5、解析] x2-λy2=1的漸近線方程為y=±x,所以=2,所以λ=,所以e===.
8.命題“?x0∈R,>1”的否定是( )
A.?x0∈R,≤1 B.?x0∈R,>1
C.?x0∈R,≤1 D.?x0∈R,<1
[答案] C
[解析] 特稱命題的否定為全稱命題,故選C.
9.由線y=ex在點(2,e2)處的切線與坐標軸所圍成的三角形面積為( )
A.e2 B.2e2
C.e2 D.
[答案] D
[解析] 因為y′=ex,所以k=e2,故切線方程為y-e2=e2(x-2),因此,切線與兩標軸圍成的三角形的面積為S=×e2×1=,故選D.
6、
10.函數(shù)f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3時取得極值,則a等于( )
A.2 B.3
C.4 D.5
[答案] D
[解析] ∵f′(x)=3x2+2ax+3,又f(x)在x=-3時取得極值,
∴f′(-3)=30-6a=0,則a=5.
11.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線的右支上,且|PF1|=4|PF2|,則此雙曲線的離心率e的最大值為( )
A. B.
C.2 D.
[答案] A
[解析] e==≤==.
12.下列四圖都是同一坐標中某三次函數(shù)
7、及其導函數(shù)的圖象,其中一定不正確的序號是( )
A.①② B.③④
C.①③ D.①④
[答案] B
[解析] 二次函數(shù)為導函數(shù),③中x<0時,f′(x)>0,f(x)在(-∞,0)內(nèi)應遞增,故③為假,同理,知④也為假.
二、填空題(本大題共4個小題,每小題4分,共16分,將正確答案填在題中橫線上)
13.實數(shù)系方程x2+ax+b=0的兩個實根一個比1大,一個比1小的充要條件是________.
[答案] a+b+1<0
[解析] 實數(shù)系方程x2+ax+b=0的兩個實根一個比1大,一個比1小的充要條件是f(1)=a+b+1<0.
14.△ABC的三邊,a
8、,b,c,已知a>c>b,且成等差數(shù)列,若A(-1,0),B(1,0),則動點C的軌跡方程為________.
[答案]?。?(y≠0,且x<0)
[解析] 由題意得a+b=2c=4,根據(jù)橢圓的定義可知,其軌跡是以A,B為焦點,長軸長為4,焦距為2的橢圓,因為a>c>b,所以是橢圓的一部分.
15.已知函數(shù)y=x3+ax2+bx+27在x=-1處有極大值,在x=3處有極小值,則a=________,b=________.
[答案]?。??。?
[解析] y′=3x2+2ax+b,則-1,3是方程3x2+2ax+b=0的兩根,∴a=-3,b=-9.
16.以下四個關于圓錐曲線的命題
9、:
①設A、B為兩個定點,k為非零常數(shù),若||-||=k,則動點P的軌跡為雙曲線;
②過定圓C上一定點A作圓的動弦AB,O為坐標原點,若=(+),則動點P的軌跡為橢圓;
③方程2x2-5x+2=0的兩根可分別作為橢圓和雙曲線的離心率;
④雙曲線-=1與橢圓+y2=1有相同的焦點.
其中真命題的序號為______________(寫出所有真命題的序號).
[答案]?、邰?
[解析]?、僦挟攌=|AB|時,點P的軌跡是一條射線.②中點P的軌跡是以AC中點為圓心,以定圓半徑的一半長為半徑的圓.
三、解答題(本大題共6個小題,共74分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(
10、本題滿分12分)已知p5x2-4x-1>0,q>0,試判斷?p是?q的什么條件?
[解析] 由5x2-4x-1>0,得x<-或x>1,
即px<-或x>1;
由>0,得x<-5或x>1,即qx<-5或x>1,容易判斷p是q的必要不充分條件,從而?p是?q的充分不必要條件.
18.(本題滿分12分)已知x∈R,求證:cosx≥1-x2.
[解析] 令F(x)=cosx-1+x2,
則F′(x)=-sinx+x,
當x≥0時F′(x)≥0,
∴F(x)在[0,+∞)上是增函數(shù),
又F(0)=0,
即x∈[0,+∞)時,恒有F(x)≥0,
即cosx≥1-.
又F(-
11、x)=cos(-x)-1+
=cosx-1+
=F(x),
∴F(x)是R上的偶函數(shù),
∴當x<0時,恒有F(x)≥0,
即cosx≥1-,
綜上所述,對一切x∈R,都有cosx≥1-.
19.(本題滿分12分)設f(x)=ex(ax2+x+1),且曲線y=f(x)在x=1處的切線與x軸平行.
求a的值,并討論f(x)的單調(diào)性.
[解析] f′(x)=ex(ax2+x+1+2ax+1),
由條件知,
f′(1)=0,故a+3+2a=0?a=-1.
于是f′(x)=ex(-x2-x+2)
=-ex(x+2)(x-1),
故當x∈(-∞,-2)∪(1,+∞)時,f′(x
12、)<0;
當x∈(-2,1)時,f′(x)>0,
從而f(x)在(-∞,-2),(1,+∞)上單調(diào)遞減,
在(-2,1)上單調(diào)遞增.
20.(本題滿分12分)(xx·全國Ⅱ文,21)設函數(shù)f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常數(shù)a>1.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若當x≥0時,f(x)>0恒成立,求a的取值范圍.
[解析] 本題考查函數(shù)、導數(shù)、不等式等基礎知識,以及利用導數(shù)求函數(shù)的最值.
解:(1)f′(x)=x2-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a).
由a>1知,當x<2時,f′(x)>0,
故f(x)在區(qū)間(-∞,2)上是增函數(shù);
13、當22a時,f′(x)>0,故f(x)在區(qū)間(2a,+∞)上是增函數(shù).
綜上,當a>1時,f(x)在區(qū)間(-∞,2)和(2a,+∞)上是增函數(shù),在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù).
(2)由(1)知,當x≥0時,f(x)在x=2a或x=0處取得最小值.
f(2a)=(2a)3-(1+a)(2a)2+4a·2a+24a
=-a3+4a2+24a,
f(0)=24a.
由假設知
即解得10,b
14、>0)交于P,Q兩點,直線l與y軸交于R點,且·=-3,=4,求直線與雙曲線的方程.
[解析] 由e=,所以c2=3a2,所以b2=2a2,所以雙曲線方程為2x2-y2=2a2,設直線ly=x+m,R(0,m),P(x1,y1),Q(x2,y2),則?x2-2mx-m2-2a2=0,所以①
又因為·=-3,=4,則有x1x2+y1y2=-3,所以2x1x2+m(x1+x2)+m2+3=0,②
?③
由①,③得x2=-m,x1=3m,m2=a2,代入②得m2=1,a2=1,所以m=±1,a2=1,b2=2,所以所求的直線與雙曲線方程分別是y=x±1,x2-=1.
22.(本題滿分14
15、分)已知f(x)=x3-x2+bx+c.
(1)若f(x)的圖象有與x軸平行的切線,求b的取值范圍.
(2)若f(x)在x=1時取得極值,且x∈(-1,2),f(x)0;當x∈時,f′(x)<0;
當x∈(1,2)時,f′(x)>0,
∴當x=-時,f(x)有極大值+c.
又f(-1)=+c,f(2)=2+c,
即當x∈[-1,2]時,f(x)的最大值為f(2)=2+c.
∵對x∈[-1,2]時,f(x)2+c,c<-1或c>2.
故c的取值范圍是(-∞,-1)∪(2,+∞).