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1、2022年高考數學5年真題備考題庫 第五章 第3節(jié) 等比數列及其前n項和 理(含解析)
1. (xx江蘇,5分)在各項均為正數的等比數列{an}中,若a2=1,a8=a6+2a4,則a6的值是________.
解析:設等比數列{an}的公比為q,q>0,則a8=a6+2a4即為a4q4=a4q2+2a4,解得q2=2(負值舍去),又a2=1,所以a6=a2q4=4.
答案:4
2. (xx重慶,5分)對任意等比數列{an},下列說法一定正確的是( )
A.a1,a3,a9成等比數列
B.a2,a3,a6成等比數列
C.a2,a4,a8成等比數列
D.a3,a6,a9成等比數
2、列
解析:選D 由等比數列的性質得,a3·a9=a≠0,因此a3,a6,a9一定成等比數列,選D.
答案:D
3. (xx廣東,5分)若等比數列{an}的各項均為正數,且a10a11+a9a12=2e5,則ln a1+ln a2+…+ln a20=________.
解析:由等比數列的性質可知a10a11+a9a12=2e5?a1a20=e5,于是a1a2…a20=(e5)10=e50,ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2…a20)=ln e50=50.
答案:50
4. (xx新課標全國Ⅱ,12分)已知數列{an}滿足a1=1,an+1=3an+1.
(
3、1)證明是等比數列,并求{an}的通項公式;
(2)證明:++…+<.
證明:(1)由an+1=3an+1得an+1+=3.
又a1+=,所以是首項為,公比為3的等比數列.
所以an+=,
因此{an}的通項公式為an=.
(2)由(1)知=.
因為當n≥1時,3n-1≥2×3n-1,
所以≤.
于是++…+≤1++…+
=<.
所以++…+<.
5.(xx新課標全國Ⅱ,5分)等比數列{an}的前n項和為Sn.已知S3 = a2 +10a1 ,a5=9,則a1=( )
A. B.-
C. D.-
解析:本題考查等比數列的基本知識,
4、包括等比數列的前n項和及通項公式,屬于基礎題,考查考生的基本運算能力.由題知q≠1,則S3==a1q+10a1,得q2=9,又a5=a1q4=9,則a1=,故選C.
答案:C
6.(xx北京,5分)若等比數列{an}滿足a2+a4=20,a3+a5=40,則公比q=________;前n項和Sn=________.
解析:本題考查等比數列的通項公式和求和公式,考查方程思想以及考生的運算求解能力.
q==2,又a2+a4=20,故a1q+a1q3=20,解得a1=2,所以Sn=2n+1-2.
答案:2 2n+1-2
7.(xx湖北,12分)已知等比數列{an}滿足:|a2-a3|=
5、10,a1a2a3=125.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數m,使得++…+≥1?若存在,求m的最小值;若不存在,說明理由.
解:本題考查等比數列的通項公式、前n項和公式、不等式等基礎知識和基本方法,考查方程思想、分類與整合思想,考查運算求解能力、邏輯思維能力,考查綜合運用知識分析問題和解決問題的能力.
(1)設等比數列{an}的公比為q,則由已知可得解得或
故an=·3n-1,或an=-5·(-1)n-1.
(2)若an=·3n-1,則=·n-1,故是首項為,公比為的等比數列,
從而==·<<1.
若an=-5·(-1)n-1,則=-(-1)n-1,故
6、是首項為-,公比為-1的等比數列,
從而=故<1.
綜上,對任何正整數m,總有<1.
故不存在正整數m,使得++…+≥1成立.
8.(xx遼寧,5分)已知等比數列{an}是遞增數列,Sn是{an}的前n項和.若a1,a3是方程x2-5x+4=0的兩個根,則S6=________.
解析:本題主要考查等比數列的性質、通項公式、求和公式,意在考查考生對等比數列公式的運用,以及等比數列性質的應用情況.由題意得,a1+a3=5,a1a3=4,由數列是遞增數列得,a1=1,a3=4,所以q=2,代入等比數列的求和公式得S6=63.
答案:63
9.(xx湖北,13分)已知Sn是等比數列{a
7、n}的前n項和,S4,S2,S3成等差數列,且a2+a3+a4=-18.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)是否存在正整數n,使得Sn≥xx?若存在,求出符合條件的所有n的集合;若不存在,說明理由.
解:本題主要考查等比數列的性質、等差數列的性質、等比數列的通項公式及前n項和公式,也考查了分類討論思想.
(1)設數列{an}的公比為q,則a1≠0,q≠0.由題意得
即
解得故數列{an}的通項公式為an=3(-2)n-1.
(2)由(1)有Sn==1-(-2)n.
若存在n,使得Sn≥2 013,則1-(-2)n≥2 013,即(-2)n≤-2 012.
當n為偶數時,
8、(-2)n>0,上式不成立;
當n為奇數時,(-2)n=-2n≤-2 012,即2n≥2 012,則n≥11.
綜上,存在符合條件的正整數n,且所有這樣的n的集合為{n|n=2k+1,k∈N,k≥5}.
10.(xx陜西,12分)設{an}是公比為q的等比數列.
(1)推導{an}的前n項和公式;
(2)設q≠1,證明數列{an+1}不是等比數列.
解:本題考查等比數列前n項和公式推導所用的錯位相減法以及用反證法研究問題,深度考查考生應用數列作工具進行邏輯推理的思維方法.
(1)設{an}的前n項和為Sn,
當q=1時,Sn=a1+a1+…+a1=na1;
當q≠1時,Sn=
9、a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①
qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②
①-②得,(1-q)Sn=a1-a1qn,
∴Sn=,∴Sn=
(2)證明:假設{an+1}是等比數列,則對任意的k∈N+,
(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),
a+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,
aq2k+2a1qk=a1qk-1·a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,
∵a1≠0,∴2qk=qk-1+qk+1.
∵q≠0,∴q2-2q+1=0,
∴q=1,這與已知矛盾.
∴假設不成立,故{an+1}不是等比數列.
11.(xx江西,5分)
10、等比數列x,3x+3,6x+6,…的第四項等于( )
A.-24 B.0
C.12 D.24
解析:選A 本題考查等比數列的通項以及等比數列的性質,意在考查考生的運算能力及對基礎知識的掌握情況.由等比數列的前三項為x,3x+3,6x+6,可得(3x+3)2=x(6x+6),解得x=-3或x=-1(此時3x+3=0,不合題意,舍去),故該等比數列的首項x=-3,公比q==2,所以第四項為(6x+6)×q=-24.
12.(xx江蘇,5分)在正項等比數列{an}中,a5=,a6+a7=3.則滿足a1+a2+…+an>a1a2…an的最大正整數n的值為____
11、____.
解析:本題主要考查等比數列的基本性質,意在考查學生的運算能力.
設等比數列{an}的公比為q(q>0).由a5=,a6+a7=3,可得(q+q2)=3,即q2+q-6=0,所以q=2,所以an=2n-6,數列{an}的前n項和Sn=2n-5-2-5,所以a1a2…an=(a1an)=2,由a1+a2+…+an>a1a2…an可得2n-5-2-5>2,由2n-5>2,可求得n的最大值為12,而當n=13時,28-2-5>213不成立,所以n的最大值為12.
答案:12
13.(xx浙江,4分)設公比為q(q>0)的等比數列{an}的前n項和為Sn.若S2=3a2+2,S4=3
12、a4+2,則q=____________.
解析:∵S4-S2=a3+a4=3(a4-a2),∴a2(q+q2)=3a2(q2-1),
解得q=-1(舍去)或q=.
答案:
14.(xx新課標全國,5分)已知{an}為等比數列,a4+a7=2,a5a6=-8,則a1+a10=( )
A.7 B.5
C.-5 D.-7
解析:設數列{an}的公比為q,由
得或所以或
所以或所以a1+a10=-7.
答案:D
15.(2011新課標全國,12分)等比數列{an}的各項均為正數,且2a1+3a2=1,a=9a2a6.
(1)求數列{an}的通項公式;
(2)設bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求數列{}的前n項和.
解:(1)設數列{an}的公比為q.由a=9a2a6得a=9a,所以q2=.由條件可知q>0,故q=.
由2a1+3a2=1,得2a1+3a1q=1,得a1=.
故數列{an}的通項公式為an=.
(2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=
-(1+2+…+n)=-.
故=-=-2(-).
++…+=-2[(1-)+(-)+…+(-)]=-.
所以數列{}的前n項和為-.