5、】利用二倍角公式把已知函數(shù)化為關(guān)于的二次函數(shù)，再配方求得最值.
【題文】7．對(duì)于空間的一條直線(xiàn)m和兩個(gè)平面，下列命題中的真命題是
A.若則 B. .若則
C.若則 D. 若則
【知識(shí)點(diǎn)】空間中的平行關(guān)系；空間中的垂直關(guān)系. G4 G5
【答案解析】C 解析：若則平面可能平行可能相交，所以A,B是假命題；顯然若則成立，故選C.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)，線(xiàn)面垂直的性質(zhì)得結(jié)論.
【題文】8．等比數(shù)列中，已知，則前5項(xiàng)和
A. B. C. D.
【知識(shí)點(diǎn)】等比數(shù)列及等比數(shù)列的前n項(xiàng)和. D3
【答案
6、解析】A 解析：由已知得，解得或
，所以或，故選A.
【思路點(diǎn)撥】由已知條件求得等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比，進(jìn)而求出前5項(xiàng)和.
【題文】9．已知中，BC=3，AC=4，AB=5點(diǎn)P是三邊上的任意一點(diǎn)，m=,則m的最小值是
A.-25 B. C. D.0
【知識(shí)點(diǎn)】平面向量數(shù)量積及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算. F3
【答案解析】B 解析：由已知得是以C為直角頂點(diǎn)的直角三角形，所以以C為原點(diǎn)，CA所在直線(xiàn)為x軸，建立直角坐標(biāo)系，則A(4，0),B(0，3),設(shè)P(x,y),則
，所以
當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CA上移動(dòng)時(shí)，y=0, ,所以此時(shí)，當(dāng)x=2時(shí)m有最小
7、值-4；
當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段CB上移動(dòng)時(shí), ，所以此時(shí)，當(dāng)y= 時(shí)
m有最小值；
當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB上移動(dòng)時(shí), 且，所以此時(shí)
，當(dāng)x=2時(shí)m有最小值.故選B.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意建立直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解.
【題文】10．經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)作垂直于實(shí)軸的直線(xiàn)，交雙曲線(xiàn)與Ａ，Ｂ兩點(diǎn)，交雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)于Ｐ，Ｑ兩點(diǎn)，若｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，則雙曲線(xiàn)的離心率是
Ａ． ?。拢 。茫 。模?
【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì). H6
【答案解析】D 解析：設(shè)雙曲線(xiàn)方程為，把x=c代入雙曲線(xiàn)方程可得
代入漸近線(xiàn)方程可得，因?yàn)椋?/p>
8、ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，所以
，又，所以可得.故選D.
【思路點(diǎn)撥】設(shè)出雙曲線(xiàn)方程，求得線(xiàn)段AB、PQ關(guān)于a,b,c的表達(dá)式，然后代入
｜ＰＱ｜＝２｜ＡＢ｜，再與結(jié)合，求得離心率.
二、填空題（本大題共７小題，每小題４分，共２８分）
【題文】11．等差數(shù)列中，已知，則 ?。?
【知識(shí)點(diǎn)】等差數(shù)列的性質(zhì). D2
【答案解析】1007 解析：由得：.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)：當(dāng)，且時(shí)，
求解.
【題文】12．已知是鈍角，，則 .
【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的求值. C7
【答案解析】 解析：因?yàn)槭氢g角，，所以，
所以.
【思
9、路點(diǎn)撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系，兩角差的正弦公式求解.
【題文】13．垂直于直線(xiàn)x+2y-3=0且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，1)的直線(xiàn)的方程 .
【知識(shí)點(diǎn)】?jī)蓷l直線(xiàn)垂直的條件；直線(xiàn)的方程. H1 H2
【答案解析】 解析：因?yàn)樗笾本€(xiàn)與直線(xiàn)x+2y-3=0垂直，所以所求直線(xiàn)的斜率為2，又所求直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)（2,1），所以所求直線(xiàn)方程為：y-1=2(x-2),即.
【思路點(diǎn)撥】根據(jù)互相垂直的直線(xiàn)斜率乘積為-1，得所求直線(xiàn)的斜率，再由直線(xiàn)方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線(xiàn)方程.
【題文】14．若某空間幾何體的三視圖如圖所示，
則該幾何體的體積是 .
【知識(shí)點(diǎn)】空間
10、幾何體的三視圖. G2
【答案解析】32 解析：由三視圖可知：此幾何體是四棱錐，其底面是鄰邊長(zhǎng)分別為6, 4的矩形，且棱錐高為4，所以該幾何體的體積是.
【思路點(diǎn)撥】先由三視圖獲得此幾何體的結(jié)構(gòu)，底面特點(diǎn)，棱的特點(diǎn)，然后求此幾何體的體積.
【題文】15．已知，則的最小值是 .
【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題. E5
【答案解析】-4 解析：畫(huà)出可行域，平移目標(biāo)函數(shù)為0的直線(xiàn)y=2x，得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是直線(xiàn)x+y+2=0與直線(xiàn)x-3y+2=0的交點(diǎn)A(-2，0),所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為：
.
【思路點(diǎn)撥】畫(huà)出可
11、行域，平移目標(biāo)函數(shù)為0的直線(xiàn)y=2x，得目標(biāo)函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解是方程組的解，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值為-4.
【題文】16．已知正實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足，則ab的最小值是 .
【知識(shí)點(diǎn)】基本不等式的應(yīng)用. E6
【答案解析】 解析：因?yàn)閍>0,b>0,所以3 =.
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以ab的最小值是.
【思路點(diǎn)撥】利用基本不等式求解.
【題文】17．若圓Ｃ與圓關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程是 .
【知識(shí)點(diǎn)】圓的方程；對(duì)稱(chēng)問(wèn)題. H3
【答案解析】 解析：設(shè)C(a,b),因?yàn)橐阎獔A的圓心A(-1,0),由點(diǎn)A、C
12、關(guān)于直線(xiàn)x+y-1=0對(duì)稱(chēng)得，解得，又圓的半徑是1，所以圓C的方程是，即.
【思路點(diǎn)撥】由兩圓關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則兩圓圓心關(guān)于此直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，因此設(shè)出圓心C的坐標(biāo)（a,b）,由對(duì)稱(chēng)軸垂直平分兩圓心確定的線(xiàn)段，得關(guān)于a,b的方程組求得a,b，又兩圓半徑相等，從而得到圓C方程.
三、解答題（本大題共5小題，共72分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
【題文】18．（本題14分）
在中，已知（1）求 角C; (2)若c=4,求a+b的最大值.
【知識(shí)點(diǎn)】解三角形；利用基本不等式求最值. C8 E6
【答案解析】（1）；（2）8. 解析：（1）因?yàn)椋?
所以． ┅4分
13、
又，故角． ┅8分
（2）因?yàn)?，所以?┅10分
又，所以，從而，其中時(shí)等號(hào)成立．
故，的最大值為8． ┅14分
【思路點(diǎn)撥】（1）利用余弦定理求角B；（2）利用余弦定理及基本不等式求a+b的最大值.
【題文】19已知數(shù)列滿(mǎn)足：
求證數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)；
若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【知識(shí)點(diǎn)】已知遞推公式求通項(xiàng)；數(shù)列求和. D1 D4
【答案解析】（1）證明略，（2） .
解析：（1）由，得．
所以，成等比，公比，首項(xiàng)． ┅4分
所以，，即． ┅8分
（2）， ┅10分
所以，數(shù)列的前項(xiàng)和
14、
┅12分
． ┅14分
【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義:從第二項(xiàng)起，后項(xiàng)與前項(xiàng)的比是同一個(gè)常數(shù)，所以只需求的值即可；（2）由（1）可得，它是由兩個(gè)等比數(shù)列和一個(gè)常數(shù)列的和構(gòu)成的，所以可以用分組求和法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
【題文】20．(本題15分)
如圖，三棱錐P-ABC中，底面ABC，是正三角形，AB=4，PA=3，M是AB的中點(diǎn). （1）求證：平面PAB；
（2）設(shè)二面角A-PB-C的大小為，求的值.
【知識(shí)點(diǎn)】線(xiàn)面垂直的判定；二面角的求法. G5 G11
【答案解析】（1）證明：略；（2）．
解析：（1）因?yàn)榈酌?，所以?
15、 ┅3分
因?yàn)椤魇钦切?，是的中點(diǎn)，所以． ┅6分
所以，平面． ┅7分
（第20題）
（2）（幾何法）
作于，連，則．
所以，是二面角的平面角． ┅11分
因?yàn)椋?，所以，?
從而，故． ┅15分
（向量法）
以為原點(diǎn)，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．
平面的一個(gè)法向量． ┅10分
（第20題）
，．
設(shè)是平面的法向量，
則，取法向量． ┅13分
故． ┅15分
【思路點(diǎn)撥】（1）只需證明直線(xiàn)CM與平面PAB中兩條相交直線(xiàn)AB、AP垂直；
（2）（幾何法）作出二面角的平面角，構(gòu)造含此角的三角形求解.
(向量法)
16、 建立空間直角坐標(biāo)系，確定所求二面角中每一個(gè)半平面的一個(gè)法向量，因?yàn)閮煞ㄏ蛄康膴A角與二面角的平面角相等或互補(bǔ)，所以只需求這兩法向量夾角的余弦值即可.
【題文】21．(本題15分)
如圖，已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)是x軸上的一點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且斜率為1的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn).
當(dāng)點(diǎn)P在x軸上時(shí)，求證線(xiàn)段AB的中點(diǎn)在一條直線(xiàn)上；
若(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求a的值.
【知識(shí)點(diǎn)】曲線(xiàn)與方程；直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn). H9 H8
【答案解析】（1）證明：略；（2）. 解析：（1）設(shè)，，
中點(diǎn)為．則， ┅2分
又，，
所以，從而． ┅6分
故，線(xiàn)段的中點(diǎn)在直線(xiàn)上．
17、┅7分
（2）直線(xiàn)：，
由． ┅9分
，． ┅12分
若，則，即．
解得：． ┅15分
【思路點(diǎn)撥】(1)利用點(diǎn)差法求出線(xiàn)段AB的中點(diǎn)軌跡方程即可；
（2）把直線(xiàn)方程代入拋物線(xiàn)方程消去x得關(guān)于y的一元二次方程，再由弦長(zhǎng)公式及已知條件得關(guān)于a的方程，解得a值.
【題文】22．(本題14分)
已知a>0，函數(shù).
試用定義證明：在上單調(diào)遞增；
若時(shí)，不等式恒成立，求a的取值范圍.
【知識(shí)點(diǎn)】(1)函數(shù)的單調(diào)性；不等式恒成立求參數(shù)范圍. B3 E1
【答案解析】（1）證明：略；（2）. 解析：（1）設(shè)，則
18、． ┅2分
因?yàn)?，所以，，?
所以，即，
故，在上單調(diào)遞增． ┅6分
（2）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
①若，則在上單調(diào)遞增，．
所以，，即，所以． ┅8分
②若，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
．所以，，即，所以． ┅10分
③若，則在上單調(diào)遞減，．
所以，，即，所以． ┅12分
綜合①②③，． ┅14分
【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，在給定區(qū)間上任取兩個(gè)數(shù)，且，
通過(guò)判定的符號(hào)，來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）時(shí)，不等式恒成立，只需時(shí)即可，利用的單調(diào)性，通過(guò)討論a的取值情況，確定在區(qū)間上的最小值情況.
2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期學(xué)科基礎(chǔ)測(cè)試試題 文（含解析）新人教A版
