《2022年高中數(shù)學(xué) 3-3-3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用同步練習(xí) 新人教B版選修1-1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高中數(shù)學(xué) 3-3-3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用同步練習(xí) 新人教B版選修1-1(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高中數(shù)學(xué) 3-3-3導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用同步練習(xí) 新人教B版選修1-1
一、選擇題
1.如果圓柱軸截面的周長(zhǎng)l為定值,則體積的最大值為( )
A.()3π B.()3π
C.()3π D.()3π
[答案] A
[解析] 設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,
體積為V,則4r+2h=l,
∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3(00,
∴r=是其唯一的極值點(diǎn).
當(dāng)r=時(shí),V取得最大值,最大值為()3π.
2.若一球的半徑為r,作內(nèi)接于球的圓柱,則其側(cè)面積最大為( )
A.2πr2
2、 B.πr2
C.4πr D.πr2
[答案] A
[解析] 設(shè)內(nèi)接圓柱的高為h,底面半徑為x,則由組合體的知識(shí)得h2+(2x)2=(2r)2,又圓柱的側(cè)面積S=2πx·h,
∴S2=16π2(r2x2-x4),(S2)′=16π2(2r2x-4x3),由(S2)′=0,得x=r(x=0舍去),∴Smax=2πr2,故選A.
3.設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V,那么其表面積最小時(shí),底面邊長(zhǎng)為( )
A. B.
C. D.2
[答案] C
[解析] 設(shè)底面邊長(zhǎng)為x,側(cè)棱長(zhǎng)為l,則
V=x2·sin60°·l,∴l(xiāng)=,
∴S表=2S底+
3、3S側(cè)
=x2·sin60°+3·x·l
=x2+,
S′表=-=0,
∴x3=4V,即x=.
又當(dāng)x∈(0,)時(shí)y′<0,x∈(,V)時(shí),y′>0,∴當(dāng)x=時(shí),表面積最小.
4.某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品,固定成本為xx0元,每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品,成本增加100元,若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系式R(x)=則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí),每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是( )
A.150 B.200
C.250 D.300
[答案] D
[解析] ∵總利潤(rùn)P(x)=
由P′(x)=0,得x=300,故選D.
5.函數(shù)y=(x-1)4的單調(diào)遞增區(qū)間為( )
A.(-∞,1) B.
4、(1,+∞)
C.(-1,1) D.(4,+∞)
[答案] B
[解析] ∵y′=4(x-1)3,令y′>0得x>1,
∴函數(shù)y=(x-1)4的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞),
故選B.
6.函數(shù)y=x3-3ax+6的單調(diào)遞減區(qū)間是( )
A.(-,) B.(-∞,-)
C.(,+∞) D.以上都不對(duì)
[答案] A
[解析] ∵y′=3x2-3a=3(x2-a)
當(dāng)a≤0時(shí)y′≥0恒成立,
∴函數(shù)y=x3-3ax+6在(-∞,+∞)上是增函數(shù),
當(dāng)a>0時(shí),令x2-a>0得x>或x<-,
∴函數(shù)y=x3-3ax+6在(-∞,-)和(,+∞)上是增函
5、數(shù),
令x2-a<0得--1
C.a(chǎn)>- D.a(chǎn)<-
[答案] A
[解析] ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a
當(dāng)a≥0時(shí),y不可能有極值點(diǎn),故a<0
由ex+a=0得ex=-a,∴x=ln(-a),
∴x=ln(-a)即為函數(shù)的極值點(diǎn),
∴l(xiāng)n(-a)>0,即ln(-a)>ln1.∴a<-1.
8.把長(zhǎng)為12 cm的細(xì)鐵絲鋸成兩段,各自圍成一個(gè)正三角形,那么這兩個(gè)正三角形的面
6、積之和的最小值是( )
A.cm2 B.4 cm2
C.3cm2 D.2cm2
[答案] D
[解析] 設(shè)一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為xcm,則另一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為(4-x)cm,兩個(gè)三角形的面積和為S=x2+(4-x)2=x2-2x+4.令S′=x-2=0則x=2,所以Smin=2.
二、填空題
9.有一條長(zhǎng)為16m的籬笆,要圍成一個(gè)矩形場(chǎng)地,則此矩形場(chǎng)地的最大面積為________m2.
[答案] 16
[解析] 設(shè)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為xm,
則寬為=(8-x)m,
其面積S=x(8-x)=8x-x2,S′=8-2x,
令S′=0得x=4,
∴當(dāng)x=4時(shí),S取極大
7、值,這個(gè)極大值就是最大值,
故當(dāng)矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)為4m,寬為4m時(shí),面積取最大值16m2.
10.y=x4-2x2+5在[-2,2]上的最大值為________.
[答案] 13
[解析] y′=4x3-4x=4x(x-1)(x+1),
令y′=0得x=0,x=1,x=-1,
列表如下:
x
-2
(-2,-1)
-1
(-1,0)
0
(0,1)
1
(1,2)
2
y′
-
0
+
0
-
0
+
y
13
極小值4
極大值5
極小值4
13
11.用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒時(shí),在鐵皮的四
8、角各截去一個(gè)面積相等的小正方形,然后把四邊折起,就能焊成鐵盒,所做的鐵盒容積最大時(shí),在四角截去的正方形的邊長(zhǎng)為__________.
[答案] 8cm
[解析] 設(shè)截去的正方形的邊長(zhǎng)為xcm,則鐵盒的底面邊長(zhǎng)為(48-2x)cm,鐵盒的體積為V,
由題意,得V=x(48-2x)2(0
9、以利用原有的墻壁,其他三邊需要砌新的墻壁,當(dāng)砌壁所用的材料最省時(shí),堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬分別為________.
[答案] 32米,16米
[解析] 要求材料最省就是要求新砌的墻壁總長(zhǎng)度最短,如下圖所示,設(shè)場(chǎng)地寬為x米,則長(zhǎng)為米,因此新墻壁總長(zhǎng)度L=2x+(x>0),則L′=2-.
令L′=0,得x=±16.∵x>0,∴x=16.
當(dāng)x=16時(shí),L極小值=Lmin=64,
∴堆料場(chǎng)的長(zhǎng)為=32米.
13.某商品一件的成本為30元,在某段時(shí)間內(nèi),若以每件x元出售,可賣出(200-x)件,當(dāng)每件商品的定價(jià)為________元時(shí),利潤(rùn)最大.
[答案] 115
[解析] 利潤(rùn)為S(x)
10、=(x-30)(200-x)=-x2+230x-6000,
S′(x)=-2x+230,由S′(x)=0得x=115,這時(shí)利潤(rùn)達(dá)到最大.
14.把長(zhǎng)60cm的鐵絲圍成矩形,當(dāng)長(zhǎng)為________cm,寬為________cm時(shí),矩形面積最大.
[答案] 15 15
[解析] 設(shè)矩形的長(zhǎng)為xcm,則寬為=(30-x)cm(00,當(dāng)15
11、5cm時(shí)面積最大.
三、解答題
15.某集團(tuán)為獲得更大的收益,每年要投入一定的資金用于廣告促銷.經(jīng)調(diào)查,每年投入廣告費(fèi)t(百萬(wàn)元),可增加銷售額約為-t2+5t(百萬(wàn)元)(0≤t≤3).
(1)若該公司將當(dāng)年的廣告費(fèi)控制在300萬(wàn)元之內(nèi),則應(yīng)投入多少?gòu)V告費(fèi),才能使該公司獲得的收益最大?
(2)現(xiàn)該公司準(zhǔn)備共投入300萬(wàn)元,分別用于廣告促銷和技術(shù)改選.經(jīng)預(yù)測(cè),每投入技術(shù)改造費(fèi)x(百萬(wàn)元),可增加的銷售額為-x3+x2+3x(百萬(wàn)元).請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)資金分配方案,使該公司獲得的收益最大.(注:收益=銷售額-投入)
[解析] (1)設(shè)投入t(百萬(wàn)元)的廣告費(fèi)后增加的收益為f(t)(百萬(wàn)元),
12、
則有f(t)=(-t2+5t)-t
=-t2+4t=-(t-2)2+4(0≤t≤3),
所以當(dāng)t=2時(shí),f(t)取得最大值4,
即投入2百萬(wàn)元的廣告費(fèi)時(shí),該公司獲得的收益最大.
(2)設(shè)用于技術(shù)改造的資金為x(百萬(wàn)元),則用于廣告促銷的資金為(3-x)(百萬(wàn)元),
由此獲得收益是g(x)(百萬(wàn)元)
則g(x)=(-x3+x2+3x)+[-(3-x)2+5(3-x)]-3=-x3+4x+3(0≤x≤3),
所以g′(x)=-x2+4.
令g′(x)=0,解得x=-2(舍去)或x=2.
又當(dāng)0≤x<2時(shí),g′(x)>0;當(dāng)2
13、)取最大值,即將2百萬(wàn)元用于技術(shù)改造,1百萬(wàn)元用于廣告促銷,該公司獲得的收益最大.
16.用邊長(zhǎng)為120cm的正方形鐵皮做一個(gè)無(wú)蓋水箱,先在四角分別截去一個(gè)小正方形,然后把四邊翻轉(zhuǎn)90°角,再焊接成水箱.問(wèn):水箱底邊的長(zhǎng)取多少時(shí),水箱容積最大?最大容積是多少?
[解析] 設(shè)水箱底邊長(zhǎng)為xcm,則水箱高為h=60-(cm).
水箱容積V=V(x)=x2h=60x2-(0
14、′(x)
+
0
-
因此在x=80cm處,函數(shù)V(x)取得極大值,并且這個(gè)極大值就是函數(shù)V(x)的最大值.
將x=80代入V(x),得最大容積
V=802×60-=128000.
答:水箱底邊長(zhǎng)取80cm時(shí),容積最大.最大容積為128000cm3.
17.橫梁的強(qiáng)度和它的矩形斷面的寬成正比,并和高的平方成正比,要將直徑為d的圓木鋸成強(qiáng)度最大的橫梁,則斷面的高和寬各應(yīng)是多少?
[解析] 如右圖所示,設(shè)斷面的寬為x,高為y,則當(dāng)函數(shù)xy2取得最大值時(shí)橫梁的強(qiáng)度最大.
又因?yàn)閥2=d2-x2,
所以f(x)=xy2=x(d2-x2)(0