《備戰(zhàn)2018版高考數(shù)學(xué)考試萬能工具包 第一篇 考前必看公式與結(jié)論 專題1.1 常用公式大全及必記結(jié)論》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《備戰(zhàn)2018版高考數(shù)學(xué)考試萬能工具包 第一篇 考前必看公式與結(jié)論 專題1.1 常用公式大全及必記結(jié)論（34頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 專題01 常用公式大全及必記結(jié)論 一、集合與簡易邏輯 1.幾何關(guān)系及運算中常用結(jié)論 2．含有個元素的集合共有 個子集；–1個真子集；非空子集有 –1個；非空的真子集有–2個. 3.含邏輯連接詞命題真假判定 ①與真假相反； ②一假即為假，兩真才為真； ③一真即為真，兩假才為假。 4.常見結(jié)論的否定形式 結(jié)論 是 都是 大于 小于 至少一個 至多一個 至少個 至多有個 對所有，成立 或 且 對任何，不成立 否定 不是 不都是 不大于 不小于 一個也沒有 至少兩個 至多有（）個 至少有（）個 存在某，不成立

2、 且 或 存在某，成立 5.特稱命題與全稱命題的否定 全稱命題：對，使成立，其否定為：，使成立； 特稱命題：，使成立，其否定為：，使成立。 6. .四種命題的相互關(guān)系 原命題　　　　　　　互逆　　　　　　　逆命題 若ｐ則ｑ　　　　　　　　　　　　　　　若ｑ則ｐ 　　　　　　　互　　　　　　　互 　　互　　　　　　　　為　　　為　　　　　　　　互 　　否　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　否 　　　　　　　　　　　逆　　　逆　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　否　　　　　　 否 　否命題　　　　　　　　　　　　　　逆否命題　　　 若非ｐ則非ｑ　　　　

3、互逆　　　　　　若非ｑ則非ｐ 原命題與逆否命題真假，逆命題與否命題同真假 7.充要條件判定方法 ①定義法：若，則是充分條件；若，則是必要條件；若，且，則是充要條件. ②集合法：若滿足條件的集合為A，滿足條件的集合為B，若AB，則是的充分不必要條件；若BA，則是必要不充分條件；若A=B則，是 充要條件。 對充要條件判定問題，一定要分清誰是條件，誰是結(jié)論，若條件、結(jié)論滿足的條件易求，常用集合法. 二、函數(shù) 1.函數(shù)值域與最值求法 (1)配方法：對可化為關(guān)于某個函數(shù)的二次函數(shù)形式的函數(shù)，常用此法. (2)換元法：換元法是求最值的重要方法，是將復(fù)雜問題化為簡單問題的重要工具，包

4、括代數(shù)換元和三角代換兩類方法，若是可化為關(guān)于某個函數(shù)的函數(shù)問題，常用代數(shù)換元法，設(shè)這個函數(shù)為，如是關(guān)于或的二次函數(shù)，如含和的函數(shù)等常用換元法，常設(shè)=，=，=，等等，在用代數(shù)換元法時，注意①新變量的范圍.②在換元前后原變量的范圍應(yīng)保持不變；對于，滿足圓的方程或橢圓的方程或可化為平方和為1的形式的二元函數(shù)的最值問題，常用三角代換即圓的參數(shù)方程或橢圓的參數(shù)方程；對定義域為或（0，1）的含二次根式的函數(shù)的最值問題，常設(shè)=或=，將其化為三角函數(shù)的最值問題，注意參數(shù)的范圍. （3）利用函數(shù)有界性求值域（最值） 若可化為關(guān)于、、 、 （＞0且≠1）等函數(shù)的函數(shù)的最值問題，就利用這些函數(shù)的有界性求最值，這

5、類問題通常有兩種思路，（1）將函數(shù)解析式看作方程，用將，或表示出來，利用，等值域或范圍，化為關(guān)于的不等式，通過解關(guān)于的不等式求出的范圍，即可求出最值；利用這些函數(shù)的有界性，再利用不等式性質(zhì)或函數(shù)的圖像與性質(zhì)，求出函數(shù)的最值. （4）不等式法 若已知函數(shù)的有界性或的范圍，利用不等式的性質(zhì)，求出的范圍即為函數(shù)的值域. 若將函數(shù)式通過常量分離、常量代換、配湊等方法化為兩項的和或兩個因式積的形式，若為兩項的和的形式，積為常數(shù)，或兩個因式積的形式而因式的和（或平方和）為常數(shù)，則可以利用重要不等式求最值，利用重要不等式求最值時，.應(yīng)注意均值不等式成立的條件：一正二定三相等這三個條件缺一不可；若在求最

6、值時，多次用到均值不等式，一定要注意幾個不等式能否同時取等號，若不能同時取等號，則取不到最值. （5）利用判別式求值域（最值） 對于所求的最值問題，如果能將已知函數(shù)式經(jīng)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無實根的問題，則?？衫门袆e式，在應(yīng)用此法時注意定義域為除式子有意義外無其他限定條件，若有限定條件不能用此法，另外要注意要驗證判別式為0時是否成立． （6）數(shù)形結(jié)合法 對易作出圖像的函數(shù)，或幾何意義比較明顯的最值問題，常用數(shù)形結(jié)合法求最值，特別是三角函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題，先將其化為一個角的一個三角問題，再根據(jù)的范圍，求出內(nèi)函數(shù)的值域，結(jié)合三角函數(shù)的圖像，求出三角函數(shù)的范圍，在利用不

7、等式的性質(zhì)求出值域，這類最值問題是高考考查的重點 （7）分段函數(shù)的值域 先求出每段函數(shù)的值域，再求這些值域的并集即德函數(shù)的值域. （8）復(fù)合函數(shù)的值域 先求出復(fù)合函數(shù)的定義域，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的定義域求出內(nèi)函數(shù)的值域，內(nèi)函數(shù)的值域作為外函數(shù)的定義域，在求出完函數(shù)的值域就是復(fù)合函數(shù)的值域. 2.分式函數(shù)（）圖像與性質(zhì) 通過常量分離化為： = 對稱中心為（，），可將函數(shù)=的圖像向左（＞0）(向右（＜0））平移||個單位，再向上（＞0）（向下（＜0））平移||個單位得到. 當(dāng)＞0時，減區(qū)間為（-∞，），（，+∞）； 當(dāng)＜0時，的增區(qū)間為（-∞，），（，+∞）. 3.二次函數(shù)解析式與

8、性質(zhì) (1)解析式：①一般式; ②頂點式; ③零點式. （2）性質(zhì):頂點為（，），對稱軸為：=； 當(dāng)＞0時，減區(qū)間為（-∞，），增區(qū)間為（，+∞）； 當(dāng)＜0時，增區(qū)間為（-∞，），減區(qū)間為（，+∞） 4.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值 二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，具體如下： (1)當(dāng)＞0時，，， . 若，則； (2)當(dāng)＜0時，若，則， 若，則，. 5.一元二次方程的實根分布 ，是一元二次方程=0的根，設(shè)=. 根的分布 充要條件 充要條件1 充要條件2 ,∈(,+∞) ＞且 ＞ ,∈(-∞,)

9、＜且 ＜ ＜＜ ＜＜ ＜＜＜ ＜＜＜ 6. 不等式恒成立、有解判斷結(jié)論： (1) (2)對于參數(shù)及函數(shù). 若恒成立，則；若恒成立，則； 若有解，則；若有解，則； 若有解，則. 7.函數(shù)的單調(diào)性 (1)設(shè)那么 上是增函數(shù)； 上是減函數(shù). (2)設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減函數(shù). 8.單調(diào)函數(shù)性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)單調(diào)性 如果函數(shù)和在相同區(qū)間上是單調(diào)函數(shù),則①增函數(shù)+增函數(shù)是增函數(shù)；②減函數(shù)+減函數(shù)是減函數(shù)；③增函數(shù)-減函數(shù)是增函數(shù)；④減函數(shù)-增函數(shù)是減函數(shù)； 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù)（增函數(shù)）,則復(fù)合函

10、數(shù)是增函數(shù). 如果函數(shù)和在其對應(yīng)的定義域上一個是減函數(shù)另一個是增函數(shù)，則復(fù)合函數(shù)是減函數(shù). 9．函數(shù)的奇偶性 是奇函數(shù)對定義域內(nèi)任意，都有對定義域內(nèi)任意，都有圖像關(guān)于原點對稱； 是偶函數(shù)對定義域內(nèi)任意，都有對定義域內(nèi)任意，都有圖像關(guān)于軸對稱； 10.函數(shù)的圖象的對稱性結(jié)論 ①若函數(shù)關(guān)于對稱對定義域內(nèi)任意都有=對定義域內(nèi)任意都有=是偶函數(shù)； ②函數(shù)關(guān)于點（，0）對定義域內(nèi)任意都有=－=－是奇函數(shù)； ③若函數(shù)對定義域內(nèi)任意都有,則函數(shù)的對稱軸是； ④若函數(shù)對定義域內(nèi)任意都有,則函數(shù)的對稱軸中心為； ⑤函數(shù)關(guān)于對稱. 11.兩個函數(shù)對稱的結(jié)論 ①兩個函數(shù)與 的圖象關(guān)于直線對稱

11、. ②函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱. ③函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線(即軸)對稱。 ④函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于點（0,0）（即原點)對稱。 12.函數(shù)的圖象變換 ①將函數(shù)圖像的圖象； ②將函數(shù)圖像的圖象； ③將函數(shù)圖像的圖象； ④將函數(shù)圖像的圖象； 13.幾個函數(shù)方程的周期(約定>0) （1）對定義域內(nèi)任意都有，則的周期T=； （2）對定義域內(nèi)任意都有，或， 或,則的周期T=2； （3）若函數(shù)關(guān)于=，=對稱，則的周期為； （4）若函數(shù)關(guān)于（，0），（，0）對稱，則的周期為； （5）若函數(shù)關(guān)于=，（，0）對稱，則的周期為. 14.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 (1)（，且）.

12、 (2)（，且）. 15．根式的性質(zhì) （1）. （2）當(dāng)為奇數(shù)時，； 當(dāng)為偶數(shù)時，. 16．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì) (1) . (2) . (3). 注： 若a＞0，p是一個無理數(shù)，則ap表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用. 17.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式 . 18.對數(shù)的換底公式 (,且,,且, ). 推論 (,且,,且,, ). 對數(shù)恒等式： 19．對數(shù)的四則運算法則 若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則(1); (2) ; (3). 20. 平均增長率的問題 如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時

13、間的總產(chǎn)值，有. 三、數(shù)列 1.數(shù)列的第n項與前n項的和的關(guān)系 ( 數(shù)列的前n項的和為). 2.等差數(shù)列的通項公式 ； 其前n項和公式為. 3.等比數(shù)列的通項公式 ； 其前n項的和公式為 或. 4.等比差數(shù)列:的通項公式為 ； 其前n項和公式為 . 四、三角函數(shù)與解三角形 1．常見三角不等式 （1）若，則. (2) 若，則. (3) . 2.兩角和差的三角函數(shù)： 輔助角公式：(其中角所在的象限由a, b 的符號確定，角的值由確定)在求最值、化簡時起著重要作用. . . 3.三角函數(shù)圖像的對稱中心和對稱軸的結(jié)論： ①正弦函數(shù)是

14、奇函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線.函數(shù)對稱軸可由解出；對稱中心的橫坐標(biāo)是方程的解，對稱中心的縱坐標(biāo)為. ②余弦函數(shù)是偶函數(shù)，對稱中心是，對稱軸是直線.函數(shù)對稱軸可由解出；對稱中心的縱坐標(biāo)是方程的解，對稱中心的橫坐標(biāo)為. ③正切函數(shù)是奇函數(shù)，對稱中心是，函數(shù)對稱中心的橫坐標(biāo)可由解出，對稱中心的縱坐標(biāo)為，函數(shù)不具有軸對稱性. 4.中的結(jié)論：（1）正弦定理：. （2）余弦定理：;;. （3）面積定理：（分別表示a、b、c邊上的高）. . （4）其它結(jié)論：. ①,,. ②,,. ③. ④銳角中,,. ⑤. 五、平面向量 1.實數(shù)與向量的積的運算律 設(shè)λ、μ為實

15、數(shù)，那么 (1) 結(jié)合律：; (2)第一分配律：; (3)第二分配律： 2.向量的數(shù)量積的運算律： (1) = ; (2) = =; (3) 3.平面向量基本定理? 如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使得=． 不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 4．向量平行的坐標(biāo)表示?? 設(shè)=,=，且，則 ()存在唯一使得. 5. 與的數(shù)量積(或內(nèi)積) =． 6. 的幾何意義 數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的乘積． 7.平面向量的坐標(biāo)運算 (1)設(shè)=,=，則=.

16、 (2)設(shè)A，B,則. (3)設(shè)=，則=. (4)設(shè)=,=，則=. 8.兩向量的夾角公式 (=,=). 9.向量垂直的充要條件 設(shè)=,=， ()=0. 10.三點共線的充要條件及中點公式 ? （1）P、Q、M三點共線（）. （2）P是線段QM的中點 若M,N,則線段QM的中點（） 11. 三角形五“心”向量形式的充要條件 設(shè)為所在平面上一點，角所對邊長分別為，則 （1）為的外心. （2）為的重心. （3）為的垂心. （4）為的內(nèi)心. （5）為的的旁心. 六、不等式 1.常用不等式： （1）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)， 變形：(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時

17、取“=”號)． （2）(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)， 變形：(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取“=”號)． （3）（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”） （4）柯西不等式 設(shè)，，…，，，，…，∈R,則,當(dāng)且僅當(dāng)=0（=1,2，…，）或存在一個實數(shù)，使得=（=1,2，…，）時，等號成立. （5）. 2.一元二次不等式解法 若對應(yīng)兩根為，且＞0，則＞0； ＜0 3.含有絕對值的不等式 當(dāng)a> 0時，有. 或. ( ＜）或或 4.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式 (1)當(dāng)時, ; . (2)當(dāng)時, ; 5.線性規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)常用的轉(zhuǎn)化公式： ①與直線的截距相關(guān)聯(lián). ② ③表示到兩點距

18、離的平方； ④表示到直線的距離的倍. 七、解析幾何 1.斜率公式 （、）. 2.直線的五種方程 （1）點斜式 (直線過點，且斜率為)． （2）斜截式 (b為直線在y軸上的截距). （3）兩點式 ()(、 ()). (4)截距式 (分別為直線的橫、縱截距，) （5）一般式 (其中A、B不同時為0). 3.兩條直線的平行和垂直 (1)若， ①; ②. (2)若,, ①； ②； 4．四種常用直線系方程 (1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的直線系方程為(除直線),其中是待定的系數(shù); 經(jīng)過定點的直線系方程為,其中是待定的系數(shù)． (2)共點直線系方程：經(jīng)

19、過兩直線,的交點的直線系方程為(除)，其中λ是待定的系數(shù)． (3)平行直線系方程：直線中當(dāng)斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線平行的直線系方程是()，λ是參變量． (4)垂直直線系方程：與直線 (A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參變量． 5.點到直線的距離 (點,直線：). 6. 圓的四種方程 （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 . （2）圓的一般方程 (＞0). （3）圓的參數(shù)方程 . （4）圓的直徑式方程 (圓的直徑的端點是、). 7. 圓系方程 (1)過點,的圓系方程是 ,其中是直線的方程,λ是待定的系數(shù)． (2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是,λ是

20、待定的系數(shù)． (3) 過圓:與圓:的交點的圓系方程是,λ是待定的系數(shù)． 8.點與圓的位置關(guān)系 點與圓的位置關(guān)系有三種 若，則 點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi). 9.直線與圓的位置關(guān)系 直線與圓的位置關(guān)系有三種: 其中 ; ; . 10.兩圓位置關(guān)系的判定方法 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2， ; ; ; ; . 11.圓的切線方程 (1)已知圓． ①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是 . 當(dāng)圓外時, 表示過兩個切點的切點弦方程． ②過圓外一點的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的

21、切線． ③斜率為k的切線方程可設(shè)為，再利用相切條件求b，必有兩條切線． (2)已知圓． ①過圓上的點的切線方程為; ②斜率為的圓的切線方程為. 12.橢圓的參數(shù)方程是. 13.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系 (1）若雙曲線方程為漸近線方程：. (2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為. (3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為（，焦點在x軸上，，焦點在y軸上） 14. 拋物線的焦半徑公式 拋物線焦半徑. 過焦點弦長=（其中直線CD的傾斜角為）. 15.直線與圓錐曲線相交的弦長公式 或 （弦端點A，由方程 消去y得到，,為直線的傾斜角，為直線的斜率）. 八、立

22、體幾何與空間向量 1．證明直線與直線的平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點，依據(jù)平行線定義：在同一平面內(nèi)沒有公共點的兩直線； （2）轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行，依據(jù)公理4：平行同一直線的兩條直線平行； （3）轉(zhuǎn)化為線面平行，依據(jù)線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行； （4）轉(zhuǎn)化為線面垂直，依據(jù)線面垂直得性質(zhì)定理：垂直同一平面的兩直線平行； （5）轉(zhuǎn)化為面面平行，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理：兩個平面同時和第三個平面相交，則交線平行. （6）向量法：證明兩直線的方向向量共線. 2．證明直線與平面的平行的思考

23、途徑 （1）轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點，依據(jù)線面平行定義：若一條直線與一個平面沒有公共點，則稱這條直線與這個平面平行； （2）轉(zhuǎn)化為線線平行，依據(jù)線面平行的判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行； （3）轉(zhuǎn)化為面面平行，依據(jù)面面平行的性質(zhì)定理：若兩個平面平行，則一個平面的任意一條直線都和另一平面平行. （4）向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量垂直. 3．證明平面與平面平行的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點，依據(jù)面面平行的定義：若兩個平面沒有公共點，則稱這兩個平面平行； （2）轉(zhuǎn)化為線面平行，依據(jù)面面平行的判定定:1：如果一個平面內(nèi)

24、的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.； （3）通過線線平行證明，依據(jù)面面平行的判定定理2：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)兩直線平行，那么這兩個平面平行.； （3）轉(zhuǎn)化為線面垂直，依據(jù)線面垂直得性質(zhì)：垂直于同一直線的兩個平面平行. 4．證明直線與直線的垂直的思考途徑 （1）轉(zhuǎn)化為相交垂直，依據(jù)：一條直線與兩平行線中的一條垂直，則與另一條也垂直； （2）轉(zhuǎn)化為線面垂直，依據(jù)線面垂直的定義：一直線與與一平面垂直這條直線與平面內(nèi)任意直線都垂直； （3）向量法：證明兩直線的方向向量垂直. 5．證明直線與平面垂直的思考途徑 （1）定義法：一直線與與一平面垂直這

25、條直線與平面內(nèi)任意直線都垂直； （2）判定定理法：若一條直線與平面內(nèi)兩條相交直線垂直，則這條直線與這個平面垂直； （3）轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)：若兩條平行線的一條直線與一個平面垂直，則另一條直線也與這個平面垂直； （4）轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面，依據(jù)線面垂直的性質(zhì)：若一條直線垂直兩個平面的一個，則與另一個平面也垂直； （5）轉(zhuǎn)化為該直線與兩個垂直平面的交線垂直，依據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理：若兩個平面垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線一定垂直另一個平面. （6）向量法：證明直線的方向向量與平面的法向量平行. 6．證明平面與平面的垂直的思考途徑

26、 （1）定義法：若兩個平面所成的二面角的平面角是直角，則稱這兩個平面垂直； （2）判定定理法：若一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直. 7.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律 (1)加法交換律：＋=＋． (2)加法結(jié)合律：(＋)＋=＋(＋)． (3)數(shù)乘分配律：λ(＋)=λ＋λ． 8.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣 始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量. 9.共線向量定理 對空間任意兩個向量、 (≠ )，∥存在實數(shù)λ使=λ． 三點共線. 、共線且不共線且不共線. 10.共面

27、向量定理 向量與兩個不共線的向量、共面的存在實數(shù)對,使． 推論 空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使， 或?qū)臻g任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使. 11.對空間任一點和不共線的三點A、B、C，滿足（），則當(dāng)時，對于空間任一點，總有P、A、B、C四點共面；當(dāng)時，若平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若平面ABC，則P、A、B、C四點不共面． 四點共面與、共面 （平面ABC）. 12.空間向量基本定理 如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組，，，使＝． 推論 設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x

28、，y，z，使. 13.射影公式 已知向量=和軸，是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影，作B點在上的射影，則 〈，〉= 14.向量的直角坐標(biāo)運算 設(shè)＝，＝則 (1) ＋＝； (2) －＝； (3)λ＝ (λ∈R)； (4) ·＝； 15.設(shè)A，B，則 = . 16．空間的線線平行或垂直 設(shè)，，則； . 17.夾角公式 設(shè)＝，＝，則 cos〈，〉=. 推論 ，此即三維柯西不等式. 18．異面直線 （1）定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩直線叫異面直線，特征：既不相交也不平行. (2)異面直線所成角概念：是兩條直線，O是空間任意一點，過O作∥，∥，則相交直

29、線、所成的銳角或直角叫異面直線所成的角，范圍：（0，]. （3）異面直線所成角的求解思路 ①定義法：根據(jù)異面直線所成角的定義，通過過一點（通常在一條直線上取一點）作兩條異面直線的平行線，轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角，通過解三角形求解，解題步驟，一找二作三證四解. ②向量法：= （其中（）為異面直線所成角，分別表示異面直線的方向向量） 19.直線與平面所成角 （1）概念：斜線與直線在平面的射影所成的銳角叫這條斜線與這個平面所成的角，規(guī)定：直線與平面平行或在平面內(nèi)，直線與平面所成的角為0；直線與平面垂直時，直線與平面所成角為，范圍：[0, ]. (2)求線面角的思路 ①幾何法：根據(jù)定義轉(zhuǎn)化

30、為斜線與斜線在平面內(nèi)的射影所成的角，通過解三角形求解，解題步驟，一找二作三證四解. ②向量法：若直線的方向向量為與平面內(nèi)的法向量為，直線與平面的所成的角為，則==. 20.二面角 （1）二面角定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，這兩個平面叫做二面角的面. （2）二面角平面角的定義：過二面角棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所組成的角叫做二面角的平面角. （3）二面角問題的解題思路 ①幾何法：解題步驟，一找二作三證四解，作二面角平面角有三種方法：①垂面法，過棱上一點作棱的垂面，垂面與兩個半平面交于兩條射線，這兩條射線

31、所成的角就是二面角的平面角，若易過棱上一點作棱的垂面，常用此法, 如若已知過一點與兩個半平面垂直的直線，則過這兩線做棱的垂面，與兩個半平面的交線所成的角就是二面角的平面角.；②垂線法，過棱上一點分別在兩個半平面內(nèi)作棱的垂線，這兩條垂線所成的角就是二面角的平面角，若過棱上一點在兩個半平面內(nèi)易作棱的垂線，常用此法，如若兩個半平面都是以棱為底等腰三角形或一個以棱為底等腰三角形，則做等腰三角形底邊上的高，在另一個半平面內(nèi)過垂直作棱的垂線，所得的角就是二面角的平面角；③三垂線法，若已知過一個半平面內(nèi)一點的直線與另一個半平面垂直，常過這一點在這個平面內(nèi)作棱的垂線，則所作垂線的垂直與線面垂足與所作垂線所成的

32、角就是二面角的平面角，然后證明所作角為二面角的平面角，再轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角計算.在做二面角的平面角時，注意觀察兩個半平面的特點，選擇合適的方法作二面角的平面角. ②向量法：對二面角的大小問題，先求出平面、的法向量、，再求出、的夾角，在內(nèi)取一點A，在內(nèi)取一點B，設(shè)二面角大小為，若與同號，則=，若與異號，則=，注意二面角大小與法向量夾角的關(guān)系. ③面積射影定理法： .(平面多邊形及其射影的面積分別是、，它們所在平面所成銳二面角的為). 21.三視圖的一般要求 正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線，化三視圖的基本要求是：“正俯一樣長，俯側(cè)一樣寬，正

33、側(cè)一樣高”. 由三視圖想象幾何體特征時要根據(jù)“長對正、寬相等、高平齊”的基本原則. 22.幾何體的體積與表面積 （是柱體的底面積、是柱體的高）. （是錐體的底面積、是錐體的高）. （、是臺體的上、下底面積、是臺體的高） （球的半徑是R） =（是圓柱的底面的半徑，是圓柱的母線長） =（是圓錐的底面的半徑，是圓柱的母線長） =（、是圓臺的上、下底面的半徑，是圓臺的母線長） （球的半徑是R）． 23.球的組合體 (1)球與長方體的組合體: 長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長. (2)球與正方體的組合體: 正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長, 正方體的

34、棱切球的直徑是正方體的面對角線長, 正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長. (3) 球與正四面體的組合體: 棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為,外接球的半徑為. 九、計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 1.分類計數(shù)原理（加法原理） . 2.分步計數(shù)原理（乘法原理） . 3.排列數(shù)公式 ==.(，∈N*，且)．注:規(guī)定. 4.組合數(shù)公式 ===(∈N*，，且). 注:規(guī)定. 5.組合數(shù)的兩個性質(zhì) (1)= ; (2) +=. 6．排列組合問題常見解法 1、元素分析法：在解有限定元素的排列問題時，首先考慮特殊元素的安排方法，再考慮其他元素的排法

35、。 2、位置分析法：在解有限定位置的排列問題時，首先考慮特殊位置的安排方法，再考慮其他位置的排法。 3、間接法：又叫排除法，在解有限定條件的排列問題時，首先求出不加限定條件的排列數(shù)，再減去不符合條件的排列數(shù)。 4、樹圖法：又稱框圖法，用樹圖或框圖列出所有排列（或組合），從而求出排列數(shù)。適合限定條件在3個以上，排列組合問題。 5、五、逐一插入法：若干元素必須按照特定的順序排列的問題，先將這些“特殊元素”按指定順序排列，再將“普通元素”逐一插入其間或兩端。 6、消序法：若干元素必須按照特定的順序排列的問題，先將所有元素全排列，再將特殊元素在其位置上換位情況消去（通常除以特殊元素的全排列數(shù)

36、），只保留指定的一種順序。 7、優(yōu)序法：若干元素必須按照特定的順序排列的問題，先從所有位置中按“特殊元素”個數(shù)選出若干位置，并把這些特殊元素按指定順序排上去，再將普通元素在其余位置上全排列。 8、捆綁法：若某些元素必須相鄰，先把這幾個相鄰元素捆在一起看成一個元素，再與其他元素全排列，最后再考慮這幾個相鄰元素的順序。 9.插空法：若某些元素不相鄰，先將普通元素全排列，然后再從排就的每兩個元素之間及兩端選出若干個空擋插入這些特殊元素。 10. 查字典法：對數(shù)的大小順序排列問題常用此法。（1）先把每一個數(shù)字（符合條件）打頭的排列數(shù)計算出來；（2）再找下一位數(shù)字。 11、分組問題：（1）若各

37、組元素個數(shù)均不相同，則逐組抽取。 （2）若其中有若干組元素個數(shù)相同，則逐組選取，因元素個數(shù)相同，所以組間無差別，故除以元素個數(shù)相同組數(shù)的全排列以消序。 12.隔板法：又叫隔墻法，插板法，n件相同物品（n個名額）分給m個人，名額分配，相同物品分配常用此法。 若每個人至少1件物品（1個名額），則n件物品（n名額）排成1排，中間有n-1個空擋，在這個n-1空檔選m-1個空擋放入隔板，隔板1種插法對應(yīng)1種分法，所以有種分法。 若允許有人分不到物品 ，則先把n 件物品和m-1塊隔板排成一排，有n+m-1個位置，從這個位置中選m-1個位置放隔板，有種方法，再將n件物品放入

38、余下的位置，只有1種方法，m-1塊隔板將物品分成m塊，從左到右可看成每個人分到的物品數(shù)，每1種隔板的放法對應(yīng)一種分法，所以共有種分法。 7. 排列組合綜合問題：應(yīng)先取后排；較復(fù)雜的排列組合問題，如含“至多”、“至少”、多個限定條件問題，注意分類討論。 8．分配問題 （1）(平均分組有歸屬問題)將相異的、個物件等分給個人，各得件，其分配方法數(shù)共有. （2）(平均分組無歸屬問題)將相異的·個物體等分為無記號或無順序的堆，其分配方法數(shù)共有 . （3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有. （4

39、）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到，，…，件，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有 . （5）(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有. （6）(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，…，件無記號的堆，且，，…，這個數(shù)中分別有a、b、c、…個相等，則其分配方法數(shù)有. （7）(限定分組有歸屬問題)將相異的（）個物體分給甲、乙、丙，……等個人，物體必須被分完，如果指定甲得件，乙得件，丙得件，…時，則無論，，…，等個數(shù)是否全相異或不全相

40、異其分配方法數(shù)恒有 . 9.二項式定理 ; 二項展開式的通項公式 . 10.等可能性事件的概率. 11.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和P(A＋B)=P(A)＋P(B)． 12.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B)． =（是的對立事件） 13.n次獨立重復(fù)試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率 14.幾何概型中，事件的概率計算公式 = 15.條件概率 設(shè)A、B為兩個事件，且＞0，稱為在事件A發(fā)生的條件下，事件，事件B發(fā)生的條件概率.P(B|A)讀作A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率. 16.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個性質(zhì) （1）;

41、（2）. 17.離散隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差 , =， =. 18.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) （1）. （2）若～,則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 19.方差的性質(zhì) (1)； (2）若～，則. (3) 若服從幾何分布,且，則. 20.方差與期望的關(guān)系 . 21.常見分布列 （1）兩點分布： （2）二項分布：在次獨立重復(fù)試驗中，用表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為，則=（=0,1,2，……，n），稱隨機(jī)變量服從二項分布，記作～，并稱為成功的概率. （3）幾何分布：若一次試驗中某事件發(fā)生的概率為p，在獨立重復(fù)試驗中，某事件第一次發(fā)生時所

42、作的實驗的次數(shù)ξ=k的概率為：，k=1,2,…;q=1-p, 稱ξ服從幾何分布，并記作g(k,p)=qk-1p （4）超幾何分布： 一般地，在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有件次品，則 =（=0,1,2，……，m） 其中=，且≤N，M≤N，M,N∈，則稱隨機(jī)變量服從超幾何分布. 22.正態(tài)分布 若對于，∈R，隨機(jī)變量滿足=，，則稱的分布為正態(tài)分布，記作N（μ，）（>0），若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，記作～(為期望，為方差),當(dāng)=0，=1稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 23.正態(tài)分布的性質(zhì) （1）曲線在軸上方，與軸不相交. （2）曲線是單峰的，它關(guān)于直線=對稱. （3）曲

43、線在=處達(dá)到峰值. （4）曲線與軸之間的面積為1. （5）一定時，曲線的形狀由確定. 越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小，曲線越“瘦高”，總體分布越集中. 24.正態(tài)分布問題的解題思路 常結(jié)合正態(tài)分布密度曲線，利用對稱性求解. 25.回歸直線方程 ，其中. 回歸直線一定過樣本中心點（，）. 26.相關(guān)系數(shù) . |r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小. 27.散點圖 表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)的圖形叫散點圖。 28.正相關(guān)、負(fù)相關(guān) 如果散點圖中的點散步在從左下到右上的區(qū)域內(nèi)，稱為正相關(guān)，若分布在從左上角

44、到右下角的區(qū)域內(nèi)，稱為負(fù)相關(guān). 29.獨立性檢驗 假設(shè)兩個分類變量和，它們的可能取值分別為和，其樣本頻數(shù)2×2列聯(lián)表為 總計 總計 常用獨立性檢驗來考察兩個分類變量、是否有關(guān)系，并能較精確地給出這種判斷的可靠程度，具體做法如下： ①根據(jù)實際問題需要的可信度確定臨界值；②利用公式=，由觀測數(shù)據(jù)計算得到隨機(jī)變量的觀測值；③如果＞，就以的把握認(rèn)為“與有關(guān)系”；否則就說樣本觀測值沒有提供“與有關(guān)系”的充分證據(jù). 十、導(dǎo)數(shù) 1. 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù)在點處的導(dǎo)數(shù)是曲線在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是. 2.幾種

45、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù) (1) （C為常數(shù)）. (2) . (3) . （4) . (5) ；. (6) ; . 3.導(dǎo)數(shù)的運算法則 （1）. （2）. （3）. 4.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 設(shè)函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，函數(shù)在點處的對應(yīng)點U處有導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)在點處有導(dǎo)數(shù)，且，或?qū)懽? 5.曲線的切線問題 ①求曲線在某點的切線：先求出曲線在該點的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，再用點斜式求出切線方程. ②求曲線過某點的切線：先設(shè)出切點的坐標(biāo)，求出曲線在切點的導(dǎo)數(shù)，利用切線過已知點，求出切點坐標(biāo)，從而求出切線方程.

46、 6.函數(shù)的單調(diào)性問題 （1）函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 設(shè)函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若，則為增函數(shù)；若，則為減函數(shù). （2）用導(dǎo)數(shù)函數(shù)求單調(diào)區(qū)間方法 求單調(diào)區(qū)間問題，先求函數(shù)的定義域，在求導(dǎo)函數(shù)，解導(dǎo)數(shù)大于0的不等式，得到區(qū)間為增區(qū)間，解導(dǎo)數(shù)小于0得到的區(qū)間為減區(qū)間，注意單調(diào)區(qū)間一定要寫出區(qū)間形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（減）區(qū)間有多個，一定要分開寫，用逗號分開，不能寫成并集形式，要說明增（減）區(qū)間是誰，若題中含參數(shù)注意分類討論； (3) 已知在某個區(qū)間上的單調(diào)性求參數(shù)問題 先求導(dǎo)函數(shù)，將其轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)在這個區(qū)間上大于（增函數(shù)）（小于（減函數(shù)））0恒成立問題，通過函數(shù)方法或參

47、變分離求出參數(shù)范圍，注意要驗證參數(shù)取等號時，函數(shù)是否滿足題中條件，若滿足把取等號的情況加上，否則不加. 7.函數(shù)的極值與最值問題 （1）函數(shù)極值的概念 設(shè)函數(shù)在附近有定義，若對附近的所有點，都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作=； 設(shè)函數(shù)在附近有定義，若對附近的所有點，都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作=. 注意：極值是研究函數(shù)在某一點附近的性質(zhì)，使局部性質(zhì);極值可有多個值，且極大值不定大于極限值;極值點不能在函數(shù)端點處取. （2）函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 當(dāng)函數(shù)在處連續(xù)時，若在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值；若在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值. 注意：①在導(dǎo)數(shù)為0的點不一定是極值點

48、，如函數(shù)，導(dǎo)數(shù)為，在處導(dǎo)數(shù)為0，但不是極值點； （3）函數(shù)的極值問題 ①求函數(shù)的極值，先求導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0，求出導(dǎo)函數(shù)為0時，方程的根和導(dǎo)數(shù)不存在的點，再用導(dǎo)數(shù)判定這些點兩側(cè)的函數(shù)的單調(diào)性，若左增由減，則在這一點取值極大值，若左減右增，則在這一點去極小值，要說明在哪一點去極大（?。┲?； ②已知極值，求參數(shù)，先求導(dǎo)，則利用可導(dǎo)函數(shù)在極值點的導(dǎo)數(shù)為0，列出關(guān)于參數(shù)方程，求出參數(shù)，注意可導(dǎo)函數(shù)在某一點去極值是導(dǎo)函數(shù)在這一點為0的必要不充分條件，故需將參數(shù)代入檢驗在給點的是否去極值； ③已知三次多項式函數(shù)有極值求參數(shù)范圍問題，求導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程有解，判別式大于0，求出參數(shù)的

49、范圍. 8.最值問題 （1）最值的概念 對函數(shù)有函數(shù)值使對定義域內(nèi)任意，都有（）則稱是函數(shù)的最大（?。┲? 注意：①若函數(shù)存在最大（小）值，則值唯一；最大值可以在端點處取；若函數(shù)的最大值、最小值都存在，則最大值一定大于最小值. ②最大值不一定是極大值，若函數(shù)是單峰函數(shù)，則極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲? （2）函數(shù)最問題 （1）對求函數(shù)在某一閉區(qū)間上，先用導(dǎo)數(shù)求出極值點的值和區(qū)間端點的值，最大者為最大值，最小者為最小值，對求函數(shù)定義域上最值問題或值域，先利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而弄清函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)圖像求出極值；（2）對已知最值或不等式恒成立求參數(shù)范圍問題，通過參變分

50、離轉(zhuǎn)化為不等式≤（≥）（是自變量，是參數(shù)）恒成立問題，≥（≤），轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，注意函數(shù)最值的區(qū)別于聯(lián)系. 9.導(dǎo)數(shù)的綜合問題 （1）對不等式的證明問題，先根據(jù)題意構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用函數(shù)的單調(diào)性與最值證明不等式；注意應(yīng)用前面小題結(jié)論； （2）對含參數(shù)的恒成立問題、存在成立問題，常通過參變分離，轉(zhuǎn)化為含參數(shù)部分大于另（小于）一端不含參數(shù)部分的最大值（最小值）問題，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，若參變分離后不易求解，就要從分類討論和放縮方面入手解決，注意恒成立與存在成立問題的區(qū)別. 10.積分 （1）積分的幾何意義 若=（≥0），則積分的幾何意義是直

51、線=，=，軸及曲線=圍成的曲邊梯形的面積. (2)定積分的性質(zhì) ①=， ②= ③=（＜＜） （3）微積分基本定理 若是區(qū)間[,]上的連續(xù)函數(shù)，且=，則=. （4）積分問題 ①求定積分，利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運算法則從反向求出，再微積分基本定理和積分運算性質(zhì)求出定積分； ②利用積分求平面圖形面積，應(yīng)首先畫出平面圖形的大概圖形，然后根據(jù)圖形的特點，選擇相應(yīng)的積分變量以確定積分區(qū)間，寫出圖形面積的積分表達(dá)式，再進(jìn)行求解，要把定積分與利用定積分計算平面圖形的面積這兩個概念區(qū)分開，定積分是一種積分和的極限，可正，也可以為負(fù)數(shù)或零；而平面圖形的面積在一般意義下總是為正，

52、因此當(dāng)時，要通過絕對值處理成正，一般情況下是借助定積分求出兩個曲邊梯形的面積，然后再相加； 如圖所示，圖像的面積 ③導(dǎo)數(shù)在物理中的應(yīng)用，首先要分清是變力作功問題或是路程問題或是速度問題，在轉(zhuǎn)化為定積分問題求解. 十一、復(fù)數(shù) 1.復(fù)數(shù)的概念 （1）虛數(shù)單位：①=－1；②實數(shù)可以與它進(jìn)行四則運算，進(jìn)行四則運算時，原有加、乘運算律仍成立。 （2）復(fù)數(shù)的定義 形如（，∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實部，叫復(fù)數(shù)的虛部. （3）復(fù)數(shù)的分類 對于復(fù)數(shù)（，∈R），當(dāng)且僅當(dāng)=0時，復(fù)數(shù)（，∈R）是實數(shù)；當(dāng)≠0時，復(fù)數(shù)（，∈R）叫虛數(shù)；當(dāng)=0且≠0時，叫純虛數(shù). (4)復(fù)數(shù)的相等 .（） 2.復(fù)數(shù)的點表示 復(fù)數(shù)（，∈R）可用點(,)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系表示復(fù)數(shù)的平面叫復(fù)平面，軸叫實軸，軸除去原點叫虛軸，實軸上點表示實數(shù)，虛軸上的點表示純虛數(shù). 3.復(fù)數(shù)的模（或絕對值） ==. 4.復(fù)數(shù)的四則運算法則 (1); (2); (3); (4). 34