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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 17.1 坐標(biāo)系教案 理 新人教A版 高考導(dǎo)航 考試要求 重難點(diǎn)擊 命題展望 一、坐標(biāo)系 1.了解在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，理解坐標(biāo)系的作用. 2.了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 3.能在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，體會在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的區(qū)別，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 4.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形(如過極點(diǎn)的直線、過極點(diǎn)或圓心在極點(diǎn)的圓)的方程.通過比較這些圖形在極坐標(biāo)系和平面直角坐標(biāo)系中的方程，體會在用方程刻畫平面圖形時(shí)選擇適當(dāng)坐標(biāo)系的意義. 5.了解在柱坐標(biāo)系、

2、球坐標(biāo)系中刻畫空間點(diǎn)的位置的方法，并與空間直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法相比較，體會它們的區(qū)別. 二、參數(shù)方程 1.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 2.分析直線、圓和圓錐曲線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程. 3.了解平擺線和漸開線的生成過程，并能寫出它們的參數(shù)方程. 4.了解其他擺線的生成過程；了解擺線在實(shí)際中應(yīng)用的實(shí)例；了解擺線在刻畫行星運(yùn)動(dòng)軌道中的作用. 　　本章重點(diǎn)： 1.根據(jù)問題的幾何特征選擇坐標(biāo)系；坐標(biāo)法思想；平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換；極坐標(biāo)系；直線和圓的極坐標(biāo)方程. 2.根據(jù)問題的條件引進(jìn)適當(dāng)?shù)膮?shù)，寫出參數(shù)方程，體會參數(shù)的意義；分析直線、圓和圓錐曲

3、線的幾何性質(zhì)，選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出它們的參數(shù)方程. 本章難點(diǎn)： 1.對伸縮變換中點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的理解；極坐標(biāo)的不唯一性；曲線的極坐標(biāo)方程. 2.根據(jù)幾何性質(zhì)選取恰當(dāng)?shù)膮?shù)，建立曲線的參數(shù)方程. 　　坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)，為便于用代數(shù)的方法研究幾何圖形，常需建立不同的坐標(biāo)系，以便使建立的方程更加簡單，參數(shù)方程是曲線在同一坐標(biāo)系下不同于普通方程的又一種表現(xiàn)形式.某些曲線用參數(shù)方程表示比用普通方程表示更加方便. 本專題要求通過坐標(biāo)系與參數(shù)方程知識的學(xué)習(xí)，使學(xué)生更全面地理解坐標(biāo)法思想；能根據(jù)曲線的特點(diǎn)，選取適當(dāng)?shù)那€方程表示形式，體會解決問題中數(shù)學(xué)方法的靈活性. 高考中，參數(shù)方程和極坐標(biāo)是本

4、專題的重點(diǎn)考查內(nèi)容.對于柱坐標(biāo)系、球坐標(biāo)系，只要求了解即可. 知識網(wǎng)絡(luò) 17.1　坐標(biāo)系 典例精析 題型一　極坐標(biāo)的有關(guān)概念 【例1】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為A(5，)，B(5，)，C(－4，)，試判斷△ABC的形狀，并求出它的面積. 【解析】在極坐標(biāo)系中，設(shè)極點(diǎn)為O，由已知得∠AOB＝，∠BOC＝，∠AOC＝. 又|OA|＝|OB|＝5，|OC|＝4，由余弦定理得 |AC|2＝|OA|2＋|OC|2－2|OA|·|OC|·cos∠AOC＝52＋(4)2－2×5×4·cos＝133， 所以|AC|＝.同理，|BC|＝. 所以

5、|AC|＝|BC|，所以△ABC為等腰三角形. 又|AB|＝|OA|＝|OB|＝5， 所以AB邊上的高h(yuǎn)＝＝， 所以S△ABC＝××5＝. 【點(diǎn)撥】判斷△ABC的形狀，就需要計(jì)算三角形的邊長或角，在本題中計(jì)算邊長較為容易，所以先計(jì)算邊長. 【變式訓(xùn)練1】(1)點(diǎn)A(5，)在條件：①ρ＞0，θ∈(－2π，0)下極坐標(biāo)為　　　 ，②ρ＜0，θ∈(2π，4π)下極坐標(biāo)為　　　　??； (2)點(diǎn)P(－，)與曲線C：ρ＝cos 的位置關(guān)系是 . 【解析】(1)(5，－)；(－5，).(2)點(diǎn)P在曲線C上. 題型二　直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的互化 【例2】⊙O1和⊙O2的極坐

6、標(biāo)方程分別為ρ＝4cos θ，ρ＝－4sin θ. (1)把⊙O1和⊙O2的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； (2)求經(jīng)過⊙O1和⊙O2交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程. 【解析】(1)以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立直角坐標(biāo)系，且兩坐標(biāo)系取相同單位長. 因?yàn)閤＝ρcos θ，y＝ρsin θ，由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ， 所以x2＋y2＝4x，即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐標(biāo)方程. 同理，x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐標(biāo)方程. (2) 由解得或 即⊙O1，⊙O2的交點(diǎn)為(0,0)和(2，－2)兩點(diǎn)， 故過交點(diǎn)的直線的直角坐標(biāo)方程為x＋y＝0. 【點(diǎn)撥

7、】 互化的前提條件：原點(diǎn)對應(yīng)著極點(diǎn)，x軸正向?qū)?yīng)著極軸.將互化公式代入，整理可以得到. 【變式訓(xùn)練2】在極坐標(biāo)系中，設(shè)圓ρ＝3上的點(diǎn)到直線ρ(cos θ＋sin θ)＝2的距離為d，求d的最大值. 【解析】將極坐標(biāo)方程ρ＝3化為普通方程x2＋y2＝9， ρ(cos θ＋sin θ)＝2可化為x＋y＝2. 在x2＋y2＝9上任取一點(diǎn)A(3cos α，3sin α)， 則點(diǎn)A到直線的距離為d＝＝，它的最大值為4. 題型三　極坐標(biāo)的應(yīng)用 【例3】過原點(diǎn)的一動(dòng)直線交圓x2＋(y－1)2＝1于點(diǎn)Q，在直線OQ上取一點(diǎn)P，使P到直線y＝2的距離等于|PQ|，用極坐標(biāo)法求動(dòng)直線繞原點(diǎn)一周時(shí)點(diǎn)P

8、的軌跡方程. 【解析】以O(shè)為極點(diǎn)，Ox為極軸，建立極坐標(biāo)系，如右圖所示，過P作PR垂直于直線y＝2，則有|PQ|＝|PR|.設(shè)P(ρ，θ)，Q(ρ0，θ)，則有ρ0＝2sin θ.因?yàn)閨PR|＝|PQ|，所以|2－ρsin θ|＝|ρ－2sin θ|，所以 ρ＝±2或sin θ＝±1，即為點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程，化為直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝4或x＝0. 【點(diǎn)撥】用極坐標(biāo)法可使幾何中的一些問題得到很直接、簡單的解法，但在解題時(shí)關(guān)鍵是極坐標(biāo)要選取適當(dāng)，這樣可以簡化運(yùn)算過程，轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)時(shí)也容易一些. 【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)A在直線x＝5上移動(dòng)，等腰△OPA的頂角∠OPA為120°(O，

9、P，A按順時(shí)針方向排列)，求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解析】取O為極點(diǎn)，x正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系， 則直線x＝5的極坐標(biāo)方程為ρcos θ＝5. 設(shè)A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)， 因?yàn)辄c(diǎn)A在直線ρcos θ＝5上，所以ρ0cos θ0＝5.① 因?yàn)椤鱋PA為等腰三角形，且∠OPA＝120°，而|OP|＝ρ，|OA|＝ρ0以及∠POA＝30°， 所以ρ0＝ρ，且θ0＝θ－30°.② 把②代入①，得點(diǎn)P的軌跡的極坐標(biāo)方程為ρcos(θ－30°)＝5. 題型四　平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)的伸縮變換 【例4】定義變換T：可把平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)P(x，y)變換成點(diǎn)P′(x′，y′).特

10、別地，若曲線M上一點(diǎn)P經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)P′與點(diǎn)P重合，則稱點(diǎn)P是曲線M在變換T下的不動(dòng)點(diǎn). (1)若橢圓C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且焦距為2，長軸頂點(diǎn)和短軸頂點(diǎn)間的距離為2.求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求出當(dāng)tan θ＝時(shí)，其兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2經(jīng)變換公式T變換后得到的點(diǎn)F1′和F2′的坐標(biāo)； (2)當(dāng)tan θ＝時(shí)，求(1)中的橢圓C在變換T下的所有不動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo). 【解析】(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)， 由橢圓定義知焦距2c＝2?c＝，即a2－b2＝2.① 又由已知得a2＋b2＝4，② 故由①、②可解得a2＝3，b2＝1. 即橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2

11、＝1， 且橢圓C兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F1(－，0)和F2(，0). 對于變換T：當(dāng)tanθ=時(shí)，可得 設(shè)F1′(x1，y1)和F2′(x2，y2)分別是由F1(－，0)和F2(，0)的坐標(biāo)經(jīng)變換公式T變換得到. 于是 即F1′的坐標(biāo)為(－，－)； 又 即F2′的坐標(biāo)為(，). (2)設(shè)P(x，y)是橢圓C在變換T下的不動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)tan θ＝時(shí)， 有?x＝3y，由點(diǎn)P(x，y)∈C，即P(3y，y)∈C，得＋y2＝1 ?因而橢圓C的不動(dòng)點(diǎn)共有兩個(gè)，分別為(，)和(－，－). 【變式訓(xùn)練4】在直角坐標(biāo)系中，直線x－2y＝2經(jīng)過伸縮變換　　　　　　　　　后變成直線2x′－y′＝4. 【解析】 總結(jié)提高 1.平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)有無數(shù)種表示方法. 如果規(guī)定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)可用唯一的極坐標(biāo)(ρ，θ)表示；反之也成立. 2.熟練掌握幾種常用的極坐標(biāo)方程，特別是直線和圓的極坐標(biāo)方程.