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1、2022年高考數(shù)學一輪總復習 2.9 函數(shù)模型及其應(yīng)用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　運用指數(shù)模型求解 【例1】按復利計算利率的一種儲蓄，本金為a元，每期利率為r，設(shè)本利和為y，存期為x，寫出本利和y隨期數(shù)x的變化函數(shù)式.如果存入本金10 000元，每期利率為2.25%，計算5期的本息和是多少？ 【解析】已知本金為a元， 1期后的本利和為y1＝a＋a×r＝a(1＋r)； 2期后的本利和為y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2； 3期后的本利和為y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r ＝a(1＋r)3； 　　　　?　　　　? x期后的本利和為y＝a

2、(1＋r)x. 將a＝10 000， r＝2.25%， x＝5代入上式得 y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8， 所以5期后的本利和是11 176.8元. 【點撥】在實際問題中，常遇到有關(guān)平均增長率的問題，如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為p，則總產(chǎn)值y與時間x的關(guān)系為y＝N(1＋p)x. 【變式訓練1】某工廠去年十二月的產(chǎn)值為a，已知月平均增長率為p，則今年十二月的月產(chǎn)值較去年同期增長的倍數(shù)是(　　) A.(1＋p)12－1 B.(1＋p)12 C.(1＋p)11 D.12p 【解析】今年十二月產(chǎn)值為a(1＋p)12，去年十二

3、月產(chǎn)值為a，故比去年增長了[(1＋p)12－1]a，故選A. 題型二　分段函數(shù)建模求解 【例2】在對口脫貧活動中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣點以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)給尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型殘病人企業(yè)乙，并約定從該經(jīng)營利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月的最低生活費開支3600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息). 在甲提供資料中有：①這種消費品的進價每件14元；②該店月銷售量Q(百件)與銷價p(元)關(guān)系如圖；③每月需各種開支2 000元. (1)試問為使該店至少能維持職工生活，商品價格應(yīng)控制在何種范圍？ (2)當商品價格為每件多少元時，月利

4、潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額； (3)企業(yè)乙只依靠該廠，最早可望幾年后脫貧？ 【解析】設(shè)該店月利潤額為L，則由假設(shè)得 L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，① (1)當14≤p≤20時，由L≥0得18≤p≤20， 當20＜p≤26時，由L≥0得20＜p≤22， 故商店銷售價應(yīng)控制在18≤p≤22之內(nèi). (2)當18≤p≤20時，L最大＝450元，此時，p＝19.5元. 當20＜p≤22時，L最大＝416元，此時，p＝20元. 故p＝19.5元時，月利潤最大余額為450元. (3)設(shè)可在n年內(nèi)脫貧，依題意得 12n×450－50 000－5

5、8 000≥0，解得n≥20， 即最少可望在20年后脫貧. 【點撥】解答這類題關(guān)鍵是要仔細審題，理解題意，建立相應(yīng)數(shù)學模型，求解時，也可利用導數(shù)，此外要注意問題的實際意義. 【變式訓練2】國家稅務(wù)部門規(guī)定個人稿費的納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4 000元的按照超過800元部分的14%納稅；超過4 000元的按全稿費的11%納稅.某人出版了一本書，共納稅550元，問此人的稿費為多少元？ 【解析】設(shè)納稅y(元)時稿費為x(元)，則 由y＞500知x＞4 000，所以x×11%＝550?x＝5 000， 所以此人稿費為5 000元. 題型三　生活中的優(yōu)化

6、問題 【例3】(xx湖北模擬)為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層.某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元.該建筑物每年的能源消耗費用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和. (1)求k的值及f(x)的表達式； (2)隔熱層修建多厚時，總費用f(x)達到最??？并求最小值. 【解析】(1)設(shè)隔熱層厚度為x cm，由題設(shè)，每年能源消耗費用為C(x)＝， 再由C(0)＝8得k＝40，因此C(

7、x)＝.而建造費用為C1(x)＝6x. 最后得隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為 f(x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10). (2)f′(x)＝6－，令f′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5，x＝－(舍去). 當0＜x＜5時，f′(x)＜0；當5＜x＜10，f′(x)＞0， 故x＝5是f(x)的最小值點，對應(yīng)的最小值為f(5)＝6×5＋＝70. 當隔熱層修建5 cm厚時，總費用達到最小值70萬元. 【點撥】如果根據(jù)數(shù)據(jù)判斷函數(shù)的類型，可由數(shù)據(jù)的變化情況對其單調(diào)性、對稱性和特定值進行判斷，也可以從所給的部分數(shù)據(jù)求出模擬函數(shù)解析式，再由其他數(shù)據(jù)

8、進一步判斷. 【變式訓練3】某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x、y應(yīng)為x＝　　 　，y＝　　　. 【解析】如圖，由已知有＝， 即4x＋5y－120＝0， S＝xy＝(4x5y)≤()2＝180. 所以?x＝15，y＝12. 總結(jié)提高 利用數(shù)學模型解決實際問題，運用數(shù)學建模思想、不同的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實世界中不同的增長變化規(guī)律.一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型，它們的增長存在很大的差異，如指數(shù)函數(shù)增長是指數(shù)“爆炸”，對數(shù)函數(shù)增長是逐步趨于平衡，而冪函數(shù)增長遠低于指數(shù)函數(shù)，因此建立恰當數(shù)學模型并利用所得函數(shù)模型解釋有關(guān)現(xiàn)象，對某些發(fā)展趨勢進行預測具有很強的現(xiàn)實意義.