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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 9.5 圓錐曲線綜合問(wèn)題教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　求軌跡方程 【例1】已知拋物線的方程為x2＝2y，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A、B作拋物線的兩條切線l1和l2，記l1和l2交于點(diǎn)M. (1)求證：l1⊥l2； (2)求點(diǎn)M的軌跡方程. 【解析】(1)依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋. 聯(lián)立消去y整理得x2－2kx－1＝0.設(shè)A的坐標(biāo)為(x1，y1)，B的坐標(biāo)為(x2，y2)，則有x1x2＝－1，將拋物線方程改寫為y＝x2，求導(dǎo)得y′＝x. 所以過(guò)點(diǎn)A的切線l1的斜率是k1

2、＝x1，過(guò)點(diǎn)B的切線l2的斜率是k2＝x2. 因?yàn)閗1k2＝x1x2＝－1，所以l1⊥l2. (2)直線l1的方程為y－y1＝k1(x－x1)，即y－＝x1(x－x1). 同理直線l2的方程為y－＝x2(x－x2). 聯(lián)立這兩個(gè)方程消去y得－＝x2(x－x2)－x1(x－x1)， 整理得(x1－x2)(x－)＝0， 注意到x1≠x2，所以x＝. 此時(shí)y＝＋x1(x－x1)＝＋x1(－x1)＝＝－. 由(1)知x1＋x2＝2k，所以x＝＝k∈R. 所以點(diǎn)M的軌跡方程是y＝－. 【點(diǎn)撥】直接法是求軌跡方程最重要的方法之一，本題用的就是直接法.要注意“求軌跡方程”和“求軌跡”是兩

3、個(gè)不同概念，“求軌跡”除了首先要求我們求出方程，還要說(shuō)明方程軌跡的形狀，這就需要我們對(duì)各種基本曲線方程和它的形態(tài)的對(duì)應(yīng)關(guān)系了如指掌. 【變式訓(xùn)練1】已知△ABC的頂點(diǎn)為A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1(x＞3) D.－＝1(x＞4) 【解析】如圖，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6， 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A、B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x＞3)，故選C. 題型

4、二　圓錐曲線的有關(guān)最值 【例2】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A、C在橢圓x2＋3y2＝4上，對(duì)角線BD所在直線的斜率為1.當(dāng)∠ABC＝60°時(shí)，求菱形ABCD面積的最大值. 【解析】因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD. 于是可設(shè)直線AC的方程為y＝－x＋n. 由得4x2－6nx＋3n2－4＝0. 因?yàn)锳，C在橢圓上，所以Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜. 設(shè)A，C兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝， y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以y1＋y2＝. 因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，且∠ABC＝60°，所以|AB|＝|BC|＝|CA|

5、. 所以菱形ABCD的面積S＝|AC|2. 又|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以S＝(－3n2＋16) (－＜n＜). 所以當(dāng)n＝0時(shí)，菱形ABCD的面積取得最大值4. 【點(diǎn)撥】建立“目標(biāo)函數(shù)”，借助代數(shù)方法求最值，要特別注意自變量的取值范圍.在考試中很多考生沒(méi)有利用判別式求出n的取值范圍，雖然也能得出答案，但是得分損失不少. 【變式訓(xùn)練2】已知拋物線y＝x2－1上有一定點(diǎn)B(－1,0)和兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，若BP⊥PQ，則點(diǎn)Q橫坐標(biāo)的取值范圍是　　　　　　. 【解析】如圖，B(－1,0)，設(shè)P(xP，x－1)，Q(xQ，x－1)， 由kBP·kPQ＝－1，得·＝

6、－1. 所以xQ＝－xP－＝－(xP－1)－－1. 因?yàn)閨xP－1＋|≥2，所以xQ≥1或xQ≤－3. 題型三　求參數(shù)的取值范圍及最值的綜合題 【例3】(xx浙江模擬)已知m＞1，直線l：x－my－＝0，橢圓C：＋y2＝1，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn). (1)當(dāng)直線l過(guò)右焦點(diǎn)F2時(shí)，求直線l的方程； (2)設(shè)直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，△AF1F2，△BF1F2的重心分別為G，H.若原點(diǎn)O在以線段GH為直徑的圓內(nèi)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍. 【解析】(1)因?yàn)橹本€l：x－my－＝0經(jīng)過(guò)F2(，0)， 所以＝，解得m2＝2， 又因?yàn)閙＞1，所以m＝. 故直線l的方程為x－

7、y－1＝0. (2)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去x得2y2＋my＋－1＝0， 則由Δ＝m2－8(－1)＝－m2＋8＞0知m2＜8， 且有y1＋y2＝－，y1y2＝－. 由于F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，故O為F1F2的中點(diǎn)， 由＝2， ＝2，得G(，)，H(，)， |GH|2＝＋. 設(shè)M是GH的中點(diǎn)，則M(，)， 由題意可知，2|MO|＜|GH|，即4[()2＋()2]＜＋， 即x1x2＋y1y2＜0. 而x1x2＋y1y2＝(my1＋)(my2＋)＋y1y2＝(m2＋1)(－). 所以－＜0，即m2＜4. 又因?yàn)閙＞1且Δ＞0，所以1＜m＜2.

8、 所以m的取值范圍是(1,2). 【點(diǎn)撥】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力. 【變式訓(xùn)練3】若雙曲線x2－ay2＝1的右支上存在三點(diǎn)A、B、C使△ABC為正三角形，其中一個(gè)頂點(diǎn)A與雙曲線右頂點(diǎn)重合，則a的取值范圍為　　　. 【解析】設(shè)B(m，)，則C(m，－)(m＞1)， 又A(1,0)，由AB＝BC得(m－1)2＋＝(2)2， 所以a＝3＝3(1＋)＞3，即a的取值范圍為(3，＋∞).總結(jié)提高 1.求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個(gè)基本問(wèn)題之一.求符合某種條件的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，其實(shí)質(zhì)就是利用題設(shè)中

9、的幾何條件，用“坐標(biāo)法”將其轉(zhuǎn)化為尋求變量間的關(guān)系.這類問(wèn)題除了考查學(xué)生對(duì)圓錐曲線的定義、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握，還充分考查了各種數(shù)學(xué)思想方法及一定的推理能力和運(yùn)算能力，因此這類問(wèn)題成為高考命題的熱點(diǎn)，也是同學(xué)們的一大難點(diǎn).求曲線的軌跡方程常采用的方法有直接法、定義法、代入法、參數(shù)法、待定系數(shù)法. 2.最值問(wèn)題的代數(shù)解法，是從動(dòng)態(tài)角度去研究解析幾何中的數(shù)學(xué)問(wèn)題的主要內(nèi)容，其解法是設(shè)變量、建立目標(biāo)函數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.其中，自變量的取值范圍由直線和圓錐曲線的位置關(guān)系(即判別式與0的關(guān)系)確定. 3.范圍問(wèn)題，主要是根據(jù)條件，建立含有參變量的函數(shù)關(guān)系式或不等式，然后確定參數(shù)的取值范圍.其解法主要有運(yùn)用圓錐曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)的取值范圍，運(yùn)用求函數(shù)的值域、最值以及二次方程實(shí)根的分布等知識(shí).