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1、九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第二十七講 動態(tài)幾何問題透視
春去秋來,花開花落,物轉(zhuǎn)星移,世間萬物每時每刻都處于運動變化、相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化中,事物的本質(zhì)特征只有在運動中方能凸現(xiàn)出來.
動態(tài)幾何問題,是指以幾何知識和圖形為背景,滲入運動變化觀點的一類問題,常見的形式是:點在線段或弧線上運動、圖形的翻折、平移、旋轉(zhuǎn)等,解這類問題的基本策略是:
1.動中覓靜
這里的“靜”就是問題中的不變量、不變關(guān)系,動中覓靜就是在運動變化中探索問題中的不變性.
2.動靜互化
“靜”只是“動”的瞬間,是運動的一種特殊形式,動靜互化就是抓住“靜”的瞬間,使一般情形
2、轉(zhuǎn)化為特殊問題,從而找到“動”與“靜”的關(guān)系.
3.以動制動
以動制動就是建立圖形中兩個變量的函數(shù)關(guān)系,通過研究運動函數(shù),用聯(lián)系發(fā)展的觀點來研究變動元素的關(guān)系.
注:幾何動態(tài)既是一類問題,也是一種觀點與思維方法,運用幾何動態(tài)的觀點,可以把表面看來不同的定理統(tǒng)一起來,可以找到探求幾何中的最值、定值等問題的方法;更一般情況是,對于一個數(shù)學(xué)問題,努力去發(fā)掘更多結(jié)論,不同解法,通過弱化或強化條件來探討結(jié)論的狀況等,這就是常說的“動態(tài)思維”.
【例題求解】
【例1】 如圖,把直角三角形ABC的斜邊AB放在定直線上,按順時針方向在上轉(zhuǎn)動兩次,使它轉(zhuǎn)到A″B″C″的位置,設(shè)BC=
3、1,AC=,則頂點A運動到點A″的位置時,點A經(jīng)過的路線與直線所圍成的面積是 .
思路點撥 解題的關(guān)鍵是將轉(zhuǎn)動的圖形準(zhǔn)確分割.RtΔABC的兩次轉(zhuǎn)動,頂點A所經(jīng)過 的路線是兩段圓弧,其中圓心角分別為120°和90°,半徑分別為2和,但該路線與直線所圍成的面積不只是兩個扇形面積之和.
【例2】如圖,在⊙O中,P是直徑AB上一動點,在AB同側(cè)作AA′⊥AB,BB′⊥AB,且AA′=AP,BB′=BP,連結(jié)A′B′,當(dāng)點P從點
4、A移到點B時,A′B′的中點的位置( )
⌒
A.在平分AB的某直線上移動 B.在垂直AB的某直線上移動
C.在AmB上移動 D.保持固定不移動
思路點撥 畫圖、操作、實驗,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.
【例3】 如圖,菱形OABC的長為4厘米,∠AOC=60°,動點P從O出發(fā),以每秒1厘米的速度沿O→A→B路線運動,點P出發(fā)2秒后,動點Q
5、從O出發(fā),在OA上以每秒1厘米的速度,在AB上以每秒2厘米的速度沿O→A→B路線運動,過P、Q兩點分別作對角線AC的平行線.設(shè)P點運動的時間為秒,這兩條平行線在菱形上截出的圖形(圖中的陰影部分)的周長為厘米,請你回答下列問題:
(1)當(dāng)=3時,的值是多少?
(2)就下列各種情形:
①0≤≤2;②2≤≤4;③4≤≤6;④6≤≤8.求與之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)在給出的直角坐標(biāo)系中,用圖象表示(2)中的各種情形下與的關(guān)系.
思路點撥 本
6、例是一個動態(tài)幾何問題,又是一個“分段函數(shù)”問題,需運用動態(tài)的觀點,將各段分別討論、畫圖、計算.
注:動與靜是對立的,又是統(tǒng):一的,無論圖形運動變化的哪一類問題,都真實地反映了現(xiàn)實世界中數(shù)與形的變與不變兩個方面,從辯證的角度去觀察、探索、研究此類問題,是一種重要的解題策略.
建立運動函數(shù)關(guān)系就更一般地、整體-地把握了問題,許多相關(guān)問題就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值或自變量的值.
【例4】 如圖,正方形ABCD中,有一直徑為BC的半圓,BC=2cm,現(xiàn)有兩點E、F,分別從點B、點A同時出發(fā),點E沿線段BA以1m/秒的速度向點A運動,點F沿折線A
7、—D—C以2cm/秒的速度向點C運動,設(shè)點E離開點B的時間為2 (秒).
(1)當(dāng)為何值時,線段EF與BC平行?
(2)設(shè)1<<2,當(dāng)為何值時,EF與半圓相切?
(3)當(dāng)1≤<2時,設(shè)EF與AC相交于點P,問點E、F運動時,點P的位置是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請說明理由;若不發(fā)生變化,請給予證明,并求AP:PC的值.
思路點撥 動中取靜,根據(jù)題意畫出不同位置的圖形,然后分別求解,這是解本例的基本策略,對于(1)、(2),運用相關(guān)幾何性質(zhì)建立關(guān)于的方
8、程;對于(3),點P的位置是否發(fā)生變化,只需看是否為一定值.
注:動態(tài)幾何問題常通過觀察、比較、分析、歸納等方法尋求圖形中某些結(jié)論不變或變化規(guī)律,而把特定的運動狀態(tài),通過代數(shù)化來定量刻畫描述也是解這類問題的重要思想.
【例5】 ⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點;如圖(1),連結(jié)O2 O1并延長交⊙O1于P點,連結(jié)PA、PB并分別延長交⊙O2于C、D兩點,連結(jié)C O2并延長交⊙O2于E點.已知⊙O2的半徑為R,設(shè)∠CAD=.
(1)求:CD的長(用含R、的式子表示);
(2)試判斷CD與PO1的位置關(guān)系,并說明理由;
(3)設(shè)點P′
9、為⊙O1上(⊙O2外)的動點,連結(jié)P′A、P′B并分別延長交⊙O2于C′、D′,請你探究∠C′AD′是否等于? C′D′與P′Ol的位置關(guān)系如何?并說明理由.
⌒
思路點撥 對于(1)、(2),作出圓中常見輔助線;對于(3),P點雖為OOl上的一個動點,但⊙O1、⊙O2一些量(如半徑、AB)都是定值或定弧,運用圓的性質(zhì),把角與孤聯(lián)系起來.
學(xué)力訓(xùn)練
1.如圖, ΔABC中,∠C=90°,AB=12cm,∠ABC=
10、60°,將ΔABC以點B為中心順時針旋轉(zhuǎn),使點C旋轉(zhuǎn)到AB延長線上的D處,則AC邊掃過的圖形的面積是 cm (π=3.14159…,最后結(jié)果保留三個有效數(shù)字).
2.如圖,在RtΔ ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC= cm,將ΔABC繞點B旋轉(zhuǎn)至ΔA'BC'的位置,且使A、B、C'三點在同一條直線上,則點A經(jīng)過的最短路線的長度是 cm.
3.一塊等邊三角形的木板,邊長為l,現(xiàn)將木板沿水平線翻滾,那么B點從開始至結(jié)束走過的路徑長度為( )
A. B. C.4
11、 D.
4.把ΔABC沿AB邊平移到ΔA'B'C'的位置,它們的重疊部分的面積是ΔABC的面積的一半,若AB=,則此三角形移動的距離AA'是( )
A. B. C.1 D.
5.如圖,正三角形ABC的邊長為6厘米,⊙O的半徑為r厘米,當(dāng)圓心O從點A出發(fā),沿著線路AB—BC—CA運動,回到點A時,⊙O隨
12、著點O的運動而移動.
(1)若r=厘米,求⊙O首次與BC邊相切時AO的長;
(2)在O移動過程中,從切點的個數(shù)來考慮,相切有幾種不同的情況?寫出不同的情況下,r的取值范圍及相應(yīng)的切點個數(shù);
(3)設(shè)O在整個移動過程中,在ΔABC內(nèi)部,⊙O未經(jīng)過的部分的面積為S,在S>0時,求關(guān)于r的函數(shù)解析式,并寫出自變量r的取值范圍.
6.已知:如圖,⊙O韻直徑為10,弦AC=8,點B在圓周上運動(與A、C兩點不重合),連結(jié)BC、BA,過點C作CD⊥AB于
13、D.設(shè)CB的長為,CD的長為.
(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式;當(dāng)以BC為直徑的圓與AC相切時,求的值;
(2)在點B運動的過程中,以CD為直徑的圓與⊙O有幾種位置關(guān)系,并求出不同位置時 的取值范圍;
(3)在點B運動的過程中,如果過B作BE⊥AC于E,那么以BE為直徑的圓與⊙O能內(nèi)切嗎?若不能,說明理由;若能,求出BE的長.
7.如圖,已知A為∠POQ的邊OQ上一點,以A為頂點的∠MAN的兩邊分別交射線OP于M、N兩點,且∠MAN=∠POQ=(為銳角).當(dāng)∠MAN以點A為旋轉(zhuǎn)中心,AM邊從與AO重合的位置開始,按逆時針方向旋轉(zhuǎn)(∠MAN保持不變)
14、時,M、N兩點在射線OP上同時以不同的速度向右平移移動.設(shè)OM=,ON= (>≥0),ΔAOM的面積為S,若cos、OA是方程的兩個根.
(1)當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)30°(即∠OAM=30°)時,求點N移動的距離;
(2)求證:AN2=ON·MN;
(3)求與之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍;
(4)試寫出S隨變化的函數(shù)關(guān)系式,并確定S的取值范圍.
8.已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=3cm,∠C=60°,BD⊥CD.
15、
(1)求BC、AD的長度;
(2)若點P從點B開始沿BC邊向點C以2cm/s的速度運動,點Q從點C開始沿CD邊向點D以1cm/s的速度運動,當(dāng)P、Q分別從B、C同時出發(fā)時,寫出五邊形ABPQD的面積S與運動時間之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍(不包含點P在B、C兩點的情況);
(3)在(2)的前提下,是否存在某一時刻,使線段PQ把梯形ABCD分成兩部分的面積比為1:5?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
9
16、.已知:如圖①,E、F、G、H按照AE=CG,BF=DH,BF=nAE(n是正整數(shù))的關(guān)系,分別在兩鄰邊長、的矩形ABCD各邊上運動.
設(shè)AE=,四邊形EFGH的面積為S.
(1)當(dāng)n=l、2時,如圖②、③,觀察運動情況,寫出四邊形EFGH各頂點運動到何位置,使?
(2)當(dāng)n=3時,如圖④,求S與之間的函數(shù)關(guān)系式(寫出自變量的取值范圍),探索S隨增大而變化的規(guī)律;猜想四邊形EFGH各頂點運動到何位置,使;
(3)當(dāng)n=k (k≥1)時,你所得到的規(guī)律和猜想是否成立?請說明理由.
17、
10.如圖1,在直角坐標(biāo)系中,點E從O點出發(fā),以1個單位/秒的速度沿軸正方向運動,點F從O點出發(fā),以2個單位/秒的速度沿軸正方向運動,B(4,2),以BE為直徑作⊙O1.
(1)若點E、F同時出發(fā),設(shè)線段EF與線段OB交于點G,試判斷點G與⊙O1的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;
(2)在(1)的條件下,連結(jié)FB,幾秒時FB與⊙O1相切?
(3)如圖2,若E點提前2秒出發(fā),點F再出發(fā),當(dāng)點F出發(fā)后,E點在A點左側(cè)時,設(shè)BA⊥軸于A點,連結(jié)AF交⊙O1于點P,試問PA·FA的值是否會發(fā)生變化?若不變,請說明理由,并求其值;若變化,請求其值的變化范圍.
參考答案