓C的一條切線，設(shè)切點(diǎn)為T，求|PT|的最小值． 解：(1)圓C的方程為x2＋(y－1)2＝1，其圓心為C(0，1)，半徑r＝1.

10、 由題意可設(shè)直線l′的方程為x－2y＋m＝0. 由直線l′與圓相切可得點(diǎn)C到直線l′的距離d＝r， 即＝1，解得m＝2±. 故直線l′的方程為x－2y＋2±＝0. (2)結(jié)合圖形可知：|PT|＝ ＝ . 故當(dāng)|PC|最小時(shí)，|PT|有最小值． 易知當(dāng)PC⊥l時(shí)，|PC|取得最小值，且最小值即為C到直線l的距離，得|PC|min＝， 所以|PT|min＝＝. 13．(xx·高考課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)． (1)求M的軌跡方程； (2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及

11、△POM的面積． 解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4. 設(shè)M(x，y)，則＝(x，y－4)，＝(2－x，2－y)． 由題設(shè)知·＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0， 即(x－1)2＋(y－3)2＝2. 由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部， 所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2. (2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，為半徑的圓． 由于|OP|＝|OM|，故O在線段PM的垂直平分線上． 又P在圓N上，從而ON⊥PM. 因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－， 故l的方程為y＝－x＋. 又|OM|＝|OP

12、|＝2，O到l的距離為，|PM|＝，所以△POM的面積為. 14．已知圓C過點(diǎn)P(1，1)，且與圓M：(x＋2)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)關(guān)于直線x＋y＋2＝0對(duì)稱． (1)求圓C的方程； (2)設(shè)Q為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求·的最小值； (3)過點(diǎn)P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補(bǔ)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷直線OP和AB是否平行？請(qǐng)說明理由． 解：(1)設(shè)圓心C(a，b)，則 解得 則圓C的方程為x2＋y2＝r2， 將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入得r2＝2， 故圓C的方程為x2＋y2＝2. (2)設(shè)Q(x，y)，則x2＋y2＝2， 且·＝(x－1，y－1)·(x＋2，y＋2)＝x2＋y2＋x＋y－4＝x＋y－2， 所以·的最小值為－4. (3)由題意知，直線PA和直線PB的斜率存在，且互為相反數(shù)，故可設(shè)PA：y－1＝k(x－1)，PB：y－1＝－k(x－1)． 由 得(1＋k2)x2＋2k(1－k)x＋(1－k)2－2＝0. 因?yàn)辄c(diǎn)P的橫坐標(biāo)x＝1一定是該方程的解， 所以可得xA＝. 同理，xB＝. 則kAB＝ ＝ ＝＝1＝kOP. 所以，直線AB和OP一定平行．