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2022年高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習

上傳人:xt****7 文檔編號:105412700 上傳時間:2022-06-12 格式:DOC 頁數(shù):6 大?。?3.02KB
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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)I 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性練習 一、選擇題 1.(xx·肇慶三模)在函數(shù)y=xcos x,y=ex+x2,y=lg,y=xsin x中,偶函數(shù)的個數(shù)是(  ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y=xcos x為奇函數(shù),y=ex+x2為非奇非偶函數(shù),y=lg與y=xsin x為偶函數(shù). 答案 B 2.(xx·湖南卷)設函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是(  ) A.奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是增函數(shù) B.奇函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù) C.偶函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是增函數(shù)

2、 D.偶函數(shù),且在(0,1)內(nèi)是減函數(shù) 解析 易知f(x)的定義域為(-1,1),且f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),則y=f(x)為奇函數(shù), 又y=ln(1+x)與y=-ln(1-x)在(0,1)上是增函數(shù), 所以f(x)=ln(1+x)-ln(1-x)在(0,1)上是增函數(shù). 答案 A 3.已知函數(shù)f(x)=x,若f(x1)x2 B.x1+x2=0 C.x10時,f′(x)>0,

3、∴f(x)在[0,+∞)上為增函數(shù), 由f(x1)

4、析 ∵f(x+1)為偶函數(shù), ∴f(-x+1)=f(x+1),則f(-x)=f(x+2), 又y=f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x)=f(x+2),且f(0)=0. 從而f(x+4)=-f(x+2)=f(x),y=f(x)的周期為4. ∴f(4)+f(5)=f(0)+f(1)=0+2=2. 答案 A 二、填空題 6.若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函數(shù),則a=________. 解析 由于f(-x)=f(x), ∴l(xiāng)n(e-3x+1)-ax=ln(e3x+1)+ax, 化簡得2ax+3x=0(x∈R),則2a+3=0, ∴a=-. 答案?。? 7.(xx

5、·湖州質(zhì)檢)若函數(shù)f(x)(x∈R)是周期為4的奇函數(shù),且在[0,2]上的解析式為f(x)=則f+f=________. 解析 由于函數(shù)f(x)是周期為4的奇函數(shù),所以f+f=f+f=f+f=-f-f=-+sin =. 答案  8.(xx·舟山調(diào)研)若函數(shù)f(x)=為奇函數(shù),則a=________,f(g(-2))=________. 解析 由題意,a=f(0)=0.設x<0,則-x>0,f(-x)=x2-2x+1=-f(x),∴g(2x)=-x2+2x-1,∴g(-2)=-4,∴f(g(-2))=f(-4)=-f(4)=-(16+8+1)=-25. 答案 0?。?5 三、解答題

6、 9.設f(x)是定義域為R的周期函數(shù),最小正周期為2,且f(1+x)=f(1-x),當-1≤x≤0時,f(x)=-x. (1)判定f(x)的奇偶性; (2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,2]上的表達式. 解 (1)∵f(1+x)=f(1-x),∴f(-x)=f(2+x). 又f(x+2)=f(x),∴f(-x)=f(x). 又f(x)的定義域為R, ∴f(x)是偶函數(shù). (2)當x∈[0,1]時,-x∈[-1,0], 則f(x)=f(-x)=x; 進而當1≤x≤2時,-1≤x-2≤0, f(x)=f(x-2)=-(x-2)=-x+2. 故f(x)= 10.已知函數(shù)f

7、(x)=是奇函數(shù). (1)求實數(shù)m的值; (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,a-2]上單調(diào)遞增,求實數(shù)a的取值范圍. 解 (1)設x<0,則-x>0, 所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x. 又f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x). 于是x<0時,f(x)=x2+2x=x2+mx, 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上單調(diào)遞增, 結(jié)合f(x)的圖象知所以1

8、的取值范圍為(  ) A.(-1,4) B.(-2,0) C.(-1,0) D.(-1,2) 解析 ∵f(x)是定義在R上的周期為3的偶函數(shù), ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)=f(1), ∵f(1)<1,f(5)=,∴<1,即<0, 解得-1

9、f(x)是偶函數(shù), 令x=-1,則f(-1+2)-f(-1)=2f(1), ∴f(1)-f(1)=2f(1)=0,即f(1)=0, 則f(x+2)-f(x)=2f(1)=0, 即f(x+2)=f(x), 則函數(shù)的周期是2,又f(0)=2, 則f(2 015)+f(2 016)=f(1)+f(0)=0+2=2. 答案 B 13.(xx·東北四市聯(lián)考)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù),且當0≤x<2時,f(x)=x3-x,則函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點個數(shù)為________. 解析 因為當0≤x<2時,f(x)=x3-x.又f(x)是R上最小正周

10、期為2的周期函數(shù),且f(0)=0, 則f(6)=f(4)=f(2)=f(0)=0. 又f(1)=0, ∴f(3)=f(5)=f(1)=0, 故函數(shù)y=f(x)的圖象在區(qū)間[0,6]上與x軸的交點有7個. 答案 7 14.設f(x)是(-∞,+∞)上的奇函數(shù),f(x+2)=-f(x),當0≤x≤1時,f(x)=x. (1)求f(π)的值; (2)當-4≤x≤4時,求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積. 解 (1)由f(x+2)=-f(x)得, f(x+4)=f[(x+2)+2]=-f(x+2)=f(x), 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù), 所以f(π)=f(-1×4

11、+π)=f(π-4)=-f(4-π)=-(4-π)=π-4. (2)由f(x)是奇函數(shù)且f(x+2)=-f(x), 得f[(x-1)+2]=-f(x-1)=f[-(x-1)], 即f(1+x)=f(1-x). 故知函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱. 又當0≤x≤1時,f(x)=x,且f(x)的圖象關(guān)于原點成中心對稱,則f(x)的圖象如下圖所示. 當-4≤x≤4時,f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S,則S=4S△OAB=4×=4. 15.(xx·衢州模擬)設常數(shù)a∈R,函數(shù)f(x)=(a-x)|x|. (1)若a=1,求f(x)的單調(diào)區(qū)間; (2)若f(x)是奇

12、函數(shù),且關(guān)于x的不等式mx2+m>f[f(x)]對所有的x∈[-2,2]恒成立,求實數(shù)m的取值范圍. 解 (1)當a=1時,f(x)=(1-x)|x|= 當x≥0時,f(x)=(1-x)x=-+,所以f(x)在內(nèi)是增函數(shù),在內(nèi)是減函數(shù); 當x<0時,f(x)=(x-1)x=-,所以f(x)在(-∞,0)內(nèi)是減函數(shù). 綜上可知,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為,單調(diào)減區(qū)間為(-∞,0),. (2)∵f(x)是奇函數(shù),∴f(0)=0,解得a=0,∴f(x)=-x|x|,f[f(x)]=x3|x|. ∴mx2+m>f[f(x)]=x3|x|, 即m>對所有的x∈[-2,2]恒成立,又x∈[-2,2],所以x2+1∈[1,5], 所以≤==x2+1+-2≤. 所以實數(shù)m的取值范圍是.

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