《2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用章末復習課學案 新人教B版選修1-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年高中數(shù)學 第3章 導數(shù)及其應用章末復習課學案 新人教B版選修1-1（9頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第3章 導數(shù)及其應用 應用導數(shù)解決與切線相關的問題 【例1】　已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)． (1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程； (2)求函數(shù)f(x)的極值． [解]　函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－. (1)當a＝2時，f(x)＝x－2ln x，f′(x)＝1－(x＞0)， ∴f(1)＝1，f′(1)＝－1， ∴y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0. (2)由f′(x)＝1－＝，x＞0知： ①當a≤0時，f′(x)>0，

2、函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值； ②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a； ∵x∈(0，a)時，f′(x)＜0，x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0， ∴f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值． 綜上，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值． 根據(jù)導數(shù)的幾何意義，導數(shù)就是相應切線的斜率，從而就可以應用導數(shù)解決一些與切線相關的問題. 1．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12，直線m：y＝kx＋9，且f′(

3、－1)＝0. (1)求a的值； (2)是否存在實數(shù)k，使直線m既是曲線y＝f(x)的切線，又是y＝g(x)的切線？如果存在，求出k的值；如果不存在，說明理由． [解]　(1)因為f′(x)＝3ax2＋6x－6a，且f′(－1)＝0， 所以3a－6－6a＝0，得a＝－2. (2)因為直線m過定點(0,9)，先求過點(0,9)，且與曲線y＝g(x)相切的直線方程． 設切點坐標為(x0,3x＋6x0＋12)，又因為g′(x0)＝6x0＋6， 所以切線方程為 y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)． 將點(0,9)代入， 得9－3x－6x0－12＝－6x－6x0，

4、 所以3x－3＝0，得x0＝±1. 當x0＝1時，g′(1)＝12，g(1)＝21，切點坐標為(1,21)， 所以切線方程為y＝12x＋9； 當x0＝－1時，g′(－1)＝0，g(－1)＝9， 切點坐標為(－1,9)， 所以切線方程為y＝9. 下面求曲線y＝f(x)的斜率為12和0的切線方程： 因為f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11， 所以f′(x)＝－6x2＋6x＋12. 由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12， 解得x＝0或x＝1. 當x＝0時，f(0)＝－11，此時切線方程為y＝12x－11； 當x＝1時，f(1)＝2，此時切線方程為y＝12x－1

5、0. 所以y＝12x＋9不是公切線． 由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0， 解得x＝－1或x＝2. 當x＝－1時，f(－1)＝－18，此時切線方程為y＝－18； 當x＝2時，f(2)＝9，此時切線方程為y＝9， 所以y＝9是公切線． 綜上所述，當k＝0時，y＝9是兩曲線的公切線. 函數(shù)的單調性與導數(shù) 【例2】　已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋x＋1，a∈R. (1)討論函數(shù)f(x)的單調區(qū)間； (2)設函數(shù)f(x)在區(qū)間內是減函數(shù)，求a的取值范圍． [解]　(1)因為f(x)＝x3＋ax2＋x＋1， 所以f′(x)＝3x2＋2ax＋1. 當Δ≤0，即a

6、2≤3時，f′(x)≥0，f(x)在R上遞增． 當a2＞3時，f′(x)＝0求得兩根為 x＝， 即f(x)在內是增函數(shù)， 在內是減函數(shù)， 在內是增函數(shù)． 所以函數(shù)f(x)在 和內是增函數(shù)； 在內是減函數(shù)． (2)若函數(shù)在區(qū)間內是減函數(shù)，則f′(x)＝3x2＋2ax＋1兩根在區(qū)間外， 即解得a≥2， 故a的取值范圍是[2，＋∞)． 1．利用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟 (1)確定函數(shù)的定義域． (2)求導數(shù)f′(x)． (3)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0. (4)將(3)中的解集與(1)中的定義域取公共部分寫出增(減)區(qū)間． 2．利用導數(shù)解決取值范圍問

7、題的兩個基本思路 (1)將問題轉化為不等式在某區(qū)間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數(shù)或函數(shù)性質求解參數(shù)范圍，然后檢驗參數(shù)取“＝”時是否滿足題意． (2)先令f′(x)>0(或f′(x)<0)，求出參數(shù)的取值范圍后，再驗證參數(shù)取“＝”，看此時f(x)是否滿足題意(通常驗證參數(shù)取“＝”這一步當不影響結果時可省略．) 函數(shù)的極值、最值與導數(shù) 【例3】　已知函數(shù)f(x)＝(x－k)ex. (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2)求f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值． [解]　(1)由題意知 f′(x)＝(x－k＋1)ex. 令f′(x)＝

8、0，得x＝k－1. f(x)與f′(x)隨x的變化情況如下表： x (－∞，k－1) k－1 (k－1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x) ↘ －ek－1 ↗ 所以，f(x)的單調遞減區(qū)間是(－∞，k－1)；單調遞增區(qū)間是(k－1，＋∞)． (2)當k－1≤0，即k≤1時，f(x)在[0,1]上單調遞增， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(0)＝－k； 當0＜k－1＜1，即1＜k＜2時， f(x)在[0，k－1]上單調遞減，在[k－1,1]上單調遞增， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1； 當k－1≥1，即k

9、≥2時，f(x)在[0,1]上單調遞減， 所以f(x)在區(qū)間[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e. 綜上，當k≤1時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(0)＝－k； 當1＜k＜2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(k－1)＝－ek－1； 當k≥2時，f(x)在[0,1]上的最小值為f(1)＝(1－k)e. (1)已知極值點求參數(shù)的值后，要回代驗證參數(shù)值是否滿足極值的定義. (2)討論極值點的實質是討論函數(shù)的單調性，即f′(x)的正負； (3)求最大值要在極大值與端點值中取最大者，求最小值要在極小值與端點值中取最小者. 2．已知函數(shù)f(x)＝x3＋a

10、x2＋bx＋c，過曲線y＝f(x)上的點P(1，f(1))的切線方程為y＝3x＋1，y＝f(x)在x＝－2時有極值． (1)求f(x)的表達式； (2)求y＝f(x)在[－3,1]上的單調區(qū)間和最大值． [解]　(1)因為f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 所以f′(1)＝3＋2a＋b， 故過曲線上P點的切線方程為 y－f(1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)， 已知該切線方程為y＝3x＋1， 所以即 因為y＝f(x)在x＝－2時有極值，所以f′(－2)＝0， 即－4a＋b＝－12， 解方程組得 所以f(x)＝x3＋2

11、x2－4x＋5. (2)由(1)知f′(x)＝3x2＋4x－4＝(3x－2)(x＋2)， 令f′(x)＝0，得x1＝－2，x2＝. 當x∈[－3，－2)時，f′(x)＞0； 當x∈時，f′(x)＜0； 當x∈時，f′(x)＞0. 所以f(x)的單調遞增區(qū)間為[－3，－2)和，單調遞減區(qū)間為. 又f(－2)＝13，f ＝，f(－3)＝8，f(1)＝4， 所以f(x)在區(qū)間[－3,1]上的最大值為13. 分類討論思想 【例4】　已知函數(shù)f(x)＝－1. (1)試判斷函數(shù)f(x)的單調性； (2)設m>0，求f(x)在[m,2m]上的最大值； (3)試證明：對?n∈N＋

12、，不等式lne＜. [解]　(1)函數(shù)f(x)的定義域是(0，＋∞)． 由已知f′(x)＝， 令f′(x)＝0，得1－ln x＝0，所以x＝e. 因為當0e時，f′(x)＝＜0， 所以函數(shù)f(x)在(0，e]上單調遞增， 在(e，＋∞)上單調遞減． (2)由(1)知函數(shù)f(x)在(0，e]上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減， ①當0<2m≤e，即0

13、0， 當e0，≠e， 所以ln＜·?ln＜， 即對?n∈N＋，不等式ln＜恒成立． (1)分類討論即分別歸類再進行討論，是一種重要的數(shù)學思想，也是一種邏輯方法，同時又是一種重要的解題策略． (2)解題時首先要思考為什么分類，即分

14、類依據(jù)是什么，一般的分類依據(jù)如方程類型、根的個數(shù)及與區(qū)間的關系、不等號的方向等；其次考慮分幾類，每一類中是否還需要分類． (3)分類討論的基本原則是不重不漏． 3．已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x(a∈R)． (1)求f(x)的單調區(qū)間； (2)當x>1時，x2＋ln x