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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 12.3二項式定理教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　二項展開式的通項公式及應用 【例1】 已知的展開式中，前三項系數(shù)的絕對值依次成等差數(shù)列. (1)求證：展開式中沒有常數(shù)項； (2)求展開式中所有的有理項. 【解析】由題意得2C·＝1＋C·()2， 即n2－9n＋8＝0，所以n＝8，n＝1(舍去). 所以Tr＋1＝·()· ＝(－)r··· ＝(－1)r··(0≤r≤8，r∈Z). (1)若Tr＋1是常數(shù)項，則＝0，即16－3r＝0， 因為r∈Z，這不可能，所以展開式中沒有常數(shù)項. (2)若Tr＋1是有理項，當且僅當為整數(shù)，

2、 又0≤r≤8，r∈Z，所以 r＝0,4,8， 即展開式中有三項有理項，分別是T1＝x4，T5＝ x，T9＝ x-2. 【點撥】(1)把握住二項展開式的通項公式，是掌握二項式定理的關(guān)鍵.除通項公式外，還應熟練掌握二項式的指數(shù)、項數(shù)、展開式的系數(shù)間的關(guān)系、性質(zhì)； (2)應用通項公式求二項展開式的特定項，如求某一項，含x某次冪的項，常數(shù)項，有理項，系數(shù)最大的項等，一般是應用通項公式根據(jù)題意列方程，在求得n或r后，再求所需的項(要注意n和r的數(shù)值范圍及大小關(guān)系)； (3) 注意區(qū)分展開式“第r＋1項的二項式系數(shù)”與“第r＋1項的系數(shù)”. 【變式訓練1】若(x＋)n的展開式的前3項系數(shù)和為

3、129，則這個展開式中是否含有常數(shù)項，一次項？如果有，求出該項，如果沒有，請說明理由. 【解析】由題知C＋C·2＋C·22＝129， 所以n＝8，所以通項為Tr＋1＝C(x)8-r ＝， 故r＝6時，T7＝26Cx＝1 792x， 所以不存在常數(shù)項，而存在一次項，為1 792x. 題型二　運用賦值法求值 【例2】(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，則n＝　??； (2)已知(1－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，若5a1＋2a2＝0，則a0－a1＋a2－a3＋…＋(－1)nan

4、＝　　. 【解析】(1)易知an＝1，令x＝0得a0＝n，所以a0＋a1＋…＋an＝30. 又令x＝1，有2＋22＋…＋2n＝a0＋a1＋…＋an＝30， 即2n＋1－2＝30，所以n＝4. (2)由二項式定理得， a1＝－C＝－n，a2＝C＝， 代入已知得－5n＋n(n－1)＝0，所以n＝6， 令x＝－1得(1＋1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6， 即a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝64. 【點撥】運用賦值法求值時應充分抓住代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征，通過一些特殊值代入構(gòu)造相應的結(jié)構(gòu). 【變式訓練2】設(shè)(3x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7＋

5、a8x8.求a0＋a2＋a4＋a6＋a8的值. 【解析】令f(x)＝(3x－1)8， 因為f(1)＝a0＋a1＋a2＋…＋a8＝28， f(－1)＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝48， 所以a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝＝27×(1＋28). 題型三　二項式定理的綜合應用 【例3】求證：4×6n＋5n＋1－9能被20整除. 【解析】4×6n＋5n＋1－9＝4(6n－1)＋5(5n－1)＝4[(5＋1)n－1]＋5[(4＋1)n－1]＝20[(5n－1＋C5n－2＋…＋C)＋(4n－1＋C4n－2＋…＋C)]，是20的倍數(shù)，所以4×6n＋5n＋1－9能被20整除. 【點

6、撥】用二項式定理證明整除問題時，首先需注意(a＋b)n中，a，b中有一個是除數(shù)的倍數(shù)；其次展開式有什么規(guī)律，余項是什么，必須清楚. 【變式訓練3】求0.9986的近似值，使誤差小于0.001. 【解析】0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)1＋15×(－0.002)2＋…＋(－0.002)6. 因為T3＝C(－0.002)2＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001， 且第3項以后的絕對值都小于0.001， 所以從第3項起，以后的項都可以忽略不計. 所以0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝1－0.012＝0.988. 總結(jié)提高 1.利用通項公式可求展開式中某些特定項(如常數(shù)項、有理項、二項式系數(shù)最大項等)，解決這些問題通常采用待定系數(shù)法，運用通項公式寫出待定式，再根據(jù)待定項的要求寫出n、r滿足的條件，求出n和r，再確定所需的項； 2.賦值法是解決二項展開式的系數(shù)和、差問題的一個重要手段； 3.利用二項式定理解決整除問題時，關(guān)鍵是進行合理的變形，使得二項展開式的每一項都成為除數(shù)的倍數(shù).對于余數(shù)問題，要注意余數(shù)的取值范圍.