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2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版

上傳人:xt****7 文檔編號(hào):105340967 上傳時(shí)間:2022-06-11 格式:DOC 頁(yè)數(shù):17 大?。?07.52KB
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1、2022年高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教案 新人教A版 自主梳理 1.向量數(shù)量積的定義 (1)向量數(shù)量積的定義: 已知兩個(gè)非零向量a和b,它們的夾角為θ,則數(shù)量___.|a||b|cos θ_____叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作__ a·b=|a||b|cos θ_____,其中向量的投影:︱︱cos=∈R,稱為向量在方向上的投影。投影的絕對(duì)值稱為射影; 注意 在兩向量的夾角定義,兩向量必須是同起點(diǎn)的,范圍0°≤q≤180°。 C 規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為___ 0_____. 即 (2)平面向量數(shù)量積的幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)

2、度|a|與b在a的方向上的投影____|b|cos θ_____的乘積. (3) 平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì): ①如果e是單位向量,則a·e=e·a=__ |a|cos θ________; ②非零向量a,b,a⊥b?____a·b=0____________; ③當(dāng)a與b同向時(shí),a·b=__|a||b|___;(兩個(gè)非零向量a與b垂直的充要條件是__ a·b=0__) 當(dāng)a與b反向時(shí),a·b=__-|a||b|______,a·a=__ a2___=_|a|2___,|a|=_______; (兩個(gè)非零向量a與b平行的充要條件是__ a·b=±|a||b|___) ④cos θ=

3、__________; ⑤|a·b|_≤___|a||b|. 2.向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律:a·b=__ b·a ______; (2)分配律:(a+b)·c=___________ a·c+b·c _____; (3)數(shù)乘向量結(jié)合律:(λa)·b=__λ(a·b)______________. 3.向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算與度量公式 (1)兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)乘積的和,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 則a·b= x1x2+y1y (2) 設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a⊥b? x

4、1x2+y1y2=0 . (3) 設(shè)兩個(gè)非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 cos θ=__________. (4)若a=(x,y),則|a|2= 或|a|= . (5)若A(x1,y1),B(x2,y2),則 =______(x2-x1,y2-y1) ___, 所以||=___________. 點(diǎn)評(píng): 1.向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量,這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角的余弦值有關(guān),在運(yùn)用向量的數(shù)量積解題時(shí),一定要注意兩向量夾角的范圍. 2.a·b=0不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍

5、·b=0時(shí),有可能a⊥b. 3.一般地,(a·b)c≠(b·c)a即乘法的結(jié)合律不成立.因a·b是一個(gè)數(shù)量,所以(a·b)c表示一個(gè)與c共線的向量,同理右邊(b·c)a表示一個(gè)與a共線的向量,而a與c不一定共線,故一般情況下(a·b)c≠(b·c)a. 4.a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c,即消去律不成立. 5.向量夾角的概念要領(lǐng)會(huì),比如正三角形ABC中,〈,〉應(yīng)為120°,而不是60°. 自我檢測(cè) 1.已知向量a和向量b的夾角為135°,|a|=2, |b|=3,則向量a和向量b的數(shù)量積a·b=___-3 _____. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,則·等于

6、 (  ) A.-16 B.-8 C.8 D.16 3.已知向量a,b滿足a·b=0,|a|=1,|b|=2,則|2a-b|= (  ) A.0 B.2 C.4 D.8 B?。剑剑?. 4.已知a⊥b,|a|=2,|b|=3,且3a+2b與λa-b垂直,則實(shí)數(shù)λ的值為________. 5.已知a=(2,3),b=(-4,7),則a在b方向上的投影為______. 6.設(shè)a,b,c是任意的非零向量,且相互不共線,則下列命題正確的有____②④____ ①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|

7、b|<|a-b|; ③(b·c)a-(a·c)b不與c垂直;④(3a+4b)·(3a-4b)=9|a|2-16|b|2. 7.平面上有三個(gè)點(diǎn)A(-2,y),B(0,),C(x,y),若⊥,則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為________________. 解析 由題意得=, =,又⊥,∴·=0, 即·=0,化簡(jiǎn)得y2=8x(x≠0). 8.若等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2,平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足=+,則·=________. 解析 合理建立直角坐標(biāo)系,因?yàn)槿切问钦切?,故設(shè)C(0,0),A(2,0),B(,3),這樣利用向量關(guān)系式,求得=,=,=,所以·=-2.  題型一 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)

8、算 例1 (1)已知a,b是平面內(nèi)兩個(gè)互相垂直的單位向量,若向量c滿足(a-c)·(b-c)=0,則|c|的最大值是________. (2)如圖,在△ABC中,AD⊥AB,= , ||=1,則·等于 (  )  A.2 B. C. D. 解法1基底法: ∵=,∴=-=-=(-)+ =+(1-). 又AD⊥AB,||=1. ∴·=+(1-)·=. 法2定義法設(shè)BD=a,則BC=a,作CE⊥BA交的延長(zhǎng)線于E,可知∠DAC=∠ACE, 在Rt△ABD與Rt△BEC中, Rt△ABD∽R(shí)t△BEC中,,CE=, ∴cos∠DAC=cos∠AC

9、E=. ∴·=||·||cos∠DAC =||·|| cos∠ACE=. 法3坐標(biāo)法 變式訓(xùn)練1 (1)若向量a的方向是正南方向,向量b的方向是正東方向,且|a|=|b|=1,則 (-3a)·(a+b)=___-3___. (2)如下圖,在中,,,是邊上的高,則的值等于 ( ) A.0 B. C.4 D. 【思路點(diǎn)撥】充分利用已知條件的,,借助數(shù)量積的定義求出. 【答案】B【解析】因?yàn)?,,是邊上的?. (3)設(shè)向量a,b,c滿足|a|=|b|=1,a·b=-,〈a-c,b-c〉=60°,則|c|的最大值等于(  ) A.2    

10、B.    C.    D.1 【解析】 ∵a·b=-,且|a|=|b|=1, ∴cos〈a,b〉==-. ∴〈a,b〉=120°. 如圖所示,將a,b,c的起點(diǎn)平移至同一點(diǎn)O, 則a-c=,b-c=,∠ACB=60°,于是四 點(diǎn)A,O,B,C共圓,即點(diǎn)C在△AOB的外接圓上,故當(dāng)OC為直徑時(shí),|c|取最大值.由余弦定理,得AB==,由正弦定理,得2R==2,即|c|的最大值為2. 題型二 向量的夾角與向量的模 例2 已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61, (1)求a與b的夾角θ; (2)求|a+b|; (3)若=a,=b,求△ABC的面積

11、. 例2 解 (1)∵(2a-3b)·(2a+b)=61,∴4|a|2-4a·b-3|b|2=61. 又|a|=4,|b|=3,∴64-4a·b-27=61,∴a·b=-6. ∴cos θ===-.又0≤θ≤π,∴θ=. (2)可先平方轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積. |a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-6)+32=13, ∴|a+b|=. (3)∵與的夾角θ=,∴∠ABC=π-=. 又||=|a|=4,||=|b|=3, ∴S△ABC=||||sin∠ABC=×4×3×=3. 變式訓(xùn)練2 (1)已知平面向量α,β,|α|=1,β=(2,0),α

12、⊥(α-2β),求|2α+β|的值; (2)已知三個(gè)向量a、b、c兩兩所夾的角都為120°,|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c與向量a的夾角.  解 (1)∵β=(2,0),∴|β|=2,又α⊥(α-2β), ∴α·(α-2β)=α2-2α·β=1-2α·β=0.∴α·β=. ∴(2α+β)2=4α2+β2+4α·β=4+4+2=10. ∴|2α+β|=. (2)由已知得(a+b+c)·a=a2+a·b+a·c =1+2cos 120°+3cos 120°=-, |a+b+c|== ==. 設(shè)向量a+b+c與向量a的夾角為θ, 則cos θ===-,即θ

13、=150°, 故向量a+b+c與向量a的夾角為150°. (3)已知i,j為互相垂直的單位向量,a=i-2j,b=i+λj,且a與b的夾角為銳角,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為________. 解析 ∵〈a,b〉∈(0,),∴a·b>0且a·b不同向. 即|i|2-2λ|j|2>0,∴λ<. 當(dāng)a·b同向時(shí),由a=kb(k>0)得λ=-2.∴λ<且λ≠-2. (4)已知直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),則|+3|的最小值為________ 解 以D為原點(diǎn),分別以DA、DC所在直線為x、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,設(shè)DC

14、=a,DP=y(tǒng). ∴D(0,0),A(2,0),C(0,a),B(1,a),P(0,y), =(2,-y),=(1,a-y), ∴+3=(5,3a-4y), |+3|2=25+(3a-4y)2, ∵點(diǎn)P是腰DC上的動(dòng)點(diǎn),∴0≤y≤a, 因此當(dāng)y=a時(shí),|+3|2的最小值為25, ∴|+3|的最小值為5. 題型三 平面向量的垂直問(wèn)題 例3 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β)(0<α<β<π). (1)求證:a+b與a-b互相垂直; (2)若ka+b與a-kb的模相等,求β-α.(其中k為非零實(shí)數(shù)) (1)證明 ∵(a+b)

15、·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0, ∴a+b與a-b互相垂直. (2)解 ka+b=(kcos α+cos β,ksin α+sin β), a-kb=(cos α-kcos β,sin α-ksin β), |ka+b|==, |a-kb|=. ∵|ka+b|=|a-kb|,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α). 又k≠0,∴cos(β-α)=0. 而0<α<β<π,∴0<β-α<π,∴β-α=. 變式訓(xùn)練3 (1) 已知平面向量a=(,-1),b=. ①證明:a⊥b; ② 若存在不同

16、時(shí)為零的實(shí)數(shù)k和t,使c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t). ?、?證明 ∵a·b=×-1×=0,∴a⊥b. ②解 ∵c=a+(t2-3)b,d=-ka+tb,且c⊥d, ∴c·d=[a+(t2-3)b]·(-ka+tb)=-ka2+t(t2-3)b2+[t-k(t2-3)]a·b=0, 又a2=|a|2=4,b2=|b|2=1,a·b=0, ∴c·d=-4k+t3-3t=0,∴k=f(t)= (t≠0). (2) 已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),且ka+b的長(zhǎng)度是a-kb的長(zhǎng)度的倍(k>0). ①

17、求證:a+b與a-b垂直; ②用k表示a·b; ③ 求a·b的最小值以及此時(shí)a與b的夾角θ. 點(diǎn)撥: 1.非零向量a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0. 2.當(dāng)向量a與b是非坐標(biāo)形式時(shí),要把a(bǔ)、b用已知的不共線的向量表示.但要注意運(yùn)算技巧,有時(shí)把向量都用坐標(biāo)表示,并不一定都能夠簡(jiǎn)化運(yùn)算,要因題而異. 解  ①由題意得,|a|=|b|=1,∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=0, ∴a+b與a-b垂直. ②|ka+b|2=k2a2+2ka·b+b2=k2+2ka·b+1, (|a-kb|)2=3(1+k2)-6ka·b. 由條件知,k2+2ka·b+1=3(1+k

18、2)-6ka·b, 從而有,a·b=(k>0). ③由(2)知a·b==(k+)≥, 當(dāng)k=時(shí),等號(hào)成立,即k=±1. ∵k>0,∴k=1. 此時(shí)cos θ==,而θ∈[0,π],∴θ=. 故a·b的最小值為,此時(shí)θ=. (3)設(shè)向量a=(4cos α,sin α),b=(sin β,4cos β),c=(cos β,-4sin β). ① 若a與b-2c垂直,求tan(α+β)的值; ②求|b+c|的最大值; ③ 若tan αtan β=16,求證:a∥b. ① 解 因?yàn)閍與b-2c垂直, 所以a·(b-2c)=4cos αsin β-8cos αcos β+

19、4sin αcos β+8sin αsin β =4sin(α+β)-8cos(α+β)=0. 因此tan(α+β)=2. ②解 由b+c=(sin β+cos β,4cos β-4sin β), 得|b+c|= =≤4. 又當(dāng)β=-時(shí),等號(hào)成立,所以|b+c|的最大值為4. ③證明 由tan αtan β=16得即 所以a∥b. (4)如圖4-4-1所示,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,D為BC的中點(diǎn),E是AB上的一點(diǎn),且AE=2EB.求證:AD⊥CE. 解 ·=(+)·(+) =-||2+·+·+· =-||2+||||cos 90°+|

20、|2cos 45°+||2cos 45° =-||2+||2=0, ∴⊥,即AD⊥CE., (5) 在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角, 求k值 解:當(dāng)A = 90°時(shí),×= 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 當(dāng)B = 90°時(shí),×= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3) ∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k = 當(dāng)C= 90°時(shí),×= 0,∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 題型四  向量的數(shù)量積在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例4 已知向量a=, b=,且x∈. (

21、1)求a·b及|a+b|; (2)若f(x)=a·b-|a+b|,求f(x)的最大值和最小值. 解 (1)a·b=cos xcos -sin xsin =cos 2x, |a+b|= ==2|cos x|, ∵x∈,∴cos x>0, ∴|a+b|=2cos x. (2)f(x)=cos 2x-2cos x=2cos2x-2cos x-1 =22-. ∵x∈,∴≤cos x≤1, ∴當(dāng)cos x=時(shí),f(x)取得最小值-; 當(dāng)cos x=1時(shí),f(x)取得最大值-1. 變式遷移4 (1)已知△ABC的面積S, ·=3S,且cos B=,求cos C. 解 由題意

22、,設(shè)△ABC的角B、C的對(duì)邊分別為b、c, 則S=bcsin A ·=bccos A=3S=bcsin A >0, ∴A∈,cos A=3sin A. 又sin2A+cos2A=1, ∴sin A=,cos A=. 由題意cos B=,得sin B=. ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B=. ∴cos C=cos[π-(A+B)]=-. (2).已知△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,G是△ABC的重 心,且56sin A·+40sin B·+35sin C·=0. (1)求角B的大小; (2)設(shè)m=(sin A,cos 2A),

23、n=(4k,1)(k>1),m·n的最大值為5,求實(shí)數(shù)k的值. 解:(1)由G是△ABC的重心,得++=0, ∴,由正弦定理,可將已知等式轉(zhuǎn)化為 整理,得(56a-35c)·+(40b-35c)·=0. ∵,不共線,∴由此, 得a∶b∶c=5∶7∶8. 不妨設(shè)a=5,b=7,c=8,由余弦定理, 得cos B===. ∵0

24、t+1,則可知當(dāng)t∈(0,1],且k>1時(shí),f(t)在(0,1]上為增函數(shù),所以,當(dāng) t=1時(shí),m·n取得最大值5.于是有:-2+4k+1=5,解得k=,符合題意,所以,k=. (3)已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,⊙A的半徑為1,PQ為⊙A的任意一條直徑, ①判斷的值是否會(huì)隨點(diǎn)P的變化而變化,請(qǐng)說(shuō)明理由; ②求的最大值。 1.一些常見的錯(cuò)誤結(jié)論: (1)若|a|=|b|,則a=b;(2)若a2=b2,則a=b;(3)若a∥b,b∥c,則a∥c;(4)若a·b=0,則a=0或b=0;(5)|a·b|=|a|·|b|;(6)(a·b)c=a(b·c);(7)若a·b=

25、a·c,則b=c.以上結(jié)論都是錯(cuò)誤的,應(yīng)用時(shí)要注意. 2.平面向量的坐標(biāo)表示與向量表示的比較: 已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是向量a與b的夾角. 向量表示 坐標(biāo)表示 向量a的模 |a|== |a|= a與b的數(shù)量積 a·b=|a||b|cos θ a·b=x1x2+y1y2 a與b共線的充要條件 A∥b(b≠0)?a=λb a∥b?x1y2-x2y1=0 非零向量a,b垂直的充要條件 a⊥b?a·b=0 a⊥b?x1x2+y1y2=0 向量a與b的夾角 cos θ= cos θ= 3.證明直線平行、垂直、線段相等等問(wèn)題的基本方法有:

26、 (1)要證AB=CD,可轉(zhuǎn)化證明2=2或||=||. (2)要證兩線段AB∥CD,只要證存在唯一實(shí)數(shù)≠0,使等式=λ成立即可. (3)要證兩線段AB⊥CD,只需證·=0. 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)一 一、選擇題 1.若向量a=(3,m),b=(2,-1),a·b=0,則實(shí)數(shù)m的值為 (  ) A.- B. C.2 D.6 1.D [因?yàn)閍·b=6-m=0,所以m=6.] 2.已知非零向量a,b,若|a|=|b|=1,且a⊥b,又知(2a+3b)⊥(ka-4b),則實(shí)數(shù)k的值為

27、 (  ) A.-6 B.-3 C.3 D.6 2.D [由(2a+3b)·(ka-4b)=0得2k-12=0,∴k=6.] 3.已知△ABC中,=a,=b,a·b<0,S△ABC=,|a|=3,|b|=5,則∠BAC等于 (  ) A.30° B.-150° C.150° D.30°或150° 3.C [∵S△ABC=|a||b|sin∠BAC=, ∴sin∠BAC=.又a·b<0, ∴∠BAC為鈍角.∴∠BAC=150°.] 4.若非零向量a,b滿足

28、|a|=|b|,(2a+b)·b=0,則a與b的夾角為 (  ) A.30° B.60° C.120° D.150° 4.C [由(2a+b)·b=0,得2a·b=-|b|2. cos〈a,b〉===-. ∵〈a,b〉∈[0°,180°],∴〈a,b〉=120°.] 5.設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,a·b=-,則|a+2b|等于 (  )  A. B. C. D. 6.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c滿足(c+a)∥b,c⊥(a+b),則c等于(  ) A. B. C. D. 7.在△AB

29、C中,AB=3,AC=2,BC=,則·等于 (  ) A.- B.- C. D. 8.若a,b,c均為單位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,則|a+b-c|的最大值為(  ) A.-1 B.1 C. D.2 9.已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,則向量a在向量b方向上的投影是 (  ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 10.已知a、b、c是同一平面內(nèi)的三個(gè)單位向量,它們兩兩之間的夾角均為120°,且|ka+b+c|>1,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是 (  ) A.

30、(-∞,0) B.(2,+∞) C.(-∞,0)∪(2,+∞) D.(0,2) 二、填空題 11.設(shè)a=(cos 2α,sin α),b=(1,2sin α-1),α∈,若a·b=,則sin α=________. 解析 ∵a·b=cos 2α+2sin2α-sin α=, ∴1-2sin2α+2sin2α-sin α=,∴sin α= 12.若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,則向量a與b的夾角為________. 解析 設(shè)a與b的夾角為θ,∵c=a+b,c⊥a, ∴c·a=0,即(a+b)·a=0.∴a2+a·b=0. 又|a|=1,|b|=

31、2,∴1+2cos θ=0. ∴cos θ=-,θ∈[0°,180°]即θ=120°. 13.已知向量m=(1,1),向量n與向量m夾角為,且m·n=-1,則向量n=__________________. 解析 設(shè)n=(x,y),由m·n=-1,有x+y=-1.① 由m與n夾角為,有m·n=|m|·|n|cos , ∴|n|=1,則x2+y2=1.②由①②解得或, ∴n=(-1,0)或n=(0,-1). 14.已知兩個(gè)單位向量e1,e2的夾角為,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,則b1·b2=____-6____. 三、解答題 15.設(shè)兩向量e1、e2滿足|e1

32、|=2,|e2|=1,e1、e2的夾角為60°,若向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解 e=4,e=1, e1·e2=2×1×cos 60°=1, ∴(2te1+7e2)·(e1+te2)=2te+(2t2+7)e1·e2+7te=2t2+15t+7. ∵向量2te1+7e2與向量e1+te2的夾角為鈍角,∴2t2+15t+7<0.∴-7

33、平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以線段AB、AC為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng); (2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足(-t)·=0,求t的值. 解 (1)由題設(shè)知=(3,5),=(-1,1),則+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別為4,2. (2)由題設(shè)知=(-2,-1), -t=(3+2t,5+t). 由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0, 從而5t=-11,所以t=-. 17.已知=(2,5),=(3,1),=(6,3),在線段OC上是否存在點(diǎn)M,使⊥

34、,若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解 設(shè)存在點(diǎn)M,且=λ=(6λ,3λ) (0≤λ≤1), =(2-6λ,5-3λ),=(3-6λ,1-3λ).∴(2-6λ)(3-6λ)+(5-3λ)(1-3λ)=0, 即45λ2-48λ+11=0,解得λ=或λ=∴M點(diǎn)坐標(biāo)為(2,1)或. 故在線段OC上存在點(diǎn)M,使⊥,且點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2,1)或(,). 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)二 一、選擇題 1.設(shè)R,向量,且,則(  ) A. B. C. D.10 【解析】由,由,故. 2、定義:,其中為向量與的夾角,若,,,則等于(  ) A. B.

35、 C.或 D. 【解析】由,,,得,所以= 3.若向量a與b不共線,a·b≠0,且c=a-b,則向量a與c的夾角為________. 解析:由于a·c=a·=a·a-a·b, 又a·b≠0,∴a·c=|a|2-|a|2=0,所以a⊥c. 答案:90° 4.如圖,非零向量 ( ) A. B. C. D. 5.在中,,,是邊上的高,若,則實(shí)數(shù)等 于( ) A. B. C. D. 6.已知,且關(guān)于的方程有實(shí)根,則與的夾角的取值范圍是 A. [0,] B.

36、 C. D. 解: 且關(guān)于的方程有實(shí)根,則,設(shè)向量 的夾角為θ,cosθ=≤,∴θ∈,選B. 7.設(shè)非零向量、、滿足,則( ) A.150° B.120° C.60° D.30° 8、(xx湖南理)在△ABC中,AB=2,AC=3,= 1則. (  ) A. B. C. D. 【解析】由下圖知. .又由余弦定理知,解得. 9.在平面直角坐標(biāo)系中,,將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,得向量,則點(diǎn)的坐標(biāo)是(  ) A. B. C. D. 二、填空題 10.若平面向量α,β滿足|α|=1,|β|≤

37、1,且以向量α,β為鄰邊的平行四邊形的面積為,則α與β的夾角θ的取值范圍是________. 11.已知向量a,b,c滿足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,則|a|2+|b|2+|c|2的值是_____4 ___. 12.已知在平面直角坐標(biāo)系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿足不等式0≤·≤1,0≤·≤1,則z=·的最大值為__3______. 三、解答題 13.設(shè)平面上有兩個(gè)向量a=(cos α,sin α) (0°≤α<360°),b=. (1)求證:向量a+b與a-b垂直; (2)當(dāng)向量a+b與a-b的模相等時(shí),

38、求α的大小. 證明 ∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2α+sin2α)-=0,故a+b與a-b垂直. (2)解 由|a+b|=|a-b|,兩邊平方得 3|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+3|b|2,所以2(|a|2-|b|2)+4a·b=0, 而|a|=|b|,所以a·b=0,則·cos α+·sin α=0, 即cos(α+60°)=0,∴α+60°=k·180°+90°, 即α=k·180°+30°,k∈Z, 又0°≤α<360°,則α=30°或α=210°. 14.已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=

39、(cos,sin). (1)求證:a⊥b; (2)若存在不等于0的實(shí)數(shù)k和t,使x=a+(t2+3)b,y=-ka+tb,滿足x⊥y,試求此時(shí)的最小值. (1)證明 ∵a·b=cos(-θ)·cos+sin·sin =sin θcos θ-sin θcos θ=0.∴a⊥b. (2)解 由x⊥y得,x·y=0,即[a+(t2+3)b]·(-ka+tb)=0, ∴-ka2+(t3+3t)b2+[t-k(t2+3)]a·b=0,∴-k|a|2+(t3+3t)|b|2=0. 又|a|2=1,|b|2=1,∴-k+t3+3t=0,∴k=t3+3t. ∴==t2+t+3=2+.故當(dāng)t=

40、-時(shí),有最小值. 15.已知a=(1,2sin x),b=,函數(shù)f(x)=a·b (x∈R). (1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間; (2)若f(x)=,求cos的值. 解 (1)f(x)=a·b=2cos+2sin x=2cos xcos -2sin xsin +2sin x =cos x+sin x=2sin. 由+2kπ≤x+≤+2kπ,k∈Z,得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z. 所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是 (k∈Z). (2)由(1)知f(x)=2sin.又因?yàn)?sin=, 所以sin=,即sin=cos=cos=. 所以cos=2cos2-1=.

41、 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用練習(xí)三 1.在直角中,是斜邊上的高,則下列等式不成立的是( ) A. B. C. D. 2.平面上O,A,B三點(diǎn)不共線,設(shè)=a,=b,則△OAB的面積等于(  ) A.   B. C. D. 【解析】 ∵cos〈a,b〉=, ∴sin〈a,b〉= = =, S△OAB=||||sin〈,〉=|a||b|sin〈a,b〉 =. 3.已知非零向量和滿足,且,則△ABC為( ) A.等邊三角形 B. 等腰非直角三角形 C.非等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.己

42、知向量,與的夾角為60°,直線與圓的位置關(guān)系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相離 D.隨的值而定 解析:與的夾角為60°所以 圓心到直線距離為 故選C 二、填空題 5.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量,k為實(shí)數(shù),若向量a+b與向量ka-b垂直,則k=___1_____. 6.已知a=(2,-1),b=(λ,3),若a與b的夾角為鈍角,則λ的取值范圍是__(-∞,-6)∪__________. 7.已知平面上直線l的方向向量e=,點(diǎn)O(0,0)和A(1,-2)在l上的射影分別是O1和A1,則=λe,其中λ=______

43、__. 解析:由向量在已知向量上的射影定義知: λ=||·cos〈e,〉=×=×=--=-2. 答案:-2 三、解答題 8.已知a=(1,2),b=(-2,n),a與b的夾角是45°. (1)求b; (2)若c與b同向,且a與c-a垂直,求c. 解 (1)a·b=2n-2,|a|=, |b|=,∴cos 45°==, ∴3n2-16n-12=0 (n>1),∴n=6或n=-(舍),∴b=(-2,6). (2)由(1)知,a·b=10,|a|2=5. 又c與b同向,故可設(shè)c=λb (λ>0), (c-a)·a=0, ∴λb·a-|a|2=0,∴λ===,∴c=b=(-1,3).

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