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1、2022年高考數(shù)學復習 專題13 推理與證明、數(shù)系的擴充 間接證明易錯點
主標題:間接證明易錯點
副標題:從考點分析間接證明在高考中的易錯點,為學生備考提供簡潔有效的備考策略。
關(guān)鍵詞:間接證明,易錯點
難度:3
重要程度:3
內(nèi)容:
?一、沒有應用假設(shè)進行推理而致錯
????????【例1】已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0,用反證法證明:關(guān)于x的方程無實根.
????????錯解:假設(shè)方程有實根,
由已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0,
解得,
方程的判別式,
∵,∴,∴△<0.
即關(guān)于x的方程無實根。
????????剖析:利用反證法
2、證明時,首先要對所要證明的結(jié)論進行否定性的假設(shè),并以此為條件進行推理,得到矛盾,從而證明原命題成立.
????????正解:假設(shè)方程有實根,
則該方程的判別式≥0,解得p≥2或p≤-2,
而由已知實數(shù)p滿足不等式(2p+1)(p+2)<0,
解得,
二者矛盾,所以假設(shè)錯誤,從而原方程無實根。
????????二、利用假設(shè)進行推理時不嚴密而致錯
????????【例2】設(shè)a,b,c都是小于1的正數(shù),求證:(1-a)b,(1-b)a,(1-c)a三個數(shù)不可能同時大于。
????????錯解:假設(shè)三個數(shù)都大于,
即,
三個式子相乘,得。
又因為,,,
∴,
這與假設(shè)矛盾,因
3、此假設(shè)不成立。
∴(1-a)b,(1-b)a,(1-c)a三個數(shù)不可能同時大于。
????????剖析:在利用基本不等式時忘記了等號,少了取等號的條件,所以證明過程不嚴密。
????????正確:假設(shè)三個數(shù)都大于,
即,
三個式子相乘,得。
又因為,,,
∴,
這與假設(shè)矛盾,因此假設(shè)不成立。
∴(1-a)b,(1-b)a,(1-c)a三個數(shù)不可能同時大于。
????????三、考慮不全面而致錯
????????【例3】若a∥b,若直線a與平面相交,求證:直線b與平面相交。
????????錯解:假設(shè)b不與平面相交,則直線b∥平面,
則平面內(nèi)存在直線b′,使得b∥b′.
而a∥b,故a∥b′,因為平面,所以a∥平面,這與已知相矛盾,
所以假設(shè)錯誤,b與平面相交。
?????????剖析:直線與平面不相交,包含直線與平面平行和直線在平面內(nèi)兩種情況,少了直線在平面內(nèi)的情況.
????????正解:假設(shè)b不與平面相交,則直線b∥平面或直線b平面。
(1)若直線b∥平面,則平面內(nèi)存在直線b′,使得b∥b′.
而a∥b,故a∥b′,因為平面,所以a∥平面,這與已知相矛盾。
(2)若直線b平面,則由a∥b,平面,所以a∥平面,這與已知相矛盾。
綜上所述,b與平面相交。