《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇三角函數(shù)、解三角形第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇三角函數(shù)、解三角形第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 理（9頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四篇三角函數(shù)、解三角形第5講 兩角和與差的正弦、余弦和正切教案 理 【xx年高考會(huì)這樣考】 1．考查利用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡與求值． 2．利用三角公式考查角的變換、角的范圍． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 本講復(fù)習(xí)應(yīng)牢記和、差角公式及二倍角公式，準(zhǔn)確把握公式的特征，活用公式(正用、逆用、變形用、創(chuàng)造條件用)；同時(shí)要掌握好三角恒等變換的技巧，如變換角的技巧、變換函數(shù)名稱的技巧等． 基礎(chǔ)梳理 1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C

2、(α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S(α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T(α＋β)：tan(α＋β)＝； (6)T(α－β)：tan(α－β)＝. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α； (2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； (3)T2α：tan 2α＝. 3．有關(guān)公式的逆用、變形等 (1)tan

3、α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)； (2)cos2α＝，sin2α＝； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝sin. 4．函數(shù)f(α)＝acos α＋bsin α(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝sin(α＋φ)或f(α)＝cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定． 兩個(gè)技巧 (1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝－；＝－. (2)化簡技巧：切化弦、“1”的代換等． 三個(gè)變化 (1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與

4、結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊”． (2)變名：通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦”、“升冪與降冪”等． (3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換”、“逆用變用公式”、“通分約分”、“分解與組合”、“配方與平方”等． 雙基自測 1．(人教A版教材習(xí)題改編)下列各式的值為的是(　　)． A．2cos2 －1 B．1－2sin275° C. D．sin 15°cos 15° 解析　2cos2－1＝cos＝；1－2sin275°＝cos 150°＝－；＝ tan 45°＝1；sin 1

5、5°cos 15°＝sin 30°＝. 答案　D 2．(xx·福建)若tan α＝3，則的值等于(　　)． A．2 B．3 C．4 D．6 解析　＝＝2tan a＝2×3＝6，故選D. 答案　D 3．已知sin α＝，則cos(π－2α)等于(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2×－1＝－. 答案　B 4．(xx·遼寧)設(shè)sin＝，則sin 2θ＝(　　)． A．－ B．－ C. D. 解析　sin

6、 2θ＝－cos＝2sin2－1＝2×2－1＝－. 答案　A 5．tan 20°＋tan 40°＋tan 20° tan 40°＝________. 解析　∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝， ∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＝－tan 20°·tan 40°，∴原式＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝. 答案　　　 考向一　三角函數(shù)式的化簡 【例1】?化簡. [審題視點(diǎn)] 切化弦，合理使用倍角公式． 解　原式＝ ＝＝＝cos 2x. 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則： (

7、1)一看“角”，通過看角之間的差別與聯(lián)系，把角進(jìn)行合理的拆分，從而正確使用公式；(2)二看“函數(shù)名稱”，看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用的公式；(3)三看“結(jié)構(gòu)特征”，分析結(jié)構(gòu)特征，找到變形的方向． 【訓(xùn)練1】 化簡：. 解　原式＝ ＝ ＝＝＝tan. 考向二　三角函數(shù)式的求值 【例2】?已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，sin＝，求cos(α＋β)的值． [審題視點(diǎn)] 拆分角：＝－，利用平方關(guān)系分別求各角的正弦、余弦． 解　∵0＜β＜＜α＜π， ∴－＜－β＜，＜α－＜π， ∴cos＝ ＝， sin＝ ＝， ∴cos＝cos ＝coscos＋sinsin ＝×＋

8、×＝， ∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－. 三角函數(shù)的給值求值，關(guān)鍵是把待求角用已知角表示： (1)已知角為兩個(gè)時(shí)，待求角一般表示為已知角的和或差． (2)已知角為一個(gè)時(shí)，待求角一般與已知角成“倍的關(guān)系”或“互余互補(bǔ)”關(guān)系． 【訓(xùn)練2】 已知α，β∈，sin α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值． 解　∵α，β∈，∴－＜α－β＜， 又∵tan(α－β)＝－＜0，∴－＜α－β＜0. ∴＝1＋tan2(α－β)＝. cos(α－β)＝，sin(α－β)＝－. 又∵sin α＝，∴cos α＝. ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αc

9、os(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. 考向三　三角函數(shù)的求角問題 【例3】?已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β. [審題視點(diǎn)] 由cos β＝cos[α－(α－β)]解決． 解　∵0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜.又∵cos(α－β)＝， ∵cos α＝，β＜α＜， ∴sin α＝＝ ∴sin(α－β)＝＝， ∴cos β＝cos[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝×＋×＝. ∵0＜β＜.∴β＝. 通過求角的某種三角函數(shù)值來求角，在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：①已知正切函數(shù)值，選正切函

10、數(shù)；②已知正、余弦函數(shù)值，選正弦或余弦函數(shù)；若角的范圍是，選正、余弦皆可；若角的范圍是(0，π)，選余弦較好；若角的范圍為，選正弦較好． 【訓(xùn)練3】 已知α，β∈，且tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的兩個(gè)根，求α＋β的值． 解　由根與系數(shù)的關(guān)系得：tan α＋tan β＝－3，tan αtan β＝4， ∴tan α＜0，tan β＜0，－π＜α＋β＜0. 又tan(α＋β)＝＝＝. ∴α＋β＝－. 考向四　三角函數(shù)的綜合應(yīng)用 【例4】?(xx·北京)已知函數(shù)f(x)＝2cos 2x＋sin2x. (1)求f的值； (2)求f(x)的最大值和最小值． [審題視

11、點(diǎn)] 先化簡函數(shù)y＝f(x)，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解． 解　(1)f＝2cos＋sin2 ＝－1＋＝－. (2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x) ＝3cos2x－1，x∈R. ∵cos x∈[－1,1]， ∴當(dāng)cos x＝±1時(shí)，f(x)取最大值2； 當(dāng)cos x＝0時(shí)，f(x)取最小值－1. 高考對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查還往往滲透在研究三角函數(shù)性質(zhì)中．需要利用這些公式，先把函數(shù)解析式化為y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再進(jìn)一步討論其定義域、值域和最值、單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等性質(zhì)． 【訓(xùn)練4】 已知函數(shù)f(x)＝2

12、sin(π－x)cos x. (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值． 解：f(x)＝2sin xcos x＝sin 2x (1)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)∵－≤x≤， ∴－≤2x≤π. ∴－≤sin 2x≤1. ∴f(x)的最大值為1，最小值為－.　　 難點(diǎn)突破10——三角函數(shù)求值、求角問題策略 面對有關(guān)三角函數(shù)的求值、化簡和證明，許多考生一籌莫展，而三角恒等變換更是三角函數(shù)的求值、求角問題中的難點(diǎn)和重點(diǎn)，其難點(diǎn)在于：其一，如何牢固記憶眾多公式，其二，如何根據(jù)三角函數(shù)的形式去選擇合適的求值、求角方法． 一、給值求值 一

13、般是給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論． 【示例】? (xx·江蘇)已知tan ＝2，則的值為________． 二、給值求角 “給值求角”：實(shí)質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角． 【示例】? (xx·南昌月考)已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． ▲三角恒等變換與向量的綜合問題(教師備選) 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式作為解題工具，是每年高考的必考內(nèi)容，常在選擇題中以條件求值的形式考查．近幾年該部分內(nèi)容與向量的綜合問題常出現(xiàn)在解答題中，并且成為高考的一個(gè)新考查方向． 【示例】? (xx·溫州一模)已知向量a＝(sin θ，－2)與b＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈. (1)求sin θ和cos θ的值； (2)若5cos(θ－φ)＝3cos φ，0＜φ＜，求cos φ的值．