《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第二講 三角變換與解三角形 理》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第二講 三角變換與解三角形 理(7頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題2 三角函數(shù)、三角變換、解三角形、平面向量 第二講 三角變換與解三角形 理
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式.
sin 2α=2sin_αcos_α,tan 2α=,
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
它的雙向應(yīng)用分別起到了縮角升冪和擴角降冪的作用.
三角恒等式的證明方法有:
1.從等式的一邊推導(dǎo)變形到另一邊,一般是化繁為簡.
2.等式的兩邊同時變形為同一個式子.
3.將式子變形后再證明.
1.正弦定理及其變形.
===2R(其中R為△ABC外接圓的半徑).
2、(1)a=2Rsin_A,b=2Rsin B,c=2Rsin_C;
(2)sin A=,sin_B=,sin C=;
(3)asin B=bsin_A,bsin C=csin B,asin C=csin_A;
(4)abc=sin_Asin_Bsin_C.
2.余弦定理及其變形.
(1)a2=b2+c2-2bccos_A,cos A=;
(2)b2=c2+a2-2cacos B,cos B=;
(3)c2=a2+b2-2abcos_C,cos C=.
3.△ABC的面積公式.
(1)S=a·ha(ha表示a邊上的高);
(2)S=absin_C=acsin_B=bcsin_
3、A=(R為△ABC外接圓半徑);
(3)S=r(a+b+c)(r為內(nèi)切圓半徑).
判斷下面結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”).
(1)y=3sin x+4cos x的最大值是7.(×)
(2)設(shè)α∈(π,2π),則 =sin.(×)
(3)在△ABC中,tan A=a2,tan B=b2,那么△ABC是等腰三角形.(×)
(4)當b2+c2-a2>0時,三角形ABC為銳角三角形;當b2+c2-a2=0時,三角形為直角三角形;當b2+c2-a2<0時,三角形為鈍角三角形.(×)
(5)在△ABC中,AB=,AC=
4、1,B=30°,則△ABC的面積等于.(×)
1.已知α為第二象限角,sin α=,則sin 2α=(A)
A.- B.- C. D.
2.(xx·新課標Ⅱ卷) 函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值為1.
解析:由已知得,f(x)=sin xcos φ+cos xsin φ-2cos xsin φ=sin xcos φ-cos xsin φ=sin(x-φ)≤1,故函數(shù)f(x)=sin(x+φ)-2sin φcos x的最大值為1.
3.(xx·北京卷)在△ABC中,a=4,b=5,c=6,則=1.
解析:由正弦定理得=,
由
5、余弦定理得cos A=,
∵ a=4,b=5,c=6,
∴ ==2··cos A=2××=1.
4.(xx·新課標Ⅰ卷)在平面四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=75°,BC=2,則AB的取值范圍是(-,+).
解析:如圖所示,延長BA與CD相交于點E,過點C作CF∥AD交AB于點F,則BF<AB<BE.
在等腰三角形CFB中,∠FCB=30°,
CF=BC=2,
∴ BF==-.
在等腰三角形ECB中,∠CEB=30°,∠ECB=75°,
BE=CE,BC=2,=,
∴ BE=×=+.
∴ -<AB<+.
一、選擇題
1.定義運算=ad-bc,則函數(shù)f(x)
6、=的圖象的一條對稱軸是(B)
A. B. C.π D.0
2.在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,則△ABC的形狀是(A)
A.鈍角三角形 B.直角三角形
C.銳角三角形 D.不能確定
解析:先由正弦定理將角關(guān)系化為邊的關(guān)系得:a2+b2<c2,再由余弦定理可求得角C的余弦值為負,所以角C為鈍角.故選A.
3.(xx·浙江卷)已知函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,φ∈R),則“f(x)是奇函數(shù)”是“φ=”的(B)
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析:先判斷
7、由f(x)是奇函數(shù)能否推出φ=,再判斷由φ=能否推出f(x)是奇函數(shù).
若f(x)是奇函數(shù),則f(0)=0,所以cos φ=0,所以φ=+kπ(k∈Z),故φ=不成立;
若φ=,則f(x)=Acos=-Asin(ωx),f(x)是奇函數(shù).所以f(x)是奇函數(shù)是φ=的必要不充分條件.
4.若△ABC的內(nèi)角A滿足sin 2A=,則sin A+cos A等于(A)
A. B.-
C. D.-
解析:∵sin 2A=,∴2sin Acos A=,即sin A、cos A同號.∴A為銳角,∴sin A+cos A=====.
5. 若=,則tan 2
8、α=(B)
A.- B.
C.- D.
解析:先由條件等式=,左邊分子分母同除以cos α,得=,解得tan α=-3,又由于tan 2α==.故選B.
6.C是曲線y=(x≤0)上一點,CD垂直于y軸,D是垂足,點A坐標是(-1,0).設(shè)∠CAO=θ(其中O表示原點),將AC+CD表示成關(guān)于θ的函數(shù)f(θ),則f(θ)=(A)
A.2cos θ-cos 2θ B.cos θ+sin θ
C.2cos θ(1+cos θ) D.2sin θ+cos θ-
解析:依題意,畫出圖形.△CAO是等腰三角形,
∴∠DCO=∠COA
9、=π-2θ.
在Rt△COD中,
CD=CO·cos∠DCO=cos(π-2θ)=-cos 2θ,
過O作OH⊥AC于點H,則
CA=2AH=2OAcos θ=2cos θ.
∴f(θ)=AC+CD=2cos θ-cos 2θ.故選A.
二、填空題
7.(xx·廣東卷)設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.若a=,sin B=,C=,則b=1.
解析:在△ABC中,∵ sin B=,0
10、值為2.
解析:因為f(x)=(1+tan x)cos x=cos x+sin x=2cos,
當x=時,函數(shù)取得最大值為2.
三、解答題
9.已知0<α<<β<π,tan =,cos (β-α)=.
(1)求sin α的值;
(2)求β的值.
解析:(1)∵tan =,
∴sin α=sin =2sin cos
====.
(2)∵0<α<,sin α=,∴cos α=.
又0<α<<β<π,∴0<β-α<π.
由cos(β-α)=,得sin(β-α)=.
∴sin β=sin[(β-α)+α]
=sin(β-α)cos α+cos(β-α)sin α
11、 =×+×==.
由<β<π得β=π.
10.(xx·安徽卷)在ΔABC中,A=,AB=6,AC=3,點D在BC邊上,AD=BD,求AD的長.
解析:設(shè)△ABC的內(nèi)角A,B,C所對邊的長分別是a,b,c,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos∠BAC=(3)2+62-2×3×6×cos=18+36-(-36)=90,
所以a=3.
又由正弦定理得sin B===,
由題設(shè)知0
12、θ∈(0,π).
(1)求a,θ的值;
(2)若f=-,α∈,求sin的值.
解析:(1)因為函數(shù)f(x)=(a+2cos2x)cos(2x+θ)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即(a+2cos2x)·cos(-2x+θ)=-(a+2cos2x)cos(2x+θ),因為x∈R,所以cos
(-2x+θ)=-cos(2x+θ),cos 2xcos θ=0,cos θ=0.又θ∈(0,π),所以θ=.因為f=0,所以cos=0,a=-1.因此a=-1,θ=.
(2)由(1)得:
f(x)=(-1+2cos2x)cos=cos 2x(-sin 2x)=-sin 4x,所以由f=-,得-sin α=-,sin α=,又α∈,所以cos α=-,因此sin=sin αcos +sin cos α=.