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1、2022年高三數學總復習 等比數列教案 理 教學內容分析 這節(jié)課是在等差數列的基礎上，運用同樣的研究方法和研究步驟，研究另一種特殊數列———等比數列．重點是等比數列的定義和通項公式的發(fā)現過程及應用，難點是應用． 教學目標 1. 熟練掌握等比數列的定義、通項公式等基本知識，并熟練加以運用． 2. 進一步培養(yǎng)學生的類比、推理、抽象、概括、歸納、猜想能力． 3. 感受等比數列豐富的現實背景，進一步培養(yǎng)學生對數學學習的積極情感． 任務分析 這節(jié)內容由于是在等差數列的基礎上，運用同樣的方法和步驟，研究類似的問題，學生接受起來較為容易，所以應多放手讓學生思考，并注意運用類比思想，這樣不僅有

2、利于學生分清等差和等比數列的區(qū)別，而且可以鍛煉學生從多角度、多層次分析和解決問題的能力．另外，與等差數列相比等比數列須要注意的細節(jié)較多，如沒有零項、ｑ≠0等，在教學中應注意加以比較． 教學設計 一、問題情景 在前面我們學習了等差數列，在現實生活中，我們還會遇到下面的特殊數列： 1. 在現實生活中，經常會遇到下面一類特殊數列．下圖是某種細胞分裂的模型． 細胞分裂個數可以組成下面的數列： 1，2，4，8，… 2. 一種計算機病毒可以查找計算機中的地址薄，通過電子函件進行傳播．如果把病毒制造者發(fā)送病毒稱為第一輪，函件接收者發(fā)送病毒稱為第二輪，依此類推．假設每一輪每一臺計算機都感染2

3、0臺計算機，那么，在不重復的情況下，這種病毒每一輪感染的計算機數構成的數列是 1，20，202，203，… （3）除了單利，銀行還有一種支付利息的方式———復利，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再計算下一期的利息，也就是通常說的“利滾利”．按照復利計算本利和的公式是 本利和＝本金×（1＋利率）存期 例如，現在存入銀行10000元錢，年利率是1.98%，那么按照復利，5年內各年末得到的本利和分別是（計算時精確到小數點后2位）： 表47-1 時　間 年初本金（元） 年末本利和（元） 第1年 10000 10000×1.0198 第2年 10000×1.0198

4、10000×1.01982 第3年 10000×1.01982 10000×1.01983 第4年 10000×1.01983 10000×1.01984 第5年 10000×1.01984 10000×1.01985 各年末的本利和（單位：元）組成了下面的數列： １００００×１０１９８，１００００×１０１９８２，１００００×１０１９８３，１００００×１０１９８４，１００００×１０１９８５． 問題：回憶等差數列的研究方法，我們對這些數列應作如何研究？ 二、建立模型 結合等差數列的研究方法，引導學生運用從特殊到一般的思想方法分析和探究，發(fā)現這些數列的共同特點

5、，從而歸納出等比數列的定義及符號表示： 一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數，那么這個數列叫作等比數列，這個常數叫作等比數列的公比，公比通常用字母ｑ表示（ｑ≠0）．即 ［問　題］ 1. ｑ可以為0嗎？有沒有既是等差，又是等比的數列？ 2. 運用類比的思想可以發(fā)現，等比數列的定義是把等差數列的定義中的“差”換成了“比”，同樣，你能類比得出等比數列的通項公式嗎？如果能得出，試用以上例子加以檢驗． 對于2，引導學生運用類比的方法：等差數列通項公式為ａｎ＝ａ１＋（ｎ－１）ｄ，即ａ１與（ｎ－１）個ｄ的和，等比數列的通項公式應為ａｎ等于ａ１與（ｎ－１）個ｑ的乘積，

6、即ａｎ＝ａ１ｑｎ－１．上面的幾個例子都滿足通項公式． 3. 你如何論證上述公式的正確性． 證法1：同等差數列———歸納法． 證法2：類比等差數列，累乘可得，即 各式相乘，得ａn＝ａ1ｑn－1． 歸納特點：（1）ａn是關于ｎ的指數形式． （2）和等差數列類似，通項公式中有ａn，ａ1，ｑ，ｎ四個量，知道其中三個量可求另一個量． 三、解釋應用 ［例　題］ 1. 某種放射性物質不斷衰變?yōu)槠渌镔|，每經過一年剩留的這種物質是原來的84%，問：這種物質的半衰期為多長？ 解：設這種物質最初的質量是1，經過ｎ年，剩留量是ａn．由已知條件，得數列｛ａn｝是一個等比數列，其中ａ1＝0.84

7、，ｑ＝0.84． 設ａn＝0.5，則0.84n＝0.5． 兩邊取對數，得ｎｌｇ0.84＝ｌｇ0.5． 用計算器計算，得ｎ≈4． 答：這種物質的半衰期大約為4年． 2. 一個等比數列的第3項和第4項分別是12和18，求它的第1項與第2項． 解：設這個等比數列的第1項是ａ1，公比是ｑ，那么 注：例1、例2體現了方程思想的應用，這也是有關等差、等比數列運算中常用的思想方法． 3. 已知數列｛ａn｝，｛bn｝是項數相同的等比數列，那么｛ａnbn｝是否為等比數列？如果是，證明你的結論；如果不是，說明理由． 解：可以得到：如果｛ａn｝，｛bn｝是項數相同的等比數列，那么｛ａn·bn｝

8、也是等比數列． 證明如下： 設數列｛ａn｝的公比為ｐ，｛bn｝的公比為ｑ，那么數列｛ａn·bn｝的第n項與第n＋1項分別為ａ1ｐn－1·ｂ1ｑn－1與ａ1ｐn·ｂ1ｑn，即ａ1ｂ1（ｐｑ）n－1與ａ1ｂ1（ｐｑ）n．兩項相比，得 顯然，它是一個與ｎ無關的常數，所以｛ａn·bn｝是一個以ｐｑ為公比的等比數列． 特別地，如果｛ａn｝是等比數列，ｃ是不等于0的常數，那么數列｛ｃ·ａn｝也是等比數列． ［練　習］ 1. 在等比數列｛ａn｝中， （1）ａ5＝４，ａ7＝６，求ａ9． （2）ａ5－ａ1＝１５，ａ4－ａ2＝６，求ａ3． 2. 設｛ａn｝是正項等比數列，問：是等比數列嗎？為

9、什么？ 3. 三個數成等比數列，并且它們的和等于14，它們的積等于64，求這三個數． 4. 設等比數列｛ａn｝，｛bn｝的公比分別是ｐ，ｑ． （1）如果ｐ＝ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比數列嗎？ （2）如果ｐ≠ｑ，那么｛ａn＋bn｝是等比數列嗎？ 四、拓展延伸 引導學生分析思考如下三個問題： （1）如果三個數ａ，G，ｂ成等比數列，則G叫作ａ，ｂ的等比中項，那么如何用ａ，ｂ表示G呢？這個式子是三個數ａ，G，ｂ成等比數列的什么條件？ （2）在直角坐標系中，畫出通項公式為ａn＝2n的數列的圖像和函數y＝2x－1的圖像．對比一下，你發(fā)現了什么？ （3）已知數列｛ａn｝滿足ａn－ａn－1

10、＝2n（ｎ≥2），數列｛bn｝滿足，你會求它們的通項公式嗎？ 五、回顧反思 1. 在這節(jié)課上，你有哪些收獲？ 2. 你能用幾個概念、幾個公式來概括等比數列的有關內容嗎？試試看． 點　評 這是一節(jié)典型的類比教學的案例，這節(jié)課的內容與等差數列的內容和研究方法非常相似，但設計者從類比入手，讓學生親自去發(fā)現，猜想，解決，無論從問題的提出，還是在解決方式、細節(jié)的處理上，和上節(jié)均有較大不同．相信這節(jié)課除了使學生可以更加熟練地掌握等差數列、等比數列的有關知識及常用的解題思想方法外，對類比思想的運用還會有所感悟和體會． 美中不足的是，等比數列的現實模型比較多，而這篇案例在對比方面的運用略顯單薄．