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1、2022年高考數(shù)學一輪復習 3-8 正弦定理和余弦定理的應用課時作業(yè) 文
一、選擇題
1.(xx年高考四川卷)如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為75°,30°,此時氣球的高是60 m,則河流的寬度BC等于( )
A.240(-1) m B.180(-1) m
C.120(-1) m D.30(+1)m
解析:由題圖知AB==,∠ACB=30°,∠BAC=45°,在△ABC中,由正弦定理得=,可得BC=120(-1).
答案:C
2.要測量底部不能到達的電視塔AB的高度,在C點測得塔頂A的仰角是45°,在D點測得塔頂A的仰角是30°,并測得水平
2、面上的∠BCD=120°,CD=40 m,則電視塔的高度為( )
A.10 m B.20 m
C.20 m D.40 m
解析:設電視塔的高度為x m,則BC=x,BD=x.在△BCD中,根據(jù)余弦定理得3x2=x2+402-2×40x×cos 120°,即x2-20x-800=0,解得x=-20(舍去)或x=40.故電視塔的高度為40 m.
答案:D
3.一船向正北航行,看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上,繼續(xù)航行半小時后,看見一燈塔在船的南偏西60°,另一燈塔在船的南偏西75°,則這艘船的速率是每小時( )
A.5海里 B.5海里
C.10海
3、里 D.10海里
解析:如圖,依題意有∠BAC=60°,∠BAD=75°,所以∠CAD=∠CDA=15°,從而CD=CA=10,在直角三角形ABC中,得AB=5,于是這艘船的速度是=10海里/小時.
答案:C
4.一艘海輪從A處出發(fā),以每小時40海里的速率沿東偏南50°方向直線航行,30分鐘后到達B處.在C處有一座燈塔,海輪在A處觀察燈塔,其方向是東偏南20°,在B處觀察燈塔,其方向是北偏東65°,那么B,C兩點間的距離是( )
A.10海里 B.10海里
C.20海里 D.20海里
解析:由已知可得,∠BAC=30°,∠ABC=105°,AB=20,從而∠ACB=
4、45°.在△ABC中,由正弦定理,得BC=×sin 30°=10.
答案:A
5.(xx年南昌模擬)如圖所示,當甲船位于A處時獲悉,在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救,甲船立即前往營救,同時把消息告知在甲船的南偏西30°相距10海里C處的乙船,乙船立即朝北偏東θ+30°角的方向沿直線前往B處營救,是sin θ的值為( )
A. B.
C. D.
解析:連接BC.在△ABC中,AC=10,AB=20,∠BAC=120°,由余弦定理,得BC2=AC2+AB2-2AB·AC·cos 120°=700,∴BC=10,再由正弦定理,得=,∴sin θ=.
5、答案:A
二、填空題
6.(xx年濰坊調(diào)研)為測得河對岸塔AB的高,先在河岸上選一點C,使C在塔底B的正東方向上,測得點A的仰角為60°,再由點C沿北偏東15°方向走10米到位置D,測得∠BDC=45°,則塔AB的高是________米.
解析:在△BCD中,由正弦定理,得=,解得BC=10米,∴在Rt△ABC中,塔AB的高是10米.
答案:10
7.已知A船在燈塔C北偏東80°處,且A船到燈塔C的距離為2 km,B船在燈塔C北偏西40°處,A,B兩船間的距離為3 km,則B船到燈塔C的距離為________ km.
解析:如圖,由已知得
∠ACB=120°,AC=2,AB=
6、3.
設BC=x,則由余弦定理得AB2=BC2+AC2-2BC·ACcos 120°,
即32=22+x2-2×2xcos 120°即x2+2x-5=0,解得x=-1.
答案:-1
8.某路邊一樹干被臺風吹斷后,折成與地面成45°角,樹干也傾斜為與地面成75°角,樹干底部與樹尖著地處相距20 m,則折斷點與樹干底部的距離是________ m.
解析:如圖,設樹干底部為O,樹尖著地處為B,折斷點為A,
則∠ABO=45°,
∠AOB=75°,
所以∠OAB=60°.
由正弦定理知,=,
解得AO= m.
答案:
三、解答題
9.(xx年濟南模擬)如圖,漁船甲位于島
7、嶼A的南偏西60°方向的B處,且與島嶼A相距12海里,漁船乙以10海里/時的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行,若漁船甲同時從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙,剛好用2小時追上,此時到達C處.
(1)求漁船甲的速度;
(2)求sin α的值.
解析:(1)依題意知,∠BAC=120°,AB=12海里,AC=10×2=20海里,∠BCA=α,
在△ABC中,由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos∠BAC=122+202-2×12×20×cos 120°=784.
解得BC=28海里.
所以漁船甲的速度為=14海里/時.
(2)由(1)知BC=28海里,在△AB
8、C中,∠BCA=α,由正弦定理得=.
即sin α===.
10.如圖所示,A,B是海面上位于東西方向相距5(3+)海里的兩個觀測點.現(xiàn)位于A點北偏東45°,B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號,位于B點南偏西60°且與B點相距20海里的C點的救援船立即前往營救,其航行速率為30海里/小時,該救援船到達D點需要多長時間?
解析:由題意知AB=5(3+)海里,
∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°-45°=45°,
∴∠ADB=180°-(45°+30°)=105°,
在△DAB中,由正弦定理,得=,
∴DB=====10海里,
又∠DBC=∠DBA+∠
9、ABC=60°,BC=20海里.
在△DBC中,由余弦定理得
CD2=BD2+BC2-2BD·BC·cos∠DBC=300+1 200-2×10×20×=900.
∴CD=30海里.則需要的時間t==1小時.
B組 高考題型專練
1.(xx年滁州調(diào)研)線段AB外有一點C,∠ABC=60°,AB=200 km,汽車以80 km/h的速度由A向B行駛,同時摩托車以50 km/h的速率由B向C行駛,則運動開始多少h后,兩車的距離最小( )
A. B.1
C. D.2
解析:如圖所示,設t h后,汽車由A行駛到D,摩托車由B行駛到E,則AD=80t,BE=50t.因為AB=200
10、,所以BD=200-80t,問題就是求DE最小時t的值.
由余弦定理,得
DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos 60°=(200-80t)2+2 500t2-(200-80t)·50t
=12 900t2-42 000t+40 000.
當t=時,DE最小.
答案:C
2.(xx年高考浙江卷)如圖,某人在垂直于水平地面ABC的墻面前的點A處進行射擊訓練,已知點A到墻面的距離為AB,某目標點P沿墻面上的射線CM移動,此人為了準確瞄準目標點P,需計算由點A觀察點P的仰角θ的大小(仰角θ為直線AP與平面ABC所成角),若AB=15 m,AC=25 m,∠BCM=30°,則tan
11、 θ的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析:由題意,在△ABC中,sin∠ACB===,則cos∠ACB=.
作PH⊥BC,垂足為H,連接AH,如右圖所示.
設PH=x,則CH=x,在△ACH中,由余弦定理得AH
=
=,tan∠PAH=
==(>0),
故當=時,最大值為.
答案:D
3.如圖,一艘船上午9:30在A處測得燈塔S在它的北偏東30°的方向,之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,此時又測得燈塔S在它的北偏東75°的方向,且與它相距8n mile.此船的航速是________n mile/h.
解析:設航速為v
12、n mile/h,
在△ABS中AB=v,BS=8,
∠BSA=45°,
由正弦定理得=,則v=32.
答案:32
4.(xx年昌平模擬)如圖所示,已知樹頂A離地面米,樹上另一點B離地面米,某人在離地面米的C處看此樹,則該人離此樹________米時,看A,B的視角最大.
解析:過C作CF⊥AB于點F,設∠ACB=α,∠BCF=β.
由已知得AB=-=5米,BF=-=4米,AF=-=9米.
則tan(α+β)==,tan β==,
∴tan α=[(α+β)-β]===≤=.
當且僅當FC=,即FC=6時,tan α取得最大值,此時α取得最大值.
答案:6
5.(x
13、x年高考江蘇卷)如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min 后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1 min后,再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運行的速度為130 m/min,山路AC長為1 260 m,經(jīng)測量,cos A=,cos C=.
(1)求索道AB的長;
(2)問:乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?
14、
解析:(1)在△ABC中,因為cos A=,cos C=,
所以sin A=,sin C=.
從而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.
由正弦定理=,得AB=·sin C=×=1 040 m.
所以索道AB的長為1 040 m.
(2)假設乙出發(fā)t min后,甲、乙兩游客距離為d,此時,甲行走了(100+50t) m,乙距離A處130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)×=200(37t2-70t+50).
因為0≤t≤,即0≤t≤8,
故當t= min時,甲、乙兩游客距離最短.
(3)由正弦定理=,得BC=·sin A=×=500 m.
乙從B出發(fā)時,甲已走了50×(2+8+1)=550 m,還需走710 m才能到達C.
設乙步行的速度為v m/min,由題意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3 min,乙步行的速度應控制在(單位:m/min)范圍內(nèi).